2020-2021學年廣東省東莞市高二（下）期末數學試卷（解析版）

2020-2021學年廣東省東莞市高二（下）期末數學試卷

一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.已知函數/（無）=cosx-sinx,則/（無）=（）

A.-siiu+cosxB.siiu--cosxC.sinx+cos尤D.-siiu-cos尤

2.設隨機變量X服從正態(tài)分布N（3,16）,若尸（X>c）=P（X<3）,則c=（）

A.1B.2C.3D.4

3.A,B,C,D,E等5名學生進入學校勞動技能大賽決賽，并決出第一至第五名的名次（無

并列名次）.已知學生A和8都不是第一名也都不是最后一名，則這5人最終名次的不

同排列有（）

A.18種B.36種C.48種D.54種

4.某企業(yè)建立了風險分級管控和隱患排查治理的雙重獨立預防機制，已知兩套機制失效的

概率分別為告和言，則恰有一套機制失效的概率為（）

45

3口9八7八1

AA.—B.~r--C."r--D.-r-~

5202020

5.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一卦由六爻組成.有一種“金錢起

卦法”，其做法為：取兩枚相同的錢幣合于雙手中，上下搖動數下，再撒錢幣到桌面或

平盤等硬物上，此為一爻，重復六次，得到六爻.兩枚錢幣全部正面向上稱為變爻，若

每一枚錢幣正面向上的概率為段,則一卦中恰有兩個變爻的概率為（）

6.（xd）（2x1）5的展開式中常數項為（）

XX

A.-40B.-20C.20D.40

7.某放射性同位素在衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時間￡（單位：天）滿足函數

t

關系N（t）=N0e*其中M為片。時該同位素的含量.已知r=24時，該同位素含量

的瞬時變化率為-el則N（120）=（）

A.24貝克B.24/5貝克c.1貝克D.e-貝克

8.已知函數/（X）=*2,g（x）=l+/nr,若存在實數九，6使得/Gi）=g（fe）,則A

-h的最大值為（）

A.IrilB.1C.l+/〃2D.2+/〃2-e

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.請把正確選

項在答題卡中的相應位置涂黑

9.下列結論正確的是（）

A.若兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則相關系數r的絕對值M越接近于1

B.樣本（xi，yi）,（X2,>2）,（X3,券），…，（X”%）的回歸直線y=bx+a至少經

過其中一個樣本點

C.在回歸方程9◎中，當解釋變量尤每增加1個單位時，預報變量’平均增加

y-0.2x+0.8y

0.2個單位

D.在線性回歸模型中，用相關指數R2刻畫擬合效果，R2的值越小，模型的擬合效果越

好

10.已知復數z滿足|z|=l,貝”Z-1-i|的可能取值有（）

A.0B.1C.2D.3

11.如圖是函數/（x）的導函數/（x）的圖象，則下列結論正確的是（）

A.f（0）>f（1）B.x=l是/（無）的極小值點

C.x=-1是/（無）的極小值點D.x=-3是/（x）的極大值點

12.將3個不同的小球隨機放入4個不同的盒子，用S表示空盒子的個數，則下列結論正確

的是（）

A.P（^=1）=4B.P（g=2）=殺C.P（&=3）=心D.E（&）=M

O100410

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡的相應位置上.

13.在兩名男生與三名女生中隨機抽取兩人進行某項體能測試，則在第1次抽到男生的條件

下，第2次抽到女生的概率為.

14.若復數（z?是虛數單位）是純虛數，則實數.

15.已知圖1是“楊輝三角”，圖2是“萊布尼茨三角”，兩個“三角”之間具有關聯性.已

知“楊輝三角”中第n行第r+1個數為C；,則“萊布尼茨三角”中第n行第r+1個數

為;已知“楊輝三角”中第n行和第"+1行中的數滿足關系式

C：+C*=C即，類比寫出“萊布尼茨三角"中第八行和第?+1行中的數滿足的關系

式.

