第1課時(shí)　集合的概念 高一數(shù)學(xué)

1.1集合的概念第1課時(shí)集合的概念自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、元素與集合的概念1.閱讀下面的例子,并回答提出的問(wèn)題:①在平面直角坐標(biāo)系中,第四象限的點(diǎn)的全體;②方程x2-1=0的所有實(shí)數(shù)根;③某校高一(1)班所有跑得快的女生.(1)以上各例子中要研究的對(duì)象分別是什么?(2)哪個(gè)例子中的對(duì)象不確定?為什么?提示:(1)分別為點(diǎn)、實(shí)數(shù)根、女生.(2)③中的對(duì)象不確定.因?yàn)椤芭艿每臁睕](méi)有明確的劃分標(biāo)準(zhǔn).2.填空:一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,通常用小寫拉丁字母a,b,c,…表示.把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集),通常用大寫拉丁字母A,B,C,…表示集合.二、集合中元素的特性1.英文單詞good的所有字母能否組成一個(gè)集合?若能組成一個(gè)集合,則該集合中有幾個(gè)元素?為什么?提示:能,因?yàn)榧现械脑厥谴_定的(確定性);3個(gè)元素,因?yàn)榧现械脑厥腔ゲ幌嗤?互異性).2.分別由元素1,2,3和3,2,1組成的兩個(gè)集合有何關(guān)系?集合中的元素有沒(méi)有先后順序?提示:兩個(gè)集合相等.只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.也就是說(shuō)集合中的元素沒(méi)有先后順序(無(wú)序性).3.集合中元素的特性:確定性、互異性、無(wú)序性.只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.4.下列各組對(duì)象不能組成集合的是(

)A.大于6的所有整數(shù)B.某課本中所有的簡(jiǎn)單題C.被3除余2的所有正整數(shù)D.函數(shù)y=x圖象上的所有點(diǎn)答案:B三、元素與集合的關(guān)系1.設(shè)集合A表示“1~10之間的所有奇數(shù)”,3和4與集合A是何關(guān)系?提示:3是集合A中的元素,即3屬于集合A,記作3∈A;4不是集合A中的元素,即4不屬于集合A,記作4?A.2.如果a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于集合A,記作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就說(shuō)a不屬于集合A,記作a?A.四、常用的數(shù)集及其記法1.非負(fù)整數(shù)集與正整數(shù)集有何區(qū)別?提示:非負(fù)整數(shù)集包括0,而正整數(shù)集不包括0.2.3.若a∈Q,則一定有a∈R嗎?反過(guò)來(lái)呢?提示:若a∈Q,則一定有a∈R;反過(guò)來(lái),若a∈R,則不一定有a∈Q.4.用符號(hào)“∈”或“?”填空.(1)1

N*;(2)-3

N;

(3)0

Z; (4)

Q;

(5)

R.

答案:(1)∈

(2)?

(3)∈

(4)?

(5)∈【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)某班所有學(xué)生的姓氏能組成集合.(√)(2)方程x2-2x+1=0的解集中含有2個(gè)元素.(×)(3)改變一個(gè)集合中元素的順序,所得集合仍與原來(lái)的集合相等.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

集合的判定【例1】

判斷下列每組對(duì)象能否組成一個(gè)集合:(1)等邊三角形的全體;(2)小于2的所有整數(shù);(3)所有無(wú)理數(shù); (4)著名的數(shù)學(xué)家.解:(1)任給一個(gè)三角形,可以明確地判斷是不是等邊三角形,要么是,要么不是,二者必居其一,且僅居其一,故“等邊三角形的全體”能組成集合;類似地,(2)能組成集合;(3)能組成集合;(4)“著名的數(shù)學(xué)家”無(wú)明確的判斷標(biāo)準(zhǔn),對(duì)于某個(gè)數(shù)學(xué)家是否著名無(wú)法客觀判斷,因此“著名的數(shù)學(xué)家”不能組成集合.反思感悟一般地,確認(rèn)一組對(duì)象a1,a2,a3,…,an能否組成集合的具體過(guò)程如下:【變式訓(xùn)練1】

(多選題)下列各組對(duì)象能組成一個(gè)集合的是(

)A.在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)B.在平面直角坐標(biāo)系中,所有橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)C.所有不小于3的正整數(shù)D.高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)解析:對(duì)于A選項(xiàng)中的“非常近”標(biāo)準(zhǔn)不明確,故不能組成集合;同理D選項(xiàng)中的“視力比較好”標(biāo)準(zhǔn)也不明確,而B,C選項(xiàng)中的對(duì)象都是明確的,故A,D選項(xiàng)中的對(duì)象均不能組成集合,B,C選項(xiàng)中的對(duì)象能組成集合.答案:BC探究二

元素與集合的關(guān)系【例2】

給出下列四個(gè)關(guān)系:,其中正確的有(

)A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)答案:C反思感悟判斷一個(gè)元素是不是某個(gè)集合的元素,關(guān)鍵是判斷這個(gè)元素是否具有這個(gè)集合的元素的共同特征或共同屬性.要么是,要么不是,兩者必居其一,且僅居其一.【變式訓(xùn)練2】

用符號(hào)“∈”或“?”填空:答案:∈

?

∈

∈

探究三

集合中元素的特性及其應(yīng)用【例3】

已知集合A中只含有a-3和2a-1兩個(gè)元素,若-3∈A,試求實(shí)數(shù)a的值.解:由題意,知-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,則a=0.此時(shí)集合A中只含有-3,-1兩個(gè)元素,符合題意;若-3=2a-1,則a=-1.此時(shí)集合A中只含有-4,-3兩個(gè)元素,符合題意.綜上所述,a=0或a=-1.1.若將本例中的條件“-3∈A”換成“a∈A”,求實(shí)數(shù)a的值.解:由題意,知a=a-3或a=2a-1,解得a=1,此時(shí)集合A中只有-2,1兩個(gè)元素,符合題意.故所求a的值為1.2.若將本例中的條件“-3∈A”去掉,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:由集合中元素的互異性,得a-3≠2a-1,即a≠-2.故所求a的取值范圍為a≠-2.反思感悟解答此類問(wèn)題一般是先根據(jù)集合中元素的確定性求出元素中所含參數(shù)的所有可能的取值,再根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)元素進(jìn)行檢驗(yàn).易

錯(cuò)

辨

析因忽視集合中元素的互異性致錯(cuò)【典例】

關(guān)于x的方程x2-(a+1)x+a=0的解集中有幾個(gè)元素?錯(cuò)解:因?yàn)閤2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解為1,a,則方程的解集中有1,a兩個(gè)元素.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:以上錯(cuò)解中沒(méi)有注意到字母a的取值帶有不確定性.事實(shí)上,當(dāng)a=1時(shí),不滿足集合中元素的互異性.正解:因?yàn)閤2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解為1,a.若a=1,則方程的解集中只有一個(gè)元素1;若a≠1,則方程的解集中有1,a兩個(gè)元素.防范措施1.先由解方程得到x的可能值,再根據(jù)元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn).2.在解方程求得x的值