2021年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：33幾何綜合壓軸問題

2021年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：專題33幾何綜合壓軸問題

一、解答題

1.（湖南省郴州市2021年中考數(shù)學(xué)試卷）如圖1,在等腰直角三角形ABC中，NB4C=90°.點E，F(xiàn)分

別為AB，AC的中點，H為線段EF上一動點（不與點E，尸重合），將線段AH繞點A逆時針方向旋

轉(zhuǎn)90°得到AG,連接GC,HB.

（1）證明：△AHBGAAGC；

（2）如圖2,連接GF,HC,AE交A尸于點。.

①證明：在點，的運動過程中，總有N”FG=90°；

②若AB=AC=4,當E”的長度為多少時，AAQG為等腰三角形？

2.（2021?湖北中考真題）問題提出如圖（1）,在AA5c和△￡>￡（7中，ZACB^ZDCE=90°,BC=AC,

EC=DC，點E在內(nèi)部，直線AO與BE交于點尸，線段Af，BF，CE之間存在怎樣的數(shù)量

關(guān)系？

問題探究（1）先將問題特殊化.如圖（2）,當點D，尸重合時，直接寫出一個等式，表示AE，BF，CF

之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）再探究一般情形.如圖（1）,當點。，了不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展如圖（3）,在AA5C和AOEC中，NACB=ZDCE=90°,BC=kAC,EC=kDC（k是

常數(shù)），點E在AABC內(nèi)部，直線AO與BE交于點F,直接寫出一個等式，表示線段A廠，BF，CF之

間的數(shù)量關(guān)系.

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⑴⑵(3)

3.（2021?浙江中考真題）（證明體驗）

（1）如圖1，為AABC的角平分線，NADC=6（）°,點E在A3上，AE=AC.求證：DE平分NAD5.

圖2

（思考探究）

（2）如圖2,在（1）的條件下，尸為A3上一點，連結(jié)FC交AD于點G.若EB=FC,DG=2,CD=3,

求RD的長.

（拓展延伸）

（3）如圖3,在四邊形ABC。中，對角線AC平分NB4O,NBC4=2NOC4,點E在AC上，

ZEDC=ZABC.若8。=5,8=2石,4。=24后，求AC的長.

4.（2021?浙江中考真題）如圖1,四邊形ABC。內(nèi)接于0。，B0為直徑，AO上存在點E，滿足AE=CO，

連結(jié)BE并延長交8的延長線于點凡BE與AD交于點G.

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(1)若ZDBC=a,請用含a的代數(shù)式表列ZAGB.

(2)如圖2,連結(jié)CE,CE=8G.求證；EF=DG.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連結(jié)CG,4)=2.

①若tanNADB=，求△f'GZ)的周長.

2

②求CG的最小值.

5.(2021?浙江中考真題)在扇形AOB中，半徑。4=6,點P在。A上，連結(jié)PB,將AOBP沿產(chǎn)B折疊得

到AO'BP.

圖1圖2

(1)如圖1,若NO=75°,且30與AB所在的圓相切于點艮

①求NAPO'的度數(shù).

②求AP的長.

(2)如圖2,30'與4?相交于點，若點。為A8的中點，.&PD//OB,求A臺的長.

6.(2021?浙江中考真題)已知在△ACO中，P是CO的中點，3是AO延長線上的一點，連結(jié)SC,AP.

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圖1圖2圖3

(1)如圖1,若/40?=90。,/。。=60。,3。=4。,4/＞=百，求BC的長.

(2)過點。作DEIAC,交AP延長線于點E,如圖2所示.若ZCAD=60°,BD=AC,求證：BC=2AP.

(3)如圖3,若NC4O=45°,是否存在實數(shù)加，當班＞=加4c時，BC=2AP2若存在，請直接寫出加

的值；若不存在，請說明理由.

7.(2021?安徽中考真題)如圖1,在四邊形A8CD中，NABC=/BCD,點E在邊BC上，且AE//8,

DEV/AB，作CF//AD交線段AE于點R連接8尸.

(1)求證：AABF^AEAD：

(2)如圖2,若AB=9,CD=5,NECF=ZAED,求BE的長；

BE

(3)如圖3,若BF的延長線經(jīng)過A￡＞的中點M,求=的值.