II

I2I

b

1331

1464520102()$

I51()105_LL_L_L!

V)60八

圖1圖2

16.若f(x)=ax與g(x)=亞的圖象有且僅有兩個公共點，則實數a的取值范圍

x

為.

四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.

解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應題號指定的區(qū)

域內，超出指定區(qū)域的答案無效.

17.已知函數/(x)=x3+2x2+x+2.

(1)求函數/(x)的極值；

n

(2)若對任意的x￡[-仔，1]都有/(x)<c成立，求c的取值范圍.

18.已知復數21=〃+。，(mZ?GR),Z2=c+力(c,JGR).

(1)當Q=l,b=-1,C=l,d=2時，求|zi|,\Z2\,|zi*Z2|；

(2)根據(1)的計算結果猜想|Z1?Z2|與|Z1|?|Z2|的關系，并證明該關系的一般性；

(3)結合(2)的結論進行類比或推廣，寫出一個復數的模的運算性質(不用證明).

19.為了了解員工長假的出游意愿，某單位從“70后”至“00后”的人群中按年齡段分層

抽取了100名員工進行調查.調查結果如圖4所示，已知每個員工僅有“有出游意愿”

和“無出游意愿”兩種回答，且樣本中“00后”與“90后”員工占比分別為10%和30%.

(1)現從“00后樣本中隨機抽取3人，記3人中“無出游意愿”的人數為隨機變量X,

求X的分布列及數學期;

(2)若把“00后”和“90后”定義為青年，“80后”和“70后”定義為中年，結合樣

本數據完成2X2列聯表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為該單位員

工長假的出游意愿與年齡段有關？

有出游意愿無出游意愿合計

青年

中年

合計

附:

P(02%0)0.0500.0100.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

?2_______n(ad-bc)?______

其中n—a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

出加京配調介結果

20.已知函數/(x)—lnx+ax.

(1)討論函數/(無)的單調性；

(2)若a>0,且g(x)—f(尤)-sin%在2兀)上有且僅有1個極值點，求。的

取值范圍.

21.共享單車以低碳、環(huán)保、節(jié)能、健康的理念，成為解決市民出行“最后一公里”的有力

手段.某公司調研部門統(tǒng)計了最近5個季度本公司的共享單車使用次數（萬次），結果

如下：

季度序號X12345

使用次數y11.21.51.82.2

（萬次）

（1）（i）根據上表，畫出散點圖并根據所畫散點圖，判斷能否用線性回歸模型擬合使

用次數y與季度序號尤之間的關系，如果能，求出y關于x的線性回歸方程；如果不能,

請說明理由.

（拓）如果你是公司主管領導，你會在下一季度向市場增加投放共享單車嗎？請說明理由.

（2）為進一步開拓市場做準備，公司目前接受報價的有兩款車型：A型單車每輛500元,

第一年收入500元，以后逐年遞減80元；8型單車每輛300元，第一年收入500元，以

后逐年遞減100元.經市場調研，兩款車型使用壽命頻數統(tǒng)計如表：

車型,使用壽1年2年3年4年總計

命

A10203040100

B10353025100

不考慮除采購成本以外的其它成本，假設每輛單車的使用壽命都是整數年，用頻率估計

概率，以1輛單車所產生的利潤的數學期望為決策依據，如果你是公司負責人，會選擇

哪款車型？

5--5一、2

參考數據：￡(xx-x)(y--y)=3,￡(x「x)=10.

i=li=l

-￡(x.-x)(y--y)

J-1*

n

i=l

?”HZ0八，.八?

22.已知函數/(x)=x2-x-xlnx,g(x)=x3-3ax+e.

(1)證明/(x)三0恒成立；

一f(x)

(2)用根QX{M,及}表示如〃中的最大值.已知函數h(x)=-----x+2，記函數(p(x)

X

=max[h(x),g(x)},若函數cp(x)在(0,+°°)上恰有2個零點，求實數〃的取

值范圍.

