垂徑定理（一）課件北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

3.3垂徑定理（一）

圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是,它的對(duì)稱軸是什么?你能找到多少條對(duì)稱軸？●O你是用什么方法解決上述問(wèn)題的?1問(wèn)題1等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？2如果將一等腰三角形沿底邊上的高對(duì)折，可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？3如果以這個(gè)等腰三角形的頂角頂點(diǎn)為圓心，腰長(zhǎng)為半徑畫圓，得到的圖形是否是軸對(duì)稱圖形呢？問(wèn)題：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為P.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AP與BP重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDPC垂徑定理及其推論一·OABDCP已知：在☉O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD，垂足為P.求證：AP=BP，AC=BC,⌒⌒⌒⌒AD=BD.證明：連接OA、OB、CA、CB，則OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP，⌒⌒AC=BC.∴AD=BD，⌒⌒∠AOC=∠BOC.從而∠AOD=∠BOD.想一想：能不能用所學(xué)過(guò)的知識(shí)證明你的結(jié)論？CAEBO.D垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦對(duì)的兩條弧。CD為⊙O的直徑CD⊥AB條件結(jié)論⌒⌒⌒⌒AE=BEAC=BCAD=BD垂徑定理的幾個(gè)基本圖形垂徑定理的證明：連接OA,OB,●OABCDM└則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.垂徑定理的三種語(yǔ)言：定理:垂直于弦的直徑平分弦,

并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理是圓中一個(gè)重要的結(jié)論,三種語(yǔ)言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明為什么？是不是，因?yàn)闆](méi)有垂直是不是，因?yàn)镃D沒(méi)有過(guò)圓心ABOCDEOABCABOEABDCOEEOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDABOBAED在下列圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的圓弧.O練習(xí)1

方法歸納:

解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常連結(jié)半徑；過(guò)圓心作一條與弦垂直的線段等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。垂徑定理經(jīng)常和勾股定理結(jié)合使用。E.ACDBO.ABOH作法：⒈連結(jié)AB.⒉作AB的垂直平分線CD，交弧AB于點(diǎn)E.點(diǎn)E就是所求弧AB的中點(diǎn)．CDABE例1已知AB，如圖，用直尺和圓規(guī)求作這條弧的中點(diǎn)．⌒變式：求弧AB的四等分點(diǎn)．CDABＭFG錯(cuò)在哪里？1．作AB的垂直平分線CD2．作AT、BT的垂直平分線EF、GHＴＥＮＨＰ強(qiáng)調(diào)：等分弧時(shí)一定要作弧所對(duì)的弦的垂直平分線．例1：如圖，已知AB是圓O的直徑，AB=4,OB,CD交于點(diǎn)E，且CD垂直平分OB，求CD的

長(zhǎng)。

變式：如圖，在圓O中，AB為弦，OC⊥AB于點(diǎn)D，AB=6cm,CD=1cm,求圓O的半徑OA。例2：如圖所示是以點(diǎn)O為公共圓心的兩個(gè)同心圓，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D.(1)求證：AC=DB(2)如果AB=6,CD=4,求圓環(huán)的面積。例3：如圖，已知AB為圓O的直徑，CD為弦，CE⊥CD交AB于點(diǎn)E，DF⊥CD交AB于點(diǎn)F.求證：AE=BF.課堂練習(xí)：1.如圖，AB是圓OD的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P，AP=2，BP=6，∠AP