山西省運(yùn)城市2024屆高三第二次模擬調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（A）含答案

運(yùn)城市2024年高三第二次模擬調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷類型：A考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。4.本卷命題范圍：高考范圍。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.2.已知圓錐的側(cè)面積為，它的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.3.已知向量和滿足，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.4.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓：相切，且雙曲線的左焦點(diǎn)為圓的圓心，則該雙曲線的方程為（）A. B.C. D.5.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6.“五一”假期將至，某旅行社適時(shí)推出了“晉祠”“五臺(tái)山”“云岡石窟”“喬家大院”“王家大院”共五條旅游線路可供旅客選擇，其中“喬家大院”線路只剩下一個(gè)名額，其余線路名額充足.現(xiàn)有小張、小胡、小李、小郭這四人前去報(bào)名，每人只選擇其中一條線路，四人選完后，恰好選擇了三條不同的線路.則不同的報(bào)名情況總共有（）A.360種 B.316種 C.288種 D.216種7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在以A為圓心，1為半徑的圓上，則最小值為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.水稻產(chǎn)量是由單位面積上的穗數(shù)、每穗粒數(shù)（每穗穎花數(shù)）、成粒率和粒重四個(gè)基本因素構(gòu)成.某實(shí)驗(yàn)基地有兩塊面積相等的試驗(yàn)田，在種植環(huán)境相同的條件下，這兩塊試驗(yàn)田分別種植了甲、乙兩種水稻，連續(xù)試驗(yàn)5次，水稻的產(chǎn)量如下：甲（單位：kg）250240240200270乙（單位：kg）250210280240220則下列說(shuō)法正確的是（）A.甲種水稻產(chǎn)量的極差為70B.乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為240C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)D.甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意的，都有，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C. D.11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)，使得平面B.當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，，的平面截該正方體所得的截面的面積為C.點(diǎn)到直線的距離的最小值為D.當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合，，若，則的子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.13.已知，，則__________.14.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與交于A，B兩點(diǎn)，且，若的面積為，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為_(kāi)__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.（1）求的值；（2）如圖，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，且，，求的面積.16.（本小題滿分15分）長(zhǎng)跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機(jī)能，較長(zhǎng)時(shí)間有節(jié)奏的深長(zhǎng)呼吸，能使人體呼吸大量的氧氣，吸收氧氣量若超過(guò)平時(shí)的7-8倍，就可以抑制人體癌細(xì)胞的生長(zhǎng)和繁殖.其次長(zhǎng)跑鍛煉還改善了心肌供氧狀態(tài)，加快了心肌代謝，同時(shí)還使心肌肌纖維變粗，心收縮力增強(qiáng)，從而提高了心臟工作能力.某學(xué)校對(duì)男、女學(xué)生是否喜歡長(zhǎng)跑進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查男、女生人數(shù)均為200，統(tǒng)計(jì)得到以下2×2列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計(jì)男生12080200女生100100200合計(jì)220180400（1）試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生對(duì)長(zhǎng)跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)?（2）為弄清學(xué)生不喜歡長(zhǎng)跑的原因，從調(diào)查的不喜歡長(zhǎng)跑的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取9人，再?gòu)倪@9人中抽取3人進(jìn)行面對(duì)面交流，記隨機(jī)變量X表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求X的分布列；（3）將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取12人，記其中喜歡長(zhǎng)跑的人數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82817.（本小題滿分15分）如圖1，在中，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，且，將沿翻折到的位置，使得，連接，，如圖2所示，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn).圖1圖2（1）若，求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).18.（本小題滿分17分）已知拋物線：的準(zhǔn)線與圓：相切.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是上的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是的準(zhǔn)線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且圓是的內(nèi)切圓.①若，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；②求面積的最小值.19.（本小題滿分17分）已知函數(shù).（1）若，求的圖象在處的切線方程；（2）若對(duì)于任意的恒成立，求的取值范圍；（3）若數(shù)列滿足且，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