參考答案

一、單項選擇題(共8小題，每小題5分，共40分).

1.已知函數/'(x)=cosx-sinx,則f(x)=()

A.-sinx+cosxB.sinx-cos尤C.sinx+cosxD.-siiu--cosx

【分析】由導數運算公式可解決此題.

解：f(x)=(cos無)'-(sinx)'="siiu--cosx.

故選：D.

2.設隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,16),若尸(X>c)=P(X<3)，則c=()

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性以及參數小，。的含義進行分析求解,即可得到答

案.

解：因為尸(X>c)=P(X<3),

所以等=3,解得c=3.

故選：C.

3.A,B,C,D,E等5名學生進入學校勞動技能大賽決賽，并決出第一至第五名的名次(無

并列名次).已知學生A和8都不是第一名也都不是最后一名，則這5人最終名次的不

同排列有()

A.18種B.36種C.48種D.54種

【分析】先排乙，有3種情況；再排甲，有2種情況；余下3人有A33種排法，最后相乘

即可求解.

解：由題意，甲、乙都不是第一名且不是最后一名；

故先排乙，有3種情況；

再排甲，有2種情況；

余下3人有A33種排法.

故共有3X2X43=36種不同的情況.

故選：B.

4.某企業(yè)建立了風險分級管控和隱患排查治理的雙重獨立預防機制，已知兩套機制失效的

概率分別為'和《，則恰有一套機制失效的概率為（

【分析】利用分類計數原理以及相互獨立事件的概率乘法公式求解即可.

解：因為兩套機制是相互獨立的，且兩套機制失效的概率分別為4■和

故選：C.

5.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一卦由六爻組成.有一種“金錢起

卦法”，其做法為：取兩枚相同的錢幣合于雙手中，上下搖動數下，再撒錢幣到桌面或

平盤等硬物上，此為一爻，重復六次，得到六爻.兩枚錢幣全部正面向上稱為變爻，若

每一枚錢幣正面向上的概率為處，則一卦中恰有兩個變爻的概率為（）

【分析】先求出變爻的概率，利用六爻實際為6次獨立重復試驗，由此求出一卦中恰有

兩個變爻的概率即可.

解：由題意可知變爻的概率為高義《金，

因為六爻實際為6次獨立重復試驗，

5

所以一卦中恰有兩個變爻的概率為。X弓）2X（*）4=青＞.

故選：A.

6.（xJ）（2x」）5的展開式中常數項為（）

XX

A.-40B.-20C.20D.40

5-rr5-r5-2r

【分析】由（2x1）5的通項公式Tr+i=C^（2x）（-）r=（-l）'2'C5X,

求出其含有X與工的項，進而得到常數項.

X

解：由⑵二）5的通項公式r+LC葭Zx）5"，上）r=（-DJzAJCgxS-Zr,

X°X0

①當5-2r=-1即r=3時,（-1）°?22?C看?x-40.

②當5-2廠=1即r=2時，—?(-1)2-23?Cr'x=80.

X0

???(x」)(2x二)5的展開式中常數項=-40+80=40.

XX

故選：D.

7.某放射性同位素在衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時間，（單位：天）滿足函數

關系N（t）=N其中No為t=。時該同位素的含量?已知1=24時，該同位素含量

的瞬時變化率為-*1,則N（120）=（）

A.24貝克B.24e'5貝克C.1貝克D.-5貝克

【分析】先求出N⑺,然后利用利用N（24）=-"i,求出M,再求解N（120）即

可.

解:因為N（t）=N（je擊'

24,

則『（t）=-安?e?No

因為/=24時，該同位素含量的瞬時變化率為--1,

_24_

則N'（24）=-24pNQ=-e"

所以M）=24,

120

故N（120）=叱乂°一b7八一5貝克.

故選：B.

