2024年中考數(shù)學幾何模型24專題專題20 最值之胡不歸問題含解析

2024年中考數(shù)學幾何模型專題20最值之胡不歸問題一、方法突破【故事介紹】從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？【模型建立】如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。締栴}分析】，記，即求BC+kAC的最小值．【問題解決】構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。灸Ｐ涂偨Y(jié)】在求形如“PB+kPA”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPA相等的線段，將“PB+kPA”型問題轉(zhuǎn)化為“PB+PC”型．而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPA的等線段．【問題】如圖，點P為射線l上的一動點，A、B為定點，求PB+kPA的最小值l【問題解決】構(gòu)造射線AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．DD將問題轉(zhuǎn)化為求PB+PC最小值，過B點作BC⊥AD交l于點P，交AD于C點，此時PB+PC取到最小值，即PB+kPA最?。⒌淅?．如圖，在中，，，，若是邊上一動點，則的最小值為A． B．6 C． D．32．如圖，在中，，，為邊上的一個動點（不與、重合），連接，則的最小值是A． B． C． D．83．如圖，中，，，，為邊上的一動點，則的最小值等于．4．如圖，中，，，于點，是線段上的一個動點，則的最小值是A． B． C． D．105．如圖所示，已知拋物線，與軸從左至右依次相交于、兩點，與軸相交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線的另一個交點為．（1）若點的橫坐標為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點，使得以、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標；（3）在（1）的條件下，設(shè)點是線段上的一點（不含端點），連接．一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到點后停止，問當點的坐標是多少時，點在整個運動過程中所用時間最少？三、中考真題演練1．如圖所示，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值為A．4 B．5 C． D．2．如圖，中，，，是的邊上的高，點是上動點，則的最小值是A． B． C．10 D．3．如圖，中，，，于點，點是線段的一個動點，則的最小值是．4．如圖，拋物線交軸于，兩點（點在點右側(cè)），交軸于點，直線經(jīng)過點、，點是線段上的一動點（不與點，重合）．（1）求，兩點的坐標；（2）當點，關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時，求的最小值及此時點的坐標；5．如圖，拋物線與直線交于，兩點，交軸于，兩點，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側(cè)拋物線上一動點，連接，過點作交軸于點，問：是否存在點使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．（2）設(shè)為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒一個單位速度運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到后停止，當點的坐標是多少時，點在整個運動中用時最少？6．如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點，與軸交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線的另一交點為．（1）若點的橫坐標為，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點，使得以，，為頂點的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運動到，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到后停止，當點的坐標是多少時，點在整個運動過程中用時最少？ 專題20最值之胡不歸問題一、方法突破【故事介紹】從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？【模型建立】如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。締栴}分析】，記，即求BC+kAC的最小值．【問題解決】構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。灸Ｐ涂偨Y(jié)】在求形如“PB+kPA”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPA相等的線段，將“PB+kPA”型問題轉(zhuǎn)化為“PB+PC”型．而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPA的等線段．