運(yùn)城市2024年高三第二次模擬調(diào)研測(cè)試·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.A因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，所以.故選A.2.B設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，，解得，，所以此圓錐的高，所以此圓錐的體積.故選B.3.A因?yàn)?，所以，又，，所以，解得，設(shè)與的夾角為，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選A.4.D雙曲線的一條漸近線方程為，所以.圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，，所以，又，解得，，所以雙曲線的方程為.故選D5.C將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，所以，當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，即的取值范圍是.故選C.6.C若小張、小胡、小李、小郭這四人中，沒(méi)有人選擇“喬家大院”線路，則報(bào)名情況有種.若小張、小胡、小李、小郭這四人中，恰有1人選擇“喬家大院”線路，則報(bào)名情況有種.所以不同的報(bào)名的情況總共有144+144=288種.故選C.7.B由題意知，所以，又，所以，所以.設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.所以所以，所以，即的取值范圍是.故選B.8.D以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)，所以，又，，，所以，令，即，所以直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，所以.故選D.9.ABD由表中數(shù)據(jù)可知，甲種水稻產(chǎn)量的極差為270-200=70，故A正確；由表中數(shù)據(jù)可知，乙種水稻產(chǎn)量從小到大排列為210，220，240，250，280，所以乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為240，故B正確；對(duì)于C，甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為，乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為，所以甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)等于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)，故C錯(cuò)誤；甲種水稻產(chǎn)量的方差為，乙種水稻產(chǎn)量的方差為，所以甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差，故D正確.故選ABD.10.AC令，，得，解得，故A正確；令，，所以，解得，令，所以，所以是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，令，則，所以，令，則，又，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，令，則，所以，所以，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選AC.11.ACD以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則，，，，當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，設(shè)，所以，，，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，則，，解得，所以存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，故A正確；取的中點(diǎn)F，連接，，，，，如圖所示.則，，所以，又易得，，，所以梯形的面積為，所以過(guò)A，E，點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面的面積為，故B錯(cuò)誤；又，設(shè)，所以，，所以點(diǎn)到直線的距離，所以，此時(shí)，所以點(diǎn)E到直線的距離的最小值為，故C正確；取的中點(diǎn)G，連接，，，易得平面，又平面，所以，所以，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡為以G為圓心，半徑為2的劣弧，分別交，于，，則，則，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確.故選ACD.12.8由題意知，又，所以，所以，解得，所以，所以，所以的子集的個(gè)數(shù)為.13.因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，解得，，所?14.因?yàn)榈拿娣e為，所以，在中，設(shè)，，由余弦定理可得，即，則，所以的面積，所以，即，由于，所以.又，所以是等邊三角形，即，由橢圓的定義可得，所以，則，，所以，則.15.解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又，所以，所以，所以，又，，所以，，所?（2）設(shè)，又，所以，.在中，由余弦定理得，解得，所以，，又，所以，，又，所以，所以的面積.16.解：（1）零假設(shè)為：學(xué)生對(duì)長(zhǎng)跑的喜歡情況與性別無(wú)關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為學(xué)生對(duì)長(zhǎng)跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.050.（2）從調(diào)查的不喜歡長(zhǎng)跑的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取9人，其中男生的人數(shù)為：人，女生人數(shù)為：人.的所有可能取值為0，1，2，3，所以，，，，的分布列為：0123（3）由題意知，任抽1人喜歡長(zhǎng)跑的概率，所以，所以.17.（1）證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在上取一點(diǎn)，使得1，連接，，如圖所示.因?yàn)?，，所以且，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，所以且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以?又，所以，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，又，，所以令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量.設(shè)，所以，設(shè)直線與平面所成角的大小為，所以，解得或，所以或.18.解：（1）由題意知的準(zhǔn)線為，又的準(zhǔn)線與圓：相切，所以，解得，所以的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，直線方程為，化簡(jiǎn)得.又圓是的內(nèi)切圓，所以圓心到直線的距離為1，即，故，易知，上式化簡(jiǎn)得，，同理有，所以m，n是關(guān)于t的方程的兩個(gè)不同的根，所以，.所以，又點(diǎn)是上的一點(diǎn)，所以，所以.①若，則，解得或（舍），所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3.②因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的面積，令，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即面積的最小值為.19.（1）解：若，則，