人教版九年級數學下冊同步講義 第8課 相似全章復習與鞏固（原卷版+解析）

第8課相似全章復習與鞏固目標導航目標導航課程標準1、了解比例的基本性質，線段的比、成比例線段；

2、通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質，理解相似多邊形對應角相等、對應邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質和判定方法解決生活中的一些實際問題；

3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直角坐標系中，感受位似變換后點的坐標的變化；

4、結合相似圖形性質和判定方法的探索和證明，進一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力，以及綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力.知識精講知識精講知識點01相似圖形及比例線段1．相似圖形：在數學上，我們把稱為相似圖形(similarfigures).要點詮釋：

(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等；2.相似多邊形如果兩個多邊形的，對應邊的，我們就說它們是相似多邊形．要點詮釋：(1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．(2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比.3.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．要點詮釋：(1）若a:b=c:d，則ad=bc；(d也叫第四比例項）(2）若a:b=b:c，則=ac(b稱為a、c的比例中項）．知識點02相似三角形相似三角形的判定:判定方法(一）：，所構成的三角形和原三角形相似.判定方法(二）：，那么這兩個三角形相似.判定方法(三）：，那么這兩個三角形相似.要點詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.判定方法(四）：，那么這兩個三角形相似.

要點詮釋：

要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.相似三角形的性質：(1）相似三角形的，對應邊的；(2）相似三角形中的等于相似比；相似三角形，，都等于相似比.要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.(3)相似三角形周長的比等于相似比；(4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質：(1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等．(2）相似多邊形的周長比等于相似比．(3）相似多邊形的面積比等于．知識點03位似1.位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．2.位似圖形的性質:(1）位似圖形的對應點和位似中心在；

(2)位似圖形的等于相似比；

(3）位似圖形中的對應線段平行.要點詮釋：(1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構成位似圖形.(2）位似變換中對應點的坐標變化規(guī)律:在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.

知識點04黃金分割1.定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全長之比，即(此時線段AP叫作線段PB、AB的比例中項），則P點就是線段AB的黃金分割點(黃金點），這種分割就叫．2.黃金三角形：的等腰三角形，它的底角為72°，恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形．黃金三角形性質：底角平分線將其腰黃金分割．知識點04射影定理在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴△ABC∽△ACD∽△CBD(“角角”）∴；；(射影定理）；(等積）．能力拓展能力拓展考法01相似三角形【典例1】已知：如圖，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，當BD與a、b之間滿足怎樣的關系時，這兩個三角形相似？【即學即練1】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直線MN對折，使A、C重合，直線MN交AC于O.(1）求證：△COM∽△CBA；(2）求線段OM的長度.【典例2】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，將△ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，則四邊形MABN的面積是(）A． B．C． D．考法02相似三角形的綜合應用【典例3】已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．(1）求證：DE⊥BE；(2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．【典例4】如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點F，G，且．(1）求證：△ADF∽△ACG；(2）若，求的值．【即學即練2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處．(1）求證：△BDE∽△BAC；(2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度．【典例5】如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，點M是AD的中點，△MBC是等邊三角形．(1）求證：梯形ABCD是等腰梯形．(2）動點P、Q分別在線段BC和MC上運動，且∠MPQ=60°保持不變．設PC=x，MQ=y，求y與x的函數關系式．【即學即練3】如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若動點D從點B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度．過點D作DE∥BC交AC于點E，設動點D運動的時間為x秒，AE的長為y．

(1)求出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當x為何值時，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少?

考法03黃金分割用【典例6】如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點B的新位置B′，因而EB′=EB．類似地，在AB上折出點B″使AB″=AB′．這是B″就是AB的黃金分割點．請你證明這個結論．【即學即練4】如圖，已知△ABC中，D是AC邊上一點，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．

求證：(1）AD=BD=BC；(2）點D是線段AC的黃金分割點．第8課相似全章復習與鞏固目標導航目標導航課程標準1、了解比例的基本性質，線段的比、成比例線段；

2、通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質，理解相似多邊形對應角相等、對應邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質和判定方法解決生活中的一些實際問題；

3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直角坐標系中，感受位似變換后點的坐標的變化；

4、結合相似圖形性質和判定方法的探索和證明，進一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力，以及綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力.知識精講知識精講知識點01相似圖形及比例線段1．相似圖形：在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點詮釋：

(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等；2.相似多邊形如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．要點詮釋：(1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．(2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比.3.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．要點詮釋：(1）若a:b=c:d，則ad=bc；(d也叫第四比例項）(2）若a:b=b:c，則=ac(b稱為a、c的比例中項）．知識點02相似三角形相似三角形的判定:判定方法(一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似.判定方法(二）：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.判定方法(三）：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似.要點詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.判定方法(四）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.