【問題】如圖，點P為射線l上的一動點，A、B為定點，求PB+kPA的最小值l【問題解決】構(gòu)造射線AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．DD將問題轉(zhuǎn)化為求PB+PC最小值，過B點作BC⊥AD交l于點P，交AD于C點，此時PB+PC取到最小值，即PB+kPA最?。?、典例精析1．如圖，在中，，，，若是邊上一動點，則的最小值為A． B．6 C． D．3解：過點作射線，使，再過動點作，垂足為點，連接，如圖所示：在中，，，，當，，在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長，此時，，是等邊三角形，，在中，，，，，，，，的最小值為3，故選：．2．如圖，在中，，，為邊上的一個動點（不與、重合），連接，則的最小值是A． B． C． D．8解：如圖，以為斜邊在下方作等腰，過作于，，，，，，，，的最小值為．故選：．3．如圖，中，，，，為邊上的一動點，則的最小值等于．解：如圖，過點作，交的延長線于點，，當點，點，點三點共線且時，有最小值，即最小值為，故答案為：4．如圖，中，，，于點，是線段上的一個動點，則的最小值是A． B． C． D．10解：如圖，作于，于．，，，設(shè)，，則有：，，或（舍棄），，，，，（等腰三角形兩腰上的高相等），，，，，，，，的最小值為．方法二：作于，交于點，則點滿足題意．通過三角形相似或三角函數(shù)證得，從而得到．故選：．5．如圖所示，已知拋物線，與軸從左至右依次相交于、兩點，與軸相交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線的另一個交點為．（1）若點的橫坐標為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點，使得以、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標；（3）在（1）的條件下，設(shè)點是線段上的一點（不含端點），連接．一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到點后停止，問當點的坐標是多少時，點在整個運動過程中所用時間最少？解：（1），點的坐標為、點兩的坐標為，直線經(jīng)過點，，，當時，，則點的坐標為，點在拋物線上，，解得，，則拋物線的解析式為；（2）如圖1中，設(shè)，作軸于．①當時，，，即，即．解得．，解得或1（舍棄），當時，，，即，，即，解得或（舍棄），．②當時，，，即，，，，解得或1（舍棄），當時，，，即，，或（舍棄），．（3）如圖2中，作軸交拋物線于，作軸于，作于，則，，，，的運動時間，當和共線時，最小，則，此時點坐標．三、中考真題演練1．如圖所示，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值為A．4 B．5 C． D．解：如圖，過點作于點，過點作于點，連接交于點．四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，的最小值為4，故選：．2．如圖，中，，，是的邊上的高，點是上動點，則的最小值是A． B． C．10 D．解：，，．過點作于點，由勾股定理得．．當、、三點共線，且時，的值最小為．中，，，，由等腰三角形腰上的高相等，，在中，．故．故選：．3．如圖，中，，，于點，點是線段的一個動點，則的最小值是．解：如圖，作于，，，，設(shè)，，，，，或（舍去），，，，，，當、、三點共線時，，此時，則根據(jù)垂線段最短性質(zhì)知值最小，此時．4．如圖，拋物線交軸于，兩點（點在點右側(cè)），交軸于點，直線經(jīng)過點、，點是線段上的一動點（不與點，重合）．（1）求，兩點的坐標；（2）當點，關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時，求的最小值及此時點的坐標；解：（1）在中，令得：，解得或，，；（2）過作軸于，交于，如圖：拋物線的對稱軸為直線，在中，令得，，，，，在中，，最小，即是最小，由垂線段最短可知的最小值即為的長，點，，關(guān)于拋物線的對稱軸直線對稱，與關(guān)于拋物線的對稱軸直線對稱，，，，即的最小值為，由，，得直線解析式為，在中，令得，；5．如圖，拋物線與直線交于，兩點，交軸于，兩點，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側(cè)拋物線上一動點，連接，過點作交軸于點，問：是否存在點使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．（2）設(shè)為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒一個單位速度運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到后停止，當點的坐標是多少時，點在整個運動中用時最少？解：（Ⅰ）把，代入，得，解得：．拋物線的解析式為聯(lián)立，解得：或，點的坐標為．如圖1．，，，，，，，是直角三角形，，；（Ⅱ）方法一：（1）存在點，使得以，，為頂點的三角形與相似．過點作軸于，則．設(shè)點的橫坐標為，由在軸右側(cè)可得，則．，，．若點在點的下方，①如圖2①，當時，則．，，，．．則．把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）．②如圖2②，當時，則．同理可得：，則，把代入，得，整理得：解得：（舍去），，，；若點在點的上方，①當時，則，同理可得：點的坐標為．②當時，則．同理可得：點的坐標為，．