8.已知函數/（X）=^一2,g（x）=1+加X,若存在實數力，段使得了（力）=g（方2）,則人

-t2的最大值為（）

A.In2B.1C.1+歷2D.2+歷2-e

【分析】設/（力）=g（力）=3用t表示出ti-ti,構造函數h⑺=2+lnt-el~1（r>0）,

利用導數研究力（/）的單調性以及最值，即可得到答案.

2=

解：設/"）=g5）=t,貝Ue%=l+lnt2t（t>0），

t

所以九=2+/*t2=eL故t[-t2=2+lnt-etL

令hG)=2+lnt-e，1G>0),

則h'⑺=恒成立，

It

則〃（f）在（0,+8）上單調遞減，且〃（1）=0,

當0<7<1時，/（f）>0,則/?G）單調遞增，

當t>l時，h（?）<0,則h（?）單調遞減，

所以〃。）在r=i處取得極大值，即最大值，

故/7G）的最大值為/7（1）=2+加1-e-i=l,

所以t\-h的最大值為1.

故選：B.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.請把正確選

項在答題卡中的相應位置涂黑

9.下列結論正確的是（）

A.若兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則相關系數r的絕對值IH越接近于1

4AA

B.樣本（xi，M）,（X2,丁2），（X3，丁3），…，為）的回歸直線至少經

y-bx+a

過其中一個樣本點

C.在回歸方程9n父中，當解釋變量％每增加1個單位時，預報變量u平均增加

U?4X+十U?o

0.2個單位

D.在線性回歸模型中，用相關指數R刻畫擬合效果，用的值越小，模型的擬合效果越

好

【分析】根據線性相關性判斷4回歸直線方程的性質判斷2；回歸直線方程的性質判斷

C；根據相關指數甯越大擬合效果越好，可判定D

解：兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則相關系數廠的絕對值IH越接近于1,

滿足相關關系的性質，所以A正確；

AAA

樣本（尤i,第），（X2,>2）,（尤3,>3），（X",yn'）的回歸直線y=bx+a不一定經

過其中一個樣本點，故B不正確；

在回歸方程9￡中，當解釋變量了每增加1個單位時，預報變量平均增加0.2

y-0.2x+0.8y

個單位，滿足回歸直線方程的性質，故C正確;

R2越大擬合效果越好，故2不正確，故。不正確；

故選：AC.

10.己知復數z滿足|z|=l,則|z-1-i|的可能取值有()

A.0B.1C.2D.3

【分析】由已知可得iz-1-a的幾何意義是單位圓上的點與a,1)的距離之和，進而可

以求解.

解:復數Z滿足|0=1,則|z-1的幾何意義是單位圓上的點與(1,1)的距離之和，

所以和的最大值為原點與(1,1)的距離加半徑，即，j+j+iw^+i,

和的最小值為原點與(1,1)的距離減去半徑，即JF+J十收1,

所以iz-1-?的取值范圍為［&T,我+1，

故1,2滿足題意，0,3不滿足，

故選：BC.

11.如圖是函數/G)的導函數/(%)的圖象，則下列結論正確的是()

A.f(0)>f(1)B.x=l是/(無)的極小值點

C.尤=-1是/(x)的極小值點D.x=-3是/(%)的極大值點

【分析】根據導數值與0的關系判斷各個選項即可.

解：由圖象得：-3<x<-1Bt,f(x)<0,-f(x)20,其中尸(1)

=0,

：.f(x)在(-3,-1)遞減，在(-1,+8)遞增，

f(0)<f(1),所以A不正確；

x=l不是/(x)的極小值點，所以8不正確；

x=-1是/(x)的極小值點，所以C正確；

x=-3是/(x)的極大值點，所以。正確；

故選：CD.

12.將3個不同的小球隨機放入4個不同的盒子，用己表示空盒子的個數，則下列結論正確

的是(

22197

A.P（g=l）=dB.P（=2）=-j-r-C.p（g=3）=弁D.E（g）=w

8166416

【分析】分別計算出孑=1，f=2,孑=3的概率，再結合期望公式，即可求解.