要點詮釋：

要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.相似三角形的性質：(1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；(2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.(3)相似三角形周長的比等于相似比；(4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質：(1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等．(2）相似多邊形的周長比等于相似比．(3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．知識點03位似1.位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．2.位似圖形的性質:(1）位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；

(2)位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；

(3）位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.要點詮釋：(1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構成位似圖形.(2）位似變換中對應點的坐標變化規(guī)律:在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.

知識點04黃金分割1.定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全長之比，即(此時線段AP叫作線段PB、AB的比例中項），則P點就是線段AB的黃金分割點(黃金點），這種分割就叫黃金分割．2.黃金三角形：頂角為36°的等腰三角形，它的底角為72°，恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形．黃金三角形性質：底角平分線將其腰黃金分割．知識點04射影定理在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴△ABC∽△ACD∽△CBD(“角角”）∴；；(射影定理）；(等積）．能力拓展能力拓展考法01相似三角形【典例1】已知：如圖，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，當BD與a、b之間滿足怎樣的關系時，這兩個三角形相似？【答案與解析】∵AC=a，BC=b，∴AB=，①當△ABC∽△BDC時，,即.②當△ABC∽△CDB時，，即.【總結升華】相似三角形中未明確對應點和對應邊時，要注意分類討論.【即學即練1】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直線MN對折，使A、C重合，直線MN交AC于O.(1）求證：△COM∽△CBA；(2）求線段OM的長度.【答案】(1）證明：A與C關于直線MN對稱，∴ACMN，∴∠COM=90°，在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B，又∠ACB=∠ACB，∴△COM∽△CBA，(2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴OC=5，△COM∽△CBA，∴，∴OM=.【典例2】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，將△ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，則四邊形MABN的面積是(）A． B．C． D．【答案】C；【解析】由MC＝6，NC＝，∠C＝90°得S△CMN=，再由翻折前后△CMN≌△DMN得對應高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且相似比為1:2，故兩者的面積比為1:4，從而得S△CMN：S四邊形MABN=1:3，故選C.【總結升華】本題綜合考查了直角三角形的面積算法、翻折的性質、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似圖形的面積比等于相似比的平方等一些類知識點.知識點豐富；考查了學生綜合運用知識來解決問題的能力.難度較大.考法02相似三角形的綜合應用【典例3】已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．(1）求證：DE⊥BE；(2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．【答案與解析】證明：(1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；(2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD?CE=CD?DE．【總結升華】本題考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，熟記定理是解題的關鍵．【典例4】如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點F，G，且．(1）求證：△ADF∽△ACG；(2）若，求的值．【思路點撥】(1）欲證明△ADF∽△ACG，由可知，只要證明∠ADF=∠C即可．(2）利用相似三角形的性質得到=，由此即可證明．

【答案與解析】

(1）證明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵=，∴△ADF∽△ACG．(2）解：∵△ADF∽△ACG，∴=，又∵=，∴=，∴=1．【總結升華】本題考查相似三角形的性質和判定、三角形內角和定理等知識，記住相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵，屬于基礎題中考?？碱}型．【即學即練2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處．(1）求證：△BDE∽△BAC；(2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度．【答案與解析】

證明：(1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折疊，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；(2）由勾股定理得，AB=10．由折疊的性質知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=(8﹣CD）2，解得：CD=3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=．【典例5】如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，點M是AD的中點，△MBC是等邊三角形．(1）求證：梯形ABCD是等腰梯形．(2）動點P、Q分別在線段BC和MC上運動，且∠MPQ=60°保持不變．設PC=x，MQ=y，求y與x的函數關系式．【答案與解析】(1）∵是等邊三角形∴∵是中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴梯形是等腰梯形．(2）在等邊中，又∵，∴，∴，∴， ∴，∵∴ ，∴，∴. 【總結升華】利用相似三角形得到的比例式，構建線段關系求得函數關系，關鍵是能夠靈活運用所學知識來解題.【即學即練3】如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若動點D從點B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度．過點D作DE∥BC交AC于點E，設動