綜上所述：滿足條件的點的坐標為、，、，；方法二：作的“外接矩形”，易證，，以，，為頂點的三角形與相似，或，設(shè)，，，①，，，，②，，，（舍，滿足題意的點的坐標為、，、，；（2）方法一：過點作軸于，如圖3．在中，，即，點在整個運動中所用的時間為．作點關(guān)于的對稱點，連接，則有，，，，．根據(jù)兩點之間線段最短可得：當、、三點共線時，最?。藭r，，四邊形是矩形，，．對于，當時，有，解得：，．，，，，點的坐標為．方法二：作點關(guān)于的對稱點，交于點，顯然，作軸，垂足為，交直線于點，如圖4，在中，，即，當、、三點共線時，最小，，，，，，，，，，，，為的中點，，，．方法三：如圖，5，過作射線軸，過作射線軸，與交于點．，，．，，，，．．當且僅當時，取得最小值，點在整個運動中用時最少為：，拋物線的解析式為，且，可求得點坐標為則點橫坐標為2，將代入，得．所以．6．如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點，與軸交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線的另一交點為．（1）若點的橫坐標為，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點，使得以，，為頂點的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運動到，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到后停止，當點的坐標是多少時，點在整個運動過程中用時最少？解：（1）拋物線，令，解得或，，．直線經(jīng)過點，，解得，直線解析式為：．當時，，，．點，在拋物線上，，．拋物線的函數(shù)表達式為：．即．（2）由拋物線解析式，令，得，，．因為點在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是或．①若，則有，如答圖所示．設(shè)，過點作軸于點，則，．，即：，．，代入拋物線解析式，得，整理得：，解得：或（與點重合，舍去），．，，即，解得：．②若，則有，如答圖所示．設(shè)，過點作軸于點，則，．，即：，．，代入拋物線解析式，得，整理得：，解得：或（與點重合，舍去），．，，，解得，，，綜上所述，或．（3）方法一：如答圖3，由（1）知：，，如答圖，過點作軸于點，則，，，，．過點作軸，則．過點作于點，則．由題意，動點運動的路徑為折線，運動時間：，，即運動的時間值等于折線的長度值．由垂線段最短可知，折線的長度的最小值為與軸之間的垂線段．過點作于點，則，與直線的交點，即為所求之點．點橫坐標為，直線解析式為：，，，．綜上所述，當點坐標為，時，點在整個運動過程中用時最少．方法二：作，，交直線于點，，，，當且僅當時，最小，點在整個運動中用時為：，，，． 專題21最值之阿氏圓問題一、方法突破在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“kPA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．所謂“阿氏圓”，是指由古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯提出的圓的概念，在平面內(nèi)，到兩個定點距離之比等于定值（不為1）的點的集合叫做圓．如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點P構(gòu)成的圖形為圓．“阿氏圓”的一些性質(zhì)：（1）．應(yīng)用：根據(jù)點A、B的位置及k的值可確定M、N及圓心O．（2）△OBP∽△OPA，即，變形為．應(yīng)用：根據(jù)圓心及半徑和A、B其中一點，可求A、B另外一點位置．（3）．應(yīng)用：已知半徑及A、B中的其中一點，即可知道PA：PB的值．二、典例精析1．如圖，在中，，，，以點為圓心，3為半徑做，分別交，于，兩點，點是上一個動點，則的最小值為．2．如圖，與軸、軸的正半軸分別相交于點、點，半徑為3，點，點，點在弧上移動，連接，，則的最小值為．3．如圖，在中，，，則的最大值為．4．【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點，，所有滿足為定值）的點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”【問題解決】如圖，在中，，，則面積的最大值為．5．如圖，已知菱形的邊長為8，，圓的半徑為4，點是圓上的一個動點，則的最大值為．三、真題演練1．如圖，正方形的邊長為4，為的中點，以為圓心，為半徑作，點是上一動點，連接、，則的最小值為．2．如圖，扇形中，，，是的中點，是上一點，，是上一動點，則的最小值為．3．如圖所示的平面直角坐標系中，，，是第一象限內(nèi)一動點，，連接、，則的最小值是．4．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點、，則所有符合且的點會組成一個圓．這個結(jié)論最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問題】如圖1，在平面直角坐標系中，在軸，軸上分別有點，，點是平面內(nèi)一動點，且，設(shè)，求的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在上取點，使得；第二步：證明；第三步：連接，此時即為所求的最小值．下面是該題的解答過程（部分）解：在上取點，使得，又，．任務(wù)：（1）將以上解答過程補充完整．