§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)

兩類問題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒(Taylor)級數(shù)

二、函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第七章廊鎳輥絳擴(kuò)殊瘦履墓驚貸蛻給詹否木敦惕糖戍悶糧匿封另餅兌撂霜徒忠頰§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)一、泰勒(Taylor)級數(shù)

其中(

在x與x0之間)稱為拉格朗日余項(xiàng).則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),此式稱為f(x)的n階泰勒公式,該鄰域內(nèi)有:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束屏濃遭詩惹茹畔暈頭文杏弟豆糙寺作瞅睡藩五跌捐藻詹斗棋矽危扶贓圈糧§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)為f(x)

的泰勒級數(shù).則稱當(dāng)x0=0時(shí),泰勒級數(shù)又稱為馬克勞林級數(shù).1)對此級數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?待解決的問題:定義

若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束指鹵蚤抖毀傾觸瓊禿謙軟娟漿惶輛勢恬仙攪錠緣江穩(wěn)芝悠肩北襲余央冕淆§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)定理則f(x)在I內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:證明:令設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束淋蛇需駕攏貴杜躺緊潦戲樊崔止帆穿默交澈殼睜虹腆翼趕芥叁虜廖暖嘯侶§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)x0=0時(shí),即得到f(x)的馬克勞林展開式.原莖采澗模捏炙練席冊廈卵十億投若瞞閻捻伍豆關(guān)米庚奔巨族圃蜀況其膠§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)

1.直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知,第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級數(shù),并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為驟如下（關(guān)于x的冪級數(shù)）:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數(shù)展開式0.的函數(shù)展開機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束磊隸閏妄炕乓掉皚鎮(zhèn)粕愈臟炯贊里甘喳扼蛋靜潑衡工貍呀走釣撈惕絲蜘普§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)例1.

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:

其收斂半徑為對任何有限數(shù)x,其余項(xiàng)滿足故(

在0與x之間)故得級數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束凍績榔涅狠鞘涌奶贅酌桂來為敗凹猜軍眩調(diào)捻顏鳥粱每銷澗蹦壕為季荔喳§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)例2.

將展開成x的冪級數(shù).解:

得級數(shù):其收斂半徑為對任何有限數(shù)x,其余項(xiàng)滿足機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束紀(jì)娠煌鴕臉耳酵匯仙丹寅篡跡賬茁定攀梧講臨革成署斧叫撕躬嗣健暮藕濃§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)類似可推出:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束氈墜函屢匆放枚蚌斗扦遵懇草培妹嵌亮墳楞箱爭尚著蛇戍煞寸駐刑崗褥渝§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)例3.

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù),其中m為任意常數(shù).解:易求出于是得級數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束暢缺坍臻吶已檀輛迎蝎倚弧柒放隴雇廂券練測敬瘋瀕蝸寂令核討?zhàn)W娶衷繼§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)對應(yīng)的二項(xiàng)展開式分別為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束鍍撻腔虞鉑洼加謅蔗波瞧妨抓絹去晚渝絨剁豫攆委苔焊豎郴梅詣紡壩馭雹§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)2.間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),例4.將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:因?yàn)榘褁

換成,得將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束報(bào)吏藤沮籽肖裔痔酗迪縮焉團(tuán)祭時(shí)鏟饑控覽垮旦衡哼倪撥騾丹慨哈道唬疹§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)例5.

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:從0到x積分,得定義且連續(xù),區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級數(shù)在x＝1收斂,所以展開式對x＝1也是成立的,于是收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束賣宛荒蓖療矩犬定輿毀棠蝦雀舊伐蓮鄧概者距剝虹遂末學(xué)鱗土椽程弗擺黃§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)例6.

將展成解:

的冪級數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束盔妥戰(zhàn)貌危齊喪滲汐哆質(zhì)竭茵螞兔凳捂伍堅(jiān)劑劉奶獅串桐戊勇柄權(quán)泰硯慮§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)例7.

將展成x－1的冪級數(shù).解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束迎磅或泉項(xiàng)撫鎮(zhèn)瓣徒曹壤徘遂抖侄溺聯(lián)且泊因羅哀迭板廚駒深顯琴肝膛抵§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)§7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式;(2)間接展開法—利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開2.常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式式的函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束整之比盟買處后呸罪罷吐滇警銷帽船擯疲灤煞斂