解：當？=1時，把三個小球放在4個不同的盒子里，3個小球恰在3個不同的盒子內的

方法有A：=24種，

將三個不同的小球隨意放入4個不同的盒子里的所有方法有4X4X4=64種，

則3個小球恰在3個不同的盒子內的概率為名4，即尸（《=1）=v，故選項正確，

當孑=3時，即表示三個不同的小球同時放入其中的一個盒子中，共有4種情況，

則尸9=3）=2=上，故C選項錯誤，

6416

；己的取值只可能為1,2,3,

，尸（m=2）=—故8選項錯誤，

81616

□Q107

E（Q=1X曰+2><4+3乂/專，故。選項正確.

8161616

故選：AD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡的相應位置上.

13.在兩名男生與三名女生中隨機抽取兩人進行某項體能測試，則在第1次抽到男生的條件

下，第2次抽到女生的概率為4.

一4一

【分析】利用條件概率的含義結合古典概型的概率公式求解即可.

解：因為第一次抽到的是男生，

所以還剩下1名男生和3名女生，

故第2次抽到女生的概率為弓.

4

故答案為：43，

4

14.若復數學是虛數單位）是純虛數，則實數。=1.

【分析】先利用復數的除法運算進行化簡，然后由純虛數的定義求解即可.

解：復數等=（臚總空?=2a-2+￡+4）i為純虛數,

所以2〃-2=0且〃+4W0,所以〃=1.

故答案為：1.

15.已知圖1是“楊輝三角”，圖2是“萊布尼茨三角”，兩個“三角”之間具有關聯性.已

知“楊輝三角”中第n行第什1個數為C；，則“萊布尼茨三角”中第n行第r+1個數為

,；己知“楊輝三角”中第〃行和第n+1行中的數滿足關系式C：+C*=C霜，

(n+l)C：—nn什1

類比寫出“萊布尼茨三角”中第n行和第n+1行中的數滿足的關系式

141=1

(n+2)C：+i'(n+2)C：：；(n+l)C^--

圖1圖2

【分析】對照圖1和圖2,可得圖2中的每一數的分母即為圖1中的對應數的2倍,3倍,...，

(n+l)倍，第n行第什1個數即為第n+1行第r+1個數和第什2個數的和.可得所求結

論.

解：對照圖1和圖2,可得圖2中的每一數的分母即為圖1中的對應數的2倍，3倍，...，

(n+1)倍,

1

所以“萊布尼茨三角”中第n行第r+1個數為,,、廠「；

(n+1)Cn

由圖2可得，第n行第什1個數即為第n+1行第共1個數和第什2個數的和.

1_________]]

即為(n+2)C：+i+(n+2)=(n+1)C；

,、1]_________]]

故答案為：(n+l)C<(n+2)C：+i+(n+2)C*；=(n+l)C「

16.若f(x)=ax與8&)=@的圖象有且僅有兩個公共點，則實數a的取值范圍為

X

S,擊)—.

【分析】若f(x)=ax與g(x)=』空的圖象有且僅有兩個公共點，。=號有兩個根，

lnx

令g（x）=一葭，（x＞0）,求導分析單調性，最值，作出g（x）大致圖象，結合圖象

X

即可得出答案.

解：若/（X）=依與86）=處的圖象有且僅有兩個公共點,

X

則以=1也有兩個根，

x

lnx

即a—鼠有兩個根，

x

lnx

令Ag(x)=2~,(x>0)

x

12

,,、一?x-2xlnxl-21nx

g'(%)=x=---g-,

4x

x

所以在(0,ej-)上，g'(x)>0,g(x)單調遞增,

在(ey,+8)上，g'(x)<0,g(x)單調遞減,

1

2

所以g(X)max=g(6；)=。。與~~^-=4,

已X2e

(e2)2

又在（0,1）上g（無）＜0；在（1,+8）上g（尤）＞0,

故答案為：（0,.

Ne

四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.

解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應題號指定的區(qū)

域內，超出指定區(qū)域的答案無效.