（2）如圖2，在中，，，，為內(nèi)一動點，滿足，利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出的最小值．5．如圖，在與中，，，，點在上．（1）如圖1，若點在的延長線上，連接，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若點與點重合，且，，將繞點旋轉(zhuǎn)，連接，點為的中點，連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中，求的最小值；（3）如圖3，若點為的中點，連接、交于點，交于點，且，請直接寫出的值．6．在中，，．若點為上一點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，交于點．（1）如圖1，若，，求的長；（2）如圖2，點為的中點，連接交于點．若，猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；（3）如圖3，若，為的中點，將繞點旋轉(zhuǎn)得△，連接、，當最小時，求．專題21最值之阿氏圓問題一、方法突破在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“kPA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．所謂“阿氏圓”，是指由古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯提出的圓的概念，在平面內(nèi)，到兩個定點距離之比等于定值（不為1）的點的集合叫做圓．如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點P構(gòu)成的圖形為圓．“阿氏圓”的一些性質(zhì)：（1）．應(yīng)用：根據(jù)點A、B的位置及k的值可確定M、N及圓心O．（2）△OBP∽△OPA，即，變形為．應(yīng)用：根據(jù)圓心及半徑和A、B其中一點，可求A、B另外一點位置．（3）．應(yīng)用：已知半徑及A、B中的其中一點，即可知道PA：PB的值．二、典例精析1．如圖，在中，，，，以點為圓心，3為半徑做，分別交，于，兩點，點是上一個動點，則的最小值為．解：在上截取，連接，，，，，，，，，，，，當、、三點共線時，的值最小，在中，，，，的最小值，故答案為：．2．如圖，與軸、軸的正半軸分別相交于點、點，半徑為3，點，點，點在弧上移動，連接，，則的最小值為．解：如圖，在軸上取點，連接，點，點，點，，，，，，，，，，當點在上時，有最小值為的長，，故答案為：．3．如圖，在中，，，則的最大值為．解：，求的最大值就是求的最大值，過作于，延長到，使得，，，，，，由勾股定理得：，，為定值，是定值，點在的外接圓上，，當為直徑時，最大，即，，解得，，，故答案為：．4．【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點，，所有滿足為定值）的點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”【問題解決】如圖，在中，，，則面積的最大值為．解：以為頂點，為邊，在外部作，與的延長線交于點，，，，，，，，，，解得：，，，即點為定點，點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓上，如圖，過點作的垂線，交圓與點，此時點到的距離最大，即的面積最大，．故答案為：．5．如圖，已知菱形的邊長為8，，圓的半徑為4，點是圓上的一個動點，則的最大值為．解：連接，在上取一點，使得，連接，，過點作交的延長線于．，，，，，，，，，四邊形是菱形，，，，在中，，，，，，，的最大值為．三、真題演練1．如圖，正方形的邊長為4，為的中點，以為圓心，為半徑作，點是上一動點，連接、，則的最小值為．解：如圖，在上取一點，使得，連接，，．四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為5，故答案為：5．2．如圖，扇形中，，，是的中點，是上一點，，是上一動點，則的最小值為．解：如圖，延長使，連接，，，，，分別是，的中點，，，，，且，，，當點，點，點三點共線時，的值最小，，，的最小值為13，的值最小值為．故答案為：．3．如圖所示的平面直角坐標系中，，，是第一象限內(nèi)一動點，，連接、，則的最小值是．解：如圖，取點，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為．故答案為：．4．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點、，則所有符合且的點會組成一個圓．這個結(jié)論最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問題】如圖1，在平面直角坐標系中，在軸，軸上分別有點，，點是平面內(nèi)一動點，且，設(shè)，求的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在上取點，使得；第二步：證明；第三步：連接，此時即為所求的最小值．下面是該題的解答過程（部分）解：在上取點，使得，又，．任務(wù)：（1）將以上解答過程補充完整．（2）如圖2，在中，，，，為內(nèi)一動點，滿足，利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出的最小值．解（1）在上取點，使得，又，．，，，當取最小值時，有最小值，即，，三點共線時有最小值，利用勾股定理得．（2），，在上取