第二章 二次函數(shù)單元測試卷（解析版）

第二章二次函數(shù)單元測試卷一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?順平縣期中）如圖，已知拋物線的對稱軸為，點(diǎn)，均在拋物線上，且與軸平行，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【分析】已知拋物線的對稱軸為，知道的坐標(biāo)為，由函數(shù)的對稱性知點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：由題意可知拋物線的的對稱軸為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且與軸平行，可知、兩點(diǎn)為對稱點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為故選：．2．（2022秋?新華區(qū)校級期末）自由落體公式為常量），與之間的關(guān)系是A．正比例函數(shù) B．一次函數(shù) C．二次函數(shù) D．以上答案都不對【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義：形如、、是常數(shù)，的函數(shù)叫做的二次函數(shù)，就可以解答．【解答】解：因為等號的右邊是關(guān)于的二次式，所以是的二次函數(shù)．故選：．3．（2023?東阿縣二模）如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，其對稱軸為，且過點(diǎn)．下列說法：①；②；③；④；其中說法正確的是A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【分析】根據(jù)拋物線開口方向得到，根據(jù)拋物線的對稱軸得，則，則可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方得到，則，于是可對①進(jìn)行判斷；由于時，，則得到，則可對③進(jìn)行判斷；把代入函數(shù)解析式，結(jié)合對稱軸方程對④進(jìn)行判斷．【解答】解：拋物線開口向上，則．拋物線對稱軸為直線，，則．故②正確；拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，，．故①正確；時，，．故③錯誤；根據(jù)拋物線的對稱性知，當(dāng)時，，，，即．故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是①②④．故選：．4．（2023?東莞市校級一模）對于拋物線，下列說法中錯誤的是A．對稱軸是直線 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)是 C．當(dāng)時，隨的增大而減小 D．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為2【分析】首先判斷出二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，據(jù)此選擇正確答案．【解答】解：拋物線，，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，拋物線有最大值為2，選項錯誤．故選：．5．（2023?瀘縣一模）把拋物線向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線A． B． C． D．【分析】易得原拋物線的頂點(diǎn)及平移后拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)平移不改變拋物線的二次項系數(shù)可得新的拋物線解析式．【解答】解：由題意得原拋物線的頂點(diǎn)為，平移后拋物線的頂點(diǎn)為，新拋物線解析式為，故選：．6．（2023?惠城區(qū)模擬）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，本題得以解決．【解答】解：拋物線，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：．7．（2022秋?新城區(qū)期末）二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個數(shù)是A．0個 B．1個 C．2個 D．不能確定【分析】利用“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與一元二次方程之間的關(guān)系”解答即可．【解答】解：判斷二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)個數(shù)，就是當(dāng)時，方程解的個數(shù)，△，此方程有兩個相同的根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點(diǎn)．故選：．8．（2022秋?汝陽縣期末）把拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是A． B． C． D．【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進(jìn)行解題．【解答】解：將拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到函數(shù)解析式是：．故選：．9．（2022秋?茂南區(qū)期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸位置，與軸的交點(diǎn)判斷，，的符號即可．【解答】解：拋物線開口向下，，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸負(fù)半軸，，對稱軸在軸右側(cè)，，，故選：．10．（2023秋?南開區(qū)期中）已知二次函數(shù)，下列說法正確的是A．拋物線的對稱軸為直線 B．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C．函數(shù)的最大值是 D．函數(shù)的最小值是【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【解答】解：對稱軸為，故錯誤，不符合題意；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故錯誤，不符合題意；拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)有最大值，故正確，符合題意；錯誤，不符合題意；故選：．二．填空題（共6小題）11．（2023秋?永泰縣期中）二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，可以直接寫出該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：二次函數(shù)，該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．12．（2023秋?思明區(qū)校級期中）地面上一個小球被推開后筆直滑行，滑行的距離與時間的函數(shù)關(guān)系如圖中的部分拋物線所示（其中是該拋物線的頂點(diǎn)），則小球滑行至停止所用時間為秒．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合與的關(guān)系得出答案．【解答】解：如圖所示：滑行的距離要與時間的函數(shù)關(guān)系可得，當(dāng)秒時，滑行距離最大，即此時小球停止．故答案為：6．13．（2023秋?博山區(qū)校級期中）已知拋物線，則當(dāng)時，函數(shù)的最大值為．【分析】根據(jù)拋物線的解析式求得對稱軸為直線，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：，對稱軸為直線，，拋物線的開口向上，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為2．故答案為：2．14．（2023秋?越秀區(qū)校級期中）已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，軸上存在一點(diǎn)使得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】先求出，的坐標(biāo)，再根據(jù)列方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：當(dāng)時，，解得，，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，即，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．15．（2022秋?河西區(qū)校級期末）將拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度后，得到的拋物線解析式是．