圖1圖2圖3

8.(2021.四川中考真題)在等腰AABC中，45=AC,點。是8C邊上一點(不與點3、。重合)，連

結(jié)A。.

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（1）如圖1,若NC=60°,點。關(guān)于直線AB的對稱點為點E，結(jié)AE，DE,則

（2）若NC=60°,將線段AO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連結(jié)8E.

①在圖2中補全圖形；

②探究C￡＞與座的數(shù)量關(guān)系，并證明；

4RAn

（3）如圖3,若一=—=k,且NAOE=NC,試探究跖、BD、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證

BCDE

明.

9.（2021?山東中考真題）如圖1,。為半圓的圓心，C、。為半圓上的兩點，且BO=CO.連接AC并延

長，與3。的延長線相交于點E.

（1）求證：CD=ED；

（2）與OC，BC分別交于點凡H.

①若CF=CH,如圖2,求證：CFAF=FOAH；

②若圓的半徑為2,BD=1，如圖3,求AC的值.

10.（2021?江蘇中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學(xué)探究活動.

（1）3c是邊長為3的等邊三角形,E是邊AC上的一點，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形,

如圖1,求b的長；

CF

圖1圖2

（2）AABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以5E為邊作等邊三角形3￡尸,

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如圖2,在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長；

（3）AABC是邊長為3的等邊三角形，M是高C￡＞上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形

如圖3,在點M從點C到點。的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長；

（4）正方形A8CD的邊長為3,E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以8

為頂點作正方形BFGH，其中點AG都在直線AE上，如圖4,當點E到達點B時，點尸、G、H與點B

重合.則點，所經(jīng)過的路徑長為，點G所經(jīng)過的路徑長為.

11.（2021.吉林中考真題）實踐與探究

操作一：如圖①，已知正方形紙片A8CD,將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點3落在正方形A8CZ）

的內(nèi)部，點8的對應(yīng)點為點折痕為AE,再將紙片沿過點A的直線折疊，使與4M重合，折痕為AF,

則ZEAF=度.

操作二：如圖②，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點M我們發(fā)現(xiàn)，當點E的位置不同時，

點N的位置也不同.當點E在BC邊的某一位置時，點N恰好落在折痕AE上，則ZAEF=度.

在圖②中，運用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：

（1）設(shè)AM與NF的交點為點P.?求證△ANP^AFNE：.

（2）若AB=6，則線段AP的長為.

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圖①

12.（2021?湖南中考真題）如圖，在AABC中，AB^AC,N是BC邊上的一點，。為AN的中點，過

點4作的平行線交CO的延長線于T,且AT=5N,連接

（1）求證：BN=CN；

（2）在如圖中AN上取一點。，使AO=OC,作N關(guān)于邊AC的對稱點M,連接MT、MO,0C,OT、

CM得如圖.

①求證：IJOMSAAOC；

②設(shè)7M與AC相交于點P,求證：PD//CM,PD^-CM.

2

13.（2021?浙江臺州市?中考真題）如圖，8力是半徑為3的。。的一條弦，8。=4&,點A是。0上的一

個動點（不與點8,。重合），以A,B,。為頂點作平行四邊形A8CD

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AA

DBDB

O

C

圖1圖2

（1）如圖2,若點A是劣弧BO的中點.

①求證：平行四邊形ABCO是菱形；

②求平行四邊形ABCD的面積.

（2）若點A運動到優(yōu)弧80上，且平行四邊形A8C。有一邊與。。相切.

①求AB的長;

②直接寫出平行四邊形ABCD對角線所夾銳角的正切值.

14.（2021?青海中考真題）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個數(shù)學(xué)活動，若身旁沒有量角器或三角尺,

又需要作60°,30°,15°等大小的角，可以采用如下方法:

操作感知:

第一步：對折矩形紙片ABC。，使與3C重合，得到折痕取，把紙片展開（如圖

第二步：再一次折疊紙片,使點A落在所上，并使折痕經(jīng)過點3,得到折痕同時得到線段BN（如

圖13-2).

圖13-1

猜想論證：

（1）若延長MN交于點尸，如圖13-3所示，試判定ABM尸的形狀，并證明你的結(jié)論.