17.已知函數/（x）—x3+2x2+x+2.

（1）求函數/（x）的極值；

（2）若對任意的1］都有/（x）<c成立，求c的取值范圍.

【分析】（1）求出導函數，求解極值點，判斷函數的單調性，然后求解函數的極值即可.

（2）由（1）求出函數的極值以及端點值，即可得到函數的最值，然后推出c的范圍即

可.

解：（1）因為/（無）=x3+2x2+x+2,所以/（x）=3N+4X+1,..........................................

（1分）

令f（X）=0,解得x=-^■或X=-1，

當/（%）>0,即或xV-1；當/（x）<0,即

o

-1<x<4?.................................................

故f（無）的單調遞增區(qū)間為（-8,-1）和-HOO）,單調遞減區(qū)間為

O

所以，x=-1時,/（無）有極大值/（-1）=2,...........................................................................

當x="時，/（彳）有極小值f（4）嘏.........................................

（2）由（1）知f（尤）在（一T）上單調遞減，在（A，1）上單調遞

OOO

增，.....................

又f（42）嗡52/（1）=

O乙t

6,,..........................................................

n

所以X€［一可，1］時,f（X）max=

6,.................................................................................................................

n

因為對任意的x€［-y.1］都有y（x）<c成立，所以C>

6.

18.已知復數zi=a+bi(a,b&R),z^—c+di(c,d6R).

(1)當a=l,b=-1,c=l,d=2時，求|zi|,閡，|z「Z2|;

(2)根據(1)的計算結果猜想|Z12|與㈤?閡的關系，并證明該關系的一般性；

(3)結合(2)的結論進行類比或推廣，寫出一個復數的模的運算性質(不用證明).

【分析】(1)把a=l,b=-1,c=l,1=2代入，利用復數模的計算公式求同，㈤，

利用復數代數形式的乘除運算求Z1-Z2,再由復數模的計算公式求|Z「Z2|；

(2)直接求|Z1?Z2|與厄卜㈤,即可得結論；

(3)類比(2)中的結論，可得復數商的模等于模的商(或三個及三個以上復數乘積的

模等于模的乘積).

22

解：(1)由題知|zi|=41+(-1)2=6，Iz2|=^1+2=V5-

:z「22=(1-z)x(l+2z)=3+i,

=22

Izrz2lVs+iVio；

(2)猜想|zi?Z2|=|Z1卜㈤,

22=22

證明：v|Zj|=Va+b>IZ2lVc+d>

=222222222222

IztMz2?Va+bVc+d=Vac+ad+bc+bd-

Vzi-Z2=(a+bi)X(c+成)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

ZI?z2I=V(ac-bd)2+(ad+bc)2=7a2c2+a2d2+b2d2+b2c2-

故區(qū)磔尸忸卜㈤成立:

IZ][IZ]I_

(3)||=-j------P或|ZI-Z2，Z3|=|Z1|,區(qū)卜或|Z「Z2,,…Z〃|=|zi|,?…|z?|.

z2?z2?

19.為了了解員工長假的出游意愿，某單位從“70后”至“00后”的人群中按年齡段分層

抽取了100名員工進行調查.調查結果如圖4所示，已知每個員工僅有“有出游意愿”

和“無出游意愿”兩種回答，且樣本中“00后”與“90后”員工占比分別為10%和30%.

(1)現從“00后樣本中隨機抽取3人，記3人中“無出游意愿”的人數為隨機變量X,

求X的分布列及數學期；

(2)若把“00后”和“90后”定義為青年，“80后”和“70后”定義為中年，結合樣

本數據完成2X2列聯表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為該單位員

工長假的出游意愿與年齡段有關？

有出游意愿無出游意愿合計

青年

中年

合計

P（蜉/）0.0500.0100.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

n(ad-bc)2

，其中n—a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【分析】（1）抽到“無出游意愿”的人數X的所有可能取值為0,1,2,求出概率，隨

機變量X的分布列，然后求解隨機變量X的期望.

