勾股定理 分層作業(yè)（解析版）

人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊17.1.1勾股定理同步練習(xí)夯實基礎(chǔ)篇一、單選題：1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對應(yīng)邊分別是a，b，c，若∠B＝90°，則下列等式中成立的是（

）A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a(chǎn)2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2【答案】C【分析】利用勾股定理即可得到結(jié)果．【詳解】解：在△ABC中，∠B＝90°，∴△ABC為直角三角形，則根據(jù)勾股定理得：．故選：C．【點睛】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2+BC2+AC2的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】D【分析】根據(jù)，利用勾股定理可得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖示，∴在中，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的性質(zhì)，掌握直角三角形中，三角形的三邊長，，滿足是解題的關(guān)鍵．3．如圖，是由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，大直角三角形的斜邊和直角邊長分別是13，12．則圖中陰影部分的面積是（

）A．16 B．25 C．144 D．1【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理可進行求解【詳解】解：如圖所示：根據(jù)勾股定理得出：，，陰影部分面積是，故選：B．【點睛】此題考查勾股定理，解決此題的關(guān)鍵是清楚陰影部分的兩個正方形的面積和等于的平方．4．直角三角形兩邊長為3，4，則第三邊長為（

）A．5 B． C．5或 D．不能確定【答案】C【分析】分兩種情況，3，4為直角邊時和4為斜邊時，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：當(dāng)3，4為直角邊時，第三邊的長為，當(dāng)4為斜邊時，第三邊的長為，則第三邊的長為或，故選：C【點睛】此題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，直角三角形的兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方，注意分類討論．5．如圖，在中，，，垂足為D．若，，則的長為（

）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【答案】A【分析】先由勾股定理求出的長，再運用等面積法求得的長即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，即．故選A．【點睛】本題主要考查了勾股定理、等面積法等知識點，掌握運用等面積法求三角形的高是解題的關(guān)鍵．6．等腰三角形的腰長為5，底邊上的中線長為4，它的面積為（

）A．24 B．20 C．15 D．12【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知上的中線，同時也是邊上的高線，根據(jù)勾股定理求出的長即可求得．【詳解】解：如圖所示，∵等腰三角形中，，是上的中線，，同時也是上的高線，，，，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是得出底邊上的中線是上的高線．7．在中，，，，則的長為（）A．3 B．3或 C．3或 D．【答案】A【分析】在中，已知與的長，利用勾股定理求出的長即可；【詳解】解：在中，，，，由勾股定理得：，∴的長為3；故選：A【點睛】本題考查了勾股定理，能靈活運用定理進行計算是解題的關(guān)鍵．二、填空題：8．在中，，，，則____．【答案】4【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵在中，，，，．故答案為：4．【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．9．一直角三角形的兩直角邊長滿足，則該直角三角形的斜邊長為________．【答案】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負性，絕對值的非負性，得出的值，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴該直角三角形的斜邊長為，故答案為：．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負性，絕對值的非負性，勾股定理，得出的值是解題的關(guān)鍵．10．在中，，．則的面積為______．【答案】60【分析】畫出圖形，過點作于，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)得到，再利用勾股定理求得即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于，則，∵，，∴，∴在中，，∴，故答案為：60．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式，熟練掌握等腰三角形的三線合一性質(zhì)解答的關(guān)鍵．11．如圖，在中，．以、為邊的正方形的面積分別為、．若，，則的長為______．【答案】3【分析】根據(jù)正方形的面積求得，，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵以、為邊的正方形的面積分別為、，，，∴，，在中，，由勾股定理得：，故答案為：3．【點睛】本題考查勾股定理、正方形的面積，熟練掌握勾股定理是解答的關(guān)鍵．12．若直角三角形的兩邊長為a、b，且滿足，則該直角三角形的斜邊長的平方為_____．【答案】25或16##16或25【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出兩直角邊長、，已知兩直角邊求斜邊可以根據(jù)勾股定理求解．【詳解】解：，，解得：，，，，解得，，①當(dāng)a，b為直角邊，該直角三角形的斜邊長的平方為，②4也可能為斜邊，該直角三角形的斜邊長的平方為16，故答案為：25或16．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理計算直角三角形的斜邊，正確的運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，為中斜邊上的一點，且，過作的垂線，交于，若，，則的長為________．【答案】【分析】連接，根據(jù)已知條件，先證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，求得的長度，進而勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接．∵為中斜邊上的一點，且，過作的垂線，交于，∴，∴在和中，，∴，∴，又∵，∴．在中，，∴故答案為:．【點睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，連接是解決本題的關(guān)鍵．14．如圖，Rt中，，現(xiàn)將沿進行翻折，使點A剛好落在上，則_____．【答案】##2.5【分析】設(shè)，將沿進行翻折，使點A剛好落在上，則．則直角中根據(jù)勾股定理，即可得到一個關(guān)于的方程，即可求得．【詳解】解：設(shè)，則在Rt中，．則．在Rt中：．即：．解得：【點睛】此題考查了勾股定理的運用，根據(jù)勾股定理把求線段的長的問題轉(zhuǎn)化為方程問題是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：15．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的長．解：在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝32－22＝5.在Rt△ACD中，CD＝1，由勾股定理得16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足為D，CD＝8.求AC的長．解∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，設(shè)AC＝AB＝x，則AD＝x－6.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝，即AC的長為.17．、、是的三邊，且有．若是直角三角形，求的值．【答案】或【分析】先根據(jù)完全平方公式把原式變形為，可得，，再分兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：∵∴∴∴∴，，解得：，，當(dāng)，為直角邊時，；