拓展探究:

（2）在圖13-3中，若AB=a,BC=b,當a,Z?滿足什么關(guān)系時，才能在矩形紙片ABCO中剪出符（1）

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中的等邊三角形BMP?

15.（2021.海南中考真題）如圖1,在正方形A8QD中，點E是邊上一點，且點E不與點8、C重合,

點尸是B4的延長線上一點，且AF=CE.

（1）求證：ADCE%DAF；

（2）如圖2,連接EF，交AD于點K,過點。作?！?，￡尸，垂足為H,延長交3F于點G,連接

①求證：HD=HB：

②若DK-HC=也，求”E的長.

16.（2021?甘肅中考真題）問題解決：如圖1,在矩形ABCD中，點￡尸分別在AB,8C邊上,

圖1圖2

(1)求證：四邊形A8CO是正方形;

(2)延長CB到點”，使得BH=AE，判斷△A//F'的形狀，并說明理由.

類比遷移：如圖2,在菱形A8CO中，點瓦尸分別在AB,8c邊上，￡>￡與AE相交于點G,

DE=AF,ZAED=60°,AE=6,BF=2,求DE的長.

17.（2021?四川中考真題）如圖1,在AABC中，ZACB=9O°,AC=BC,點。是AB邊上一點（含

端點A、8）,過點B作BE垂直于射線CO，垂足為E,點尸在射線CO上，且EF=BE,連接AE、BF.

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圖1圖2

(1)求證：AABFS^CBE；

⑵如圖2,連接AE，點P、M、N分別為線段AC、AE、族的中點，連接PM、MN、PN.求/PMN

MN

的度數(shù)及——的值;

PM

（3）在（2）的條件下，若BC=C，直接寫出AAMN面積的最大值.

18.（2021?山西中考真題）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在DABCD

中，BE^AD，垂足為E，F(xiàn)為CO的中點，連接EF,BF,試猜想EF與8廠的數(shù)量關(guān)系，并加以證

明；

獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將口ABC。沿著B尸（尸為CD的中點）所在直線折疊，如圖

②，點C的對應(yīng)點為C',連接。C并延長交AB于點G，請判斷AG與8G的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將QABC。沿過點8的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點為A',使

A,BICD于點H,折痕交AD于點M，連接A'M，交CD于點、N.該小組提出一個問題：若此口ABCD

的面積為20,邊長A8=5,BC=2也，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積.請你思考此問題，

直接寫出結(jié)果.

19.（2021?浙江中考真題）問題：如圖，在DABCD中，AB=8,4）=5,ZDAB，NA8C的平分線

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AE,B尸分別與直線CZ）交于點E,F,求EF的長.

答案：EF=2.

探究：（1）把“問題”中的條件"AB=8”去掉，其余條件不變.

①當點E與點F重合時，求A8的長；

②當點E與點C重合時，求EF的長.

（2）把“問題”中的條件“AB=8,A￡>=5”去掉，其余條件不變，當點C,D,E,F相鄰兩點間的距離相

An

等時，求絲的值.

AB

20.（2021?浙江嘉興市?中考真題）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進一步開展探究活動：將一

個矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a（o°<a490°）,得到矩形ABC?！?/p>

［探究1］如圖1,當a=90°時，點C'恰好在延長線上.若A6=l，求BC的長.

［探究2］如圖2,連結(jié)AC',過點?！鱋'"http://AC交于點線段。與。M相等嗎？請說明理

D

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［探究3］在探究2的條件下，射線OB分別交A。'，AC于點P,N（如圖3）,MN,PN存在一定的數(shù)

量關(guān)系，并加以證明.

21.（2021?浙江中考真題）如圖，在菱形A8C。中，NA8C是銳角，E是邊上的動點，將射線AE繞

點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交直線CD于點立

⑴當AE八BC,?EAF?ABC時,

①求證：AE=AF;

（2）當ZE4尸=；N54￡）時，延長交射線AE于點M，延長OC交射線AE于點N,連結(jié)AC,MN,

若AB=4,AC=2,則當CE為何值時，△4WN是等腰三角形.

22.（2017?山東德州市.中考真題）如圖1,在矩形紙片4BCD中,AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使8點

落在邊A￡＞上的E處，折痕為PQ,過點E作EF〃A8交PQ于F,連接8F.