【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線向左平移1個單位長度所得拋物線的解析式為：；由“上加下減”的原則可知，將拋物線向上平移3個單位所得拋物線的解析式為：，故答案為：．16．（2023秋?北京期中）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值大于2的自變量的取值范圍是．【分析】利用拋物線的對稱性確定拋物線與的對稱點(diǎn)，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：拋物線的對稱軸為，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，當(dāng)時，，即當(dāng)函數(shù)值時，自變量的取值范圍是．故答案為：．三．解答題（共8小題）17．（2023?惠民縣自主招生）已知拋物線．（1）求證：此拋物線與軸必有兩個不同的交點(diǎn)；（2）若此拋物線與直線的一個交點(diǎn)在軸上，求的值．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)與圖象的關(guān)系，證明其方程有兩個不同的根即△即可；（2）根據(jù)題意，令，整理方程可得關(guān)于的方程，解可得的值．【解答】（1）證明：令得：，△，方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，原拋物線與軸有兩個不同的交點(diǎn)；（2）解：令，根據(jù)題意有：，解得或1．18．（2023?綿陽）隨著國家鄉(xiāng)村振興政策的推進(jìn)，鳳凰村農(nóng)副產(chǎn)品越來越豐富．為增加該村村民收入，計劃定價銷售某土特產(chǎn)，他們把該土特產(chǎn)（每袋成本10元）進(jìn)行4天試銷售，日銷量（袋和每袋售價（元記錄如下：時間第一天第二天第三天第四天元15202530袋25201510若試銷售和正常銷售期間，日銷量與每袋售價的一次函數(shù)關(guān)系相同，解決下列問題：（1）求日銷量關(guān)于每袋售價的函數(shù)關(guān)系式；（2）請你幫村民設(shè)計，每袋售價定為多少元，才能使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大？并求出最大利潤．（利潤銷售額成本）【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，即可求出日銷售量（袋與銷售價（元的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用“每袋利潤日銷量總利潤”列出函數(shù)解析式，進(jìn)而求出二次函數(shù)最值即可．【解答】解：（1）依題意，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，設(shè)日銷售量（袋與銷售價（元的函數(shù)關(guān)系式為，得，解得，故日銷售量（袋與銷售價（元的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）依題意，設(shè)利潤為元，得，配方，得，當(dāng)時，取得最大值，最大值為225，故要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價應(yīng)定為25元，每日銷售的最大利潤是225元．19．（2023秋?番禺區(qū)期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象，直接寫出不等式的解集．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式即可；令，求出的值，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象可得答案．【解答】解：（1）將，代入，得，解得，二次函數(shù)的解析式為．令，得，解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）由（1）可知，二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，1，不等式的解集為．20．（2023秋?天心區(qū)期中）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的值和圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在該拋物線上，且，求的取值范圍．【分析】（1）將點(diǎn)代入即可求出的值以及拋物線解析式，再進(jìn)行配方即可找到頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線的增減性即當(dāng)時，隨著的增大而減小，當(dāng)時，隨著的增大而增大，結(jié)合，即可找到的取值范圍．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）拋物線的對稱軸為直線，且開口向上，當(dāng)時，隨著的增大而減小，當(dāng)時，隨著的增大而增大，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，．21．（2023秋?晉安區(qū)期中）一人一盔安全守規(guī)，一人一帶平安常在．某商店銷售一批頭盔，售價為每頂80元，每月可售出200頂，在“創(chuàng)建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，但不能虧本且降價不低于10元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每頂降價1元，每月可多售出10頂．已知頭盔的成本為每頂50元．（1）當(dāng)每月獲利5250元時，求此時每頂頭盔的售價．（2）當(dāng)每頂頭盔售價多少元時，每月的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）設(shè)降價元，根據(jù)每月的利潤為5250元列方程解出即可；（2）設(shè)降價元，每月的利潤為元，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)降價元，每月的利潤為5250元，根據(jù)題意，得，解得，（不合題意舍去），答：頭盔的銷售單價為65元．（2）設(shè)降價元，每月的利潤為元，根據(jù)題意得，，不能虧本且降價不低于10元，當(dāng)時，每月的銷售利潤最大，答：當(dāng)每頂頭盔售價70元時，每月的銷售利潤最大，最大利潤是6000元：．22．（2023秋?深圳校級期中）“雙減政策”要求學(xué)校更注重“減負(fù)增效”，學(xué)校為了保證學(xué)生的視力，倡導(dǎo)學(xué)生購買護(hù)眼燈．某商場為了保證供應(yīng)充足，購進(jìn)兩種不同類型的護(hù)眼燈，若用3120元和4200元購進(jìn)型和型護(hù)眼燈的數(shù)量相同，其中每臺型護(hù)眼燈比型護(hù)眼燈便宜9元．（1）求該商場購進(jìn)每臺型和型護(hù)眼燈的成本價．（2）該商場經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，型護(hù)眼燈售價為36元時，可以賣出100臺．每漲價1元，則每天少售出2臺．求每臺型護(hù)眼燈升價多少元時，銷售利潤最大？【分析】（1）設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)“用3120元和4200元購進(jìn)型和型護(hù)眼燈的數(shù)量相同”列方程，解出并檢驗即可；（2）根據(jù)題意，列出函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：（1）設(shè)型護(hù)眼燈每臺的成本價是元，則型護(hù)眼燈每臺的成本價是元，由題意得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，，答：型護(hù)眼燈每臺的成本價是26元，則型護(hù)眼燈每臺的成本價是35元；（2）設(shè)每臺型護(hù)眼燈升價元，獲得利潤為元，根據(jù)題意得：，，，，當(dāng)時，取最大值，最大值為1800，答：每臺型護(hù)眼燈升價20元時，銷售利潤最大．23．（2023秋?朝陽區(qū)校級期中）已知：二次函數(shù)中的和滿足下表：0123453008（1）這個二次函數(shù)的對稱軸是直線；（2）的值為；（3）求出這個二次函數(shù)的解析式；（4）當(dāng)時，則的取值范圍為．【分析】（1）根據(jù)表中、的對應(yīng)值可知，當(dāng)與時的值相等，所以此兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出對稱軸的直線方程；（2）根據(jù)拋物線的對稱性求得即可；（3）利用待定系數(shù)法求得即可．【解答】解：（1）由表中、的對應(yīng)值可知，當(dāng)與時的值相等，對稱軸是直線，故答案為直線；（2）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，，故答案為3；（3）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，