數(shù)學(xué)全等三角形難題

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1、（2022年成都）已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結(jié)DH與BE相交于點G。(!)求證：BF=AC；(2)求證：CE=

1

BF；2

(3)CE與BC的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論。

2.（2022?內(nèi)江）已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使∠DAF=60°，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)點D在邊BC上時，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如圖2，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．

3（08河北中考第24題）如圖14-1，在△ABC中，BC邊在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC．△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．（1）在圖14-1中，請你通過觀看、測量，猜想并寫出AB與AP所滿意的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖14-2的位置時，EP交AC于點Q，連結(jié)AP，BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿意的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖14-3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連結(jié)AP，BQ．你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

C（F）圖14-1

P

l

F

l

B

（E）

l

圖14-2

圖14-3

4.如圖1、圖2、圖3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB

＝∠COD＝90o，（1）在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由。

（2）若△COD

繞點O順時針旋轉(zhuǎn)肯定角度后，到達(dá)圖2的位置，請問AC與BD還相等嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎？為什么？

（3）若△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)肯定角度后，到達(dá)圖3的位置，請問AC與BD還相等嗎？還具有上問中的位置關(guān)系嗎？為什么？

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．分析：（1）依據(jù)等腰三角形的兩腰相等進(jìn)行解答．

（2）證明△DOB≌△COA，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行說明．解答：解：（1）相等．在圖1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OA=OB，OC=OD，∴0A-0C=0B-OD，∴AC=BD；（2）相等．

在圖2中，0D=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA，

∴BD=AC．點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)問題，在旋轉(zhuǎn)的過程中要留意哪些量是不變的，找出圖形中的對應(yīng)邊與對應(yīng)角．

5（2022河南）．（9分）復(fù)習(xí)“全等三角形”的學(xué)問時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)部任意一點，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP=∠BAC，連接BQ、CP，則

BQ=CP．”

小亮是個愛動腦筋的同學(xué)，他通過對圖①的分析，證明白△ABQ≌△ACP，從而證得BQ=CP之后，將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)覺“BQ=CP”仍舊成立，請你就圖②給出證明．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．專題：證明題；探究型．分析：此題的兩個小題思路是全都的；已知∠QAP=∠BAC，那么這兩個等角同時減去同一個角（2題是加上同一個角），來證得∠QAB=∠PAC；而依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS證得△ABQ≌△ACP，進(jìn)而得出BQ=CP的結(jié)論．解答：證明：（1）∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，即∠QAB=∠CAP；在△BQA和△CPA中，

AQ=AP∠QAB=∠CAPAB=AC，∴△BQA≌△CPA（SAS）；∴BQ=CP．（2）BQ=CP仍舊成立，理由如下：∵∠QAP=∠BAC，

∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，即∠QAB=∠PAC；在△QAB和△PAC中，

AQ=AP∠QAB=∠PACAB=AC，∴△QAB≌△PAC（SAS），

∴BQ=CP．點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)；選擇并利用三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．

5（2022山西太原）將一張透亮?????的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片△ABC和△DEF．且△ABC≌△DEF。將這兩張三角形膠片的頂點B與頂點E重合，把△DEF繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時AC與DF相交于點O．

①當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點B(E)，C，D在同始終線上時，?AFD與?DCA的數(shù)量關(guān)系是．②當(dāng)△DEF連續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？AO與DO存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：探究型．分析：（1）依據(jù)外角的性質(zhì)，得∠AFD=∠D+∠ABC，∠DCA=∠A+∠ABC，從而得出∠AFD=∠DCA；

（2）成立．由△ABC≌△DEF，可證明∠ABF=∠DEC．則△ABF≌△DEC，從而證出∠AFD=∠DCA；（3）BO⊥AD．由△ABC≌△DEF，可證得點B在AD的垂直平分線上，進(jìn)而證得點O在AD

的垂直

平分線上，則直線BO是AD的垂直平分線，即BO⊥AD．解答：解：（1）∠AFD=∠DCA（或相等）．（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：

方法一：由△ABC≌△DEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF．∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF，∴∠ABF=∠DEC．

在△ABF和△DEC中，AB=DE∠ABF=∠DECBF=EC∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC．

∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF．∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，∴∠AFD=∠DCA．

方法二：連接AD．同方法一△ABF≌△DEC，∴AF=DC．

由△ABC≌△DEF，得FD=CA．

在△AFD≌△DCA，AF=DCFD=CAAD=DA∴△AFD≌△DCA，∠AFD=∠DCA．

AD

（3）如圖，BO⊥AD．

方法一：由△ABC≌△DEF，點B與點E重合，

F得∠BAC=∠BDF，BA=BD．

∴點B在AD的垂直平分線上，且∠BAD=∠BDA．

BC∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF，E

∴∠OAD=∠ODA．

∴OA=OD，點O在AD的垂直平分線上．∴直線BO是AD的垂直平分線，BO⊥AD．

方法二：延長BO交AD于點G，同方法一，OA=OD．在△ABO和△DBO中，AB=DBBO=BOOA=OD∴△ABO≌△DBO，∠ABO=∠DBO．

在△ABG和△DBG中，AB=DB∠ABG=∠DBGBG=BG∴△ABG≌△DBG，∠AGB=∠DGB=90°．

∴BO⊥AD．點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)學(xué)問要嫻熟把握．

例1正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：延長EB使得BG=DF，易證△ABG≌△ADF（SAS）可得AF=AG，進(jìn)而求證△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解題．解答：解：延長EB使得BG=DF，在△ABG和△ADF中，

由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，

又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG=∠EAF，

∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°，

∴∠EAF=45°．

答：∠EAF的角度為45°．點評：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證∠EAG=∠EAF是解題的關(guān)鍵．

例2D為等腰Rt?ABC斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。

（1）當(dāng)?MDN繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。

A

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．專題：計算題．分析：（1）連CD，依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，則∠BCD=45°，∠CDA=90°，由∠DM⊥DN得∠EDF=90°，依據(jù)等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，依據(jù)全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到結(jié)論；

（2）由△DCE≌△ADF，則S△DCE=S△ADF，于是四邊形DECF的面積=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，依據(jù)三角形的面積公式易求得S△ACD，從而得到四邊形DECF的面積．解答：解：（1）連CD，如圖，∵D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點，

∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，∵∠DM⊥DN，∴∠EDF=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△DCE和△ADF中，∠DCE=∠DAFDC=DA∠CDE=∠ADF，MMBBB∴△DCE≌△ADF，∴DE=DF；

DDCC（2）∵△DCE≌△ADF，F(xiàn)FNN∴S△DCE=S△ADF，NE

∴四邊形DECF的面積=S△ACD，M而AB=2，（圖1）（圖2）（圖3）∴CD=DA=1，

∴四邊形DECF的面積=S△ACD=12CD?DA=12．點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三