當(dāng)為斜邊時，；綜上所述，的值為或．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握完全平方公式的應(yīng)用，勾股定理，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．18．已知：如圖，在中，，點是中點，于點，求證：．【答案】見解析【分析】在、、中，運用三次勾股定理，然后利用等量代換即可證明結(jié)論．【詳解】證明：在中，，在中，，∴，又∵是中點，∴，∴，即：．【點睛】題目主要考查勾股定理的重復(fù)運用，熟練掌握勾股定理且準確應(yīng)用等量代換是解題關(guān)鍵．能力提升篇一、單選題：1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，過點A作AD⊥BA交BC于點D，過點D作DE⊥BC交AC于點E，則AE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得的長，再求出的長，即可確定的長．【詳解】解：，，，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，得，或（舍去），，，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在四邊形中，，，點是邊上一點，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗證勾股定理．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】利用可證，故①正確；由全等三角形的性質(zhì)可得出，，求出，即可得到②正確；根據(jù)梯形的面積公式可得③正確；根據(jù)列式，可得④正確；整理后可得，即⑤正確．【詳解】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正確；∵，，∴梯形的面積是，故③正確；∵，∴，故④正確；整理得：，∴該圖可以驗證勾股定理，故⑤正確；正確的結(jié)論個數(shù)是5個，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，梯形的面積計算，三角形的面積計算，勾股定理等知識，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．3．如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結(jié)論：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③【答案】C【分析】由題意知，①﹣②可得2xy＝45記為③，①+③得到，由此即可判斷．【詳解】解：由題意知，①﹣②可得2xy＝45記為③，①+③得到，∴，∴．∵x＞y，由②可得x-y=2由③得2xy+4＝49∴結(jié)論①②③正確，④錯誤．故選：C．【點睛】本題考查勾股定理中弦圖的有關(guān)計算，準確找出圖中的線段關(guān)系，并利用完全平方公式求出各個式子的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題：4．如圖，點在邊長為5的正方形內(nèi)，滿足，若，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】19【分析】根據(jù)勾股定理求出，分別求出和正方形的面積，即可求出答案．【詳解】解：∵在中，，，，由勾股定理得：，∴正方形的面積是，∵的面積是，∴陰影部分的面積是，故答案為：19．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力和推理能力．5．如圖，在中，，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC的延長線于點E．若，，則EC的長為______．【答案】【分析】連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，再由勾股定理確定，設(shè)，則，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示：∵的垂直平分線交于點D，交的延長線于點E，∴，∵，，，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得：，∴，故答案為：．【點睛】題目主要考查垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．6．如圖，已知直角三角形的周長為24，且陰影部分的面積為24，則斜邊的長為______．【答案】10【分析】根據(jù)陰影部分面積等于以為直徑的半圓面積之和加上的面積減去以為直徑的半圓面積進行求解即可．【詳解】解；∵直角三角形的周長為24，∴，,∴，∵陰影部分的面積為24，∴，∴∴∴，∴，故答案為：10．【點睛】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．三、解答題：7．已知：在中，，、、所對的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作、、，則有，(1)如圖2，分別以的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分、、，請問與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2Sa