（1）求證：四邊形BFE尸為菱形；

（2）當點E在AO邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；

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①當點。與點C重合時（如圖2）,求菱形BFE尸的邊長；

②若限定P、。分別在邊加、BC上移動，求出點E在邊上移動的最大距離.

23.（2020?廣西中考真題）已知：在矩形ABCD中，AB=6,A￡>=2>/3.P是3C邊上的一個動點，將

矩形ABC。折疊，使點A與點P重合，點。落在點G處，折痕為EF.

（1）如圖1,當點P與點C重合時，則線段EB=，EF=；

（2）如圖2,當點P與點3,C均不重合時，取所的中點。，連接并延長P。與GF的延長線交于點M,

連接PE，ME，MA.

①求證：四邊形MEPF是平行四邊形：

②當tanNMAO="!?時，求四邊形ME尸產(chǎn)的面積.

3

圖1圖2

24.（2020?山東中考真題）在等腰△ABC中，AC=BC,AADE是直角三角形，ND4E=90。，ZADE=y

NACB,連接B。，BE,點尸是BD的中點，連接CE

（1）當/。8=45。時.

①如圖1,當頂點。在邊AC上時，請直接寫出NEAB與NCBA的數(shù)量關(guān)系是.線段BE與線段CF

的數(shù)量關(guān)系是:

②如圖2,當頂點。在邊AB上時，（1）中線段8E與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予

證明，若不成立，請說明理由；

學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM,并取BE的中點N,再利用三角形全等或相似有關(guān)知識來解決問題；

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思路二：取OE的中點G,連接4G,CG,并把AC4G繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全

等或相似有關(guān)知識來解快問題.

(2)當NCAB=30。時,如圖3,當頂點。在邊AC上時，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理

圖2圖3

已知&ABC內(nèi)接于GO,AB=AC,ABAC=42°，點。是。。上一點.

圖①

(I)如圖①，若BO為。。的直徑，連接CO,求ND8C和NACO的大??；

(II)如圖②，若CD"BA，連接A0，過點。作0。的切線，與OC的延長線交于點E,求NE的大小.

26.(2021?浙江中考真題)如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于。。，44c的平分線AG交。。于點G,交BC

邊于點F,連接8G.

⑴求證：△ABGs^AFC.

(2)已知43=。，AC=AF=b,求線段FG的長(用含“，。的代數(shù)式表示).

(3)已知點E在線段A尸上(不與點A,點尸重合)，點。在線段AE上(不與點A,點E重合),

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ZABD=ZCBE,求證：BG2=GEGD.

27.（2021.山東中考真題）如圖，已知正方形點E是BC邊上一點，將△ABE沿直線4E折疊，點

8落在F處，連接BF并延長，與ND4F的平分線相交于點H,與AE,CC分別相交于點G,M,連接HC

（1）求證：AG=GH；

（2）若A8=3,BE=1,求點。到直線8,的距離；

（3）當點E在BC邊上（端點除外）運動時，NBHC的大小是否變化？為什么？

28.（2021?甘肅中考真題）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)

圓的一個引理.如圖，已知是弦AB上一點，請你根據(jù)以下步驟完成這個引理的作圖過程.

（I）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）:

①作線段AC的垂直平分線。E，分別交AB于點°，AC于點￡，連接AO,CO；

②以點。為圓心，D4長為半徑作弧，交AB于點尸（EA兩點不重合），連接。尸.

（2）直接寫出引理的結(jié)論：線段8C,8尸的數(shù)量關(guān)系.

29.（2021?北京中考真題）在平面直角坐標系X。），中，。。的半徑為1,對于點A和線段8C,給出如下

定義：若將線段3C繞點A旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦8。（B',C分別是的對應(yīng)點），則稱線段是

QO的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段

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(1)如圖，點44，0,巴,。2，4,。3的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段4G,當。2,打。3中，。。的以點A為

中心的“關(guān)聯(lián)線段”是；

(2)AA5c是邊長為1的等邊三角形，點4(0,。，其中rwO.若8C是。。的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線

段”,求f的值;

⑶在AABC中，AB=\,AC=2.若BC是。。的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出OA的最小值

和最大值，以及相應(yīng)的BC長.

30.(2021?湖北中考真題)如圖，在菱形ABC。中，。是對角線3。上一點(30>OO),0E1AB,

垂足為E,以0E為半徑的。。分別交。。于點〃，交E0的延長線于點尸，E尸與DC交于點G.

