高等數(shù)學考研知識點總結3-文檔

PAGEPAGE10第三講不定積分一、考試要求1．理解原函數(shù)概念，理解不定積分的概念

2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質及換元積分法與分部積分法。

3．會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單元理函數(shù)的積分（數(shù)一、二）。

二、內容提要1、概念與性質（1）原函數(shù)（2）不定積分（3）性質：1)或2)或一般地，3）4)(4)基本積分公式表：（1）（為常數(shù)）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）。補：（1）（2）（3）2、主要計算方法(1)第一換元積分法常用“湊”微分公式：(2)第二換元積分法根式代換,,三角代換倒代換注：其它代換，等1)當被積函數(shù)中含有時令或2)當被積函數(shù)中含有時令或3)當被積函數(shù)中含有時令或4）當被積函數(shù)的分母含有變量因子時，令.(3)分部積分法常用分部積分法：1)中為n次多項式,一般選取分別2)中為n次多項式,一般分別選取取3)中可選取,分別取也可分別取(4)有理函數(shù)的積分:化為部分分式（數(shù)一、二）(5)三角有理函數(shù)的積分:萬能代換（數(shù)一、二）(6)簡單無理函數(shù)的積分:作變量替換（數(shù)一、二）三、典型題型與例題題型一、基本概念與性質（893）下列等式中，正確的是(A)(B)(C)(D)例2、設是連續(xù)函數(shù)，是的原函數(shù)，則（A）當時奇函數(shù)時，必為偶函數(shù)（B）當時偶函數(shù)時，必為奇函數(shù)（C）當時周期函數(shù)時，必為周期函數(shù)（D）當時單調增函數(shù)時，必為單調增函數(shù)例3、設求例4、若,求題型二、湊微分法要熟記一些常見形式的湊微分，如以及整體湊微分等例5、求不定積分評注：本題利用了例6、求例7、求例8、求例9、[]例10、例11、（=）例12、[]題型三、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)可以化為整式與以下四種部分分式之和,這四種部分分式及其不定積分如下:(1)(2)(3);(4)其中,二項式無實根,即;且可使用分部積分法導出遞推公式來計算（），利用配方法及分部積分法可得的表達式。通過多項式的除法總可分解有理函數(shù)為多項式與真分式之和,在應用待定系數(shù)法時,首先要把分解的形式寫正確。例13、求例14、求例15、求例16、求例17、求題型四、三角有理函數(shù)的積分三角有理式的積分是指以三角函數(shù)為變量的有理函數(shù),由于其它三角函數(shù)皆可由表示,只需討論的形式,此類積分總可作代換,使被積函數(shù)有理化,即。以下幾種情況可作其它變換更簡單一些.(1)(2)(3)例18、求例19、（962）求例20、求在涉及三角有理函數(shù)的不定積分中,時刻注意諸如及兩種變形等一些三角變形，此類題目較靈活需在平時積累。有些三角函數(shù)的題目,不對被積函數(shù)作巧妙變換，難以求解。題型五、簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)積分,通常是指在被積函數(shù)中含有形如的根式，此時一般都是要通過變量替換將根式去掉,化為有理函數(shù)積分.具體方法是:對第一個可令,即;對第二個可令,即而第三個根式經(jīng)過配方后,都可化為在第二換元積分法所介紹的中的一種.例21、求例22、求例23、求(根式代換,)例24、[分母有理化]題型六、分部積分法 如下的三種形式常用分部積分法.(1),其中為常數(shù),為n次多項式，選取(或)(2),其中為常數(shù),的選取可隨意(3)