（2）推出2X2列聯表，求出即可判斷不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認

為該單位員工長假的出游意愿與年齡段有關.

解：（1）由題知，樣本中“00后”員工人數m=100X10%=10人，.....................

（1分）

由圖4知，其中8人有出游意愿，2人無出游意愿，

從中隨機抽取3人，抽到“無出游意愿”的人數X的所有可能取值為0,1,

2）.....................................

Co7CoCi7CjCn1

P(X=0)=o=->P(X=1)=o=1K，P(x=2)=o=1K，

「J1l(blblb

^10A0

隨機變量X的分布列為

X012

p771

151515

隨機變量X的期望

771?

E(X)=OX*+1X±+2X卷*...............

lblblbb

(2)由題知，樣本中中年員工占比為1-10%-30%=60%,人數?2=100X60%=60人,

青年員工人數加=100X40%=40

人，.......................

結合圖3得到如下2X2列聯表,

有出游意愿無出游意愿合計

青年301040

中年402060

合計7030100

假設“有出游意愿與年齡段無關"，則N=

100X(30x20-40x10)...........................

70X30X40X6063

不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為該單位員工長假的出游意愿與年齡段有

關.............

20.已知函數/(x)=lnx+ax.

(1)討論函數/(x)的單調性；

(2)若。＞0,且g(x)=f(x)-sinx在(?*，2兀)上有且僅有1個極值點，求。的

取值范圍.

【分析】(1)求出函數的導數，通過①當。20時，②當。<0時，判斷導函數的符號,

判斷函數的單調性即可.

1TT

(2)通過g'(%)=0,得一+a二CQSX，g(X)在(-k，2兀)上有且僅有1個極值點，

x2

1TT

推出y=—+a(a>0)與y=cos%在(二丁，2兀)的圖象有且僅有一個交點，通過①當

x2

手<x<等時，②當等<x<2兀時，判斷交點個數，推出〃的取值范圍.

解：(1)由題得，函數定義域為(0,+8),f'(x)=—?........................

X

(1分)

①當°20時，f(尤)>0在(0,+8)上恒成立,

所以函數無)在(0,+8)上單調遞

增；................................

1

②當。<。時，由f，(x)=—+a=0)得x：—,

Xa

當了(x)>0時，0<x<-。；當/(x)<0時，X〉」，

aa

所以/(x)在(0,-工)上單調遞增，在(」，XQ)上單調遞

aa

減,...............................

綜上所述，當〃20時，f(x)在(0,+8)上單調遞增；

當a<0時，f(x)在(0,-上)上單調遞增，在(二，Q)上單調遞

aa

減.........................

(2)由題得g'(x)=--cosx+a(a^>0),令g'(x)=0,得

x

1

—+軟=cosx，?.............

x

TT、

因為g(x)在(一，2兀)上有且僅有1個極值點，

ITT

所以y=—+a(a>0)與y-cosx在(-丁，2兀)的圖象有且僅有一個交

x2

點,.......................

①當二時，—+a>0>cosx,此時y」+a與y=cosx沒有交

22xx

點，...................

②當芳Yx<2幾時，由前面的分析得，兩個函數圖象在（等，2冗）上有且僅有一

個交點，則不開-+a<cos2兀=1,

即............................................

2兀

綜上所述，。的取值范圍為

（°，卜普................................

21.共享單車以低碳、環(huán)保、節(jié)能、健康的理念，成為解決市民出行“最后一公里”的有力

手段.某公司調研部門統(tǒng)計了最近5個季度本公司的共享單車使用次數（萬次），結果

如下：

季度序號X12345

使用次數y11.21.51.82.2

（萬次）

（1）（力根據上表，畫出散點圖并根據所畫散點圖，判斷能否用線性回歸模型擬合使

用次數y與季度序號尤之間的關系，如果能，求出y關于x的線性回歸方程；如果不能,

請說明理由.

（方）如果你是公司主管領導，你會在下一季度向市場增加投放共享