(1)求證：BC是。0的切線；

(2)若G是OF的中點，OG=2,DG=1.

①求”E的長；

②求AO的長.

31.(2021.山東中考真題)如圖，在。。中，AB是直徑，弦COJ_AB,垂足為H,E為BC上一點，F(xiàn)

為弦DC延長線上一點，連接EE并延長交直徑AB的延長線于點G,連接AE交CO于點P，若EE=EP.

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(1)求證：莊是00的切線；

3

(2)若的半徑為8,sinF=-,求BG的長.

32.(2021?四川中考真題)如圖，OO的半徑為1,點A是。O的直徑8。延長線上的一點，C為。。上的

一點，AD=CD,Z4=30°.

(1)求證：直線AC是。。的切線；

(2)求△ABC的面積；

(3)點E在上運動(不與B、。重合)，過點C作CE的垂線，與EB的延長線交于點F.

①當點E運動到與點C關(guān)于直徑BD對稱時，求CF的長；

②當點E運動到什么位置時，C尸取到最大值，并求出此時CF的長.

33.(2021?重慶中考真題)在AA3c中，AB^AC,。是邊上一動點，連接AO,將AO繞點A逆

時針旋轉(zhuǎn)至AE的位置，使得ZDAE+ZBAC=180°.

(1)如圖1，當NA4C=90°時，連接3E,交AC于點F.若BE平分NABC,80=2,求A廠的長;

(2)如圖2,連接5E,取座的中點G,連接AG.猜想4G與C￡＞存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

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(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。G,CE.若N」R4C=120。，當BD>CD,NAEC=15()°時,

請直接寫出BD-DG的值.

CE

34.(2021?四川中考真題)如圖，點。在以AB為直徑的。。上，過。作。O的切線交AB延長線于點C,

4七，8于點￡交。。于點F,連接A。，F(xiàn)D.

(1)求證：ZDAE=ZDAC；

(2)求證：DFAC=ADDC；

(3)若sinNC=‘，AO=4而，求EF的長.

35.(湖南省益陽市2021年中考數(shù)學(xué)真題)如圖，在等腰銳角三角形A8C中，A3=AC,過點8作3。，AC

于。，延長8D交AMC的外接圓于點E,過點A作AF_LCE于F,的延長線交于點G.

(1)判斷E4是否平分N0￡戶，并說明理由；

(2)求證：①BD=CF；②BD?=DE?+AE-EG.

36.(2021?湖南中考真題)如圖①，E、/是等腰RhABC的斜邊BC上的兩動點,

ZE4F=45°,CDA.B(^CD=BE.

圖①

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A

(2)求證：EF2=BE2+CF2;

（3）如圖②，作A〃_L3C,垂足為H,設(shè)NEAH=a,NFAH=0,不妨設(shè)A6=及，請利用（2）

c/八、tana+tan￡

的結(jié)論證明：當a+"45時'「an…=ini產(chǎn)?

37.（2021?黑龍江中考真題）如圖所示,四邊形ABCD為正方形,在AECH中，Z.ECH=90°,CE=CH,HE

的延長線與CO的延長線交于點尸，點。、B、”在同一條直線上.

H

(1)求證：ACDEACBH；

,HB1,4FD一一

(2)當=一時，求的值;

HD5FC

(3)當HB=3,HG=4時，求sinNCEE的值.

38.（2021?四川中考真題）如圖，A3為。。的直徑，C為。。上一點，連接AC,BC,。為AB延長線上

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一點，連接CO,且ZBCZ）=NA.

（1）求證：CO是。。的切線;

(2)若。。的半徑為后，A/WC的面積為26，求CO的長;

EF1

(3)在（2）的條件下，E為。。上一點，連接CE交線段OA于點F,若一=一,求的長.

CF2

39.（2021.湖南中考真題）如圖，在RtZXABC中，點P為斜邊8c上一動點，將AABP沿直線”折疊,

使得點3的對應(yīng)點為8'，連接AB',CB',BB'，PB'.

(1)如圖①,若尸B'LAC,證明：PB'=AB'.

(2)如圖②,若AB=AC,BP=3PC,求cosNB'AC的值.

PC