2022-2023學(xué)年安徽省安慶市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年安徽省安慶市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.集合a={%eM-5<2%—1<5}的子集個(gè)數(shù)為（）

A.4B.7C.8D.16

2.命題“Vx>5,logs%>1”的否定是.（）

A.Vx>5,log5x<1B.3x0>5,log5x0<1

C.Vx<5,log5x<1D.3x0<5,log5x0<1

3.下列各式中，與si嗎的值相等的是（）

A.cos*B.sin亭C.sin?D.sin?

0333

4.“角。為第三象限角”是“sin8tane<0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知函數(shù)fO）=（1）x+^cosx,則其圖象可能是（）

1

2

6.已知a=tan2,b=log3c=-0.99,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

7.大西洋鞋魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鞋魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鞋魚的游速以單位:

6/s）與高成正比，其中X表示鞋魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條鞋魚的耗氧量是2700個(gè)單

位時(shí)，它的游速為1.5zn/s.若一條鞋魚的游速提高了lrn/s,則它的耗氧量的單位數(shù)是原來的

倍.（）

A.4B.8C.9D.27

8.已知函數(shù)/。)=m％+x-2的零點(diǎn)為右，則下列說法錯(cuò)誤的是()

x2x

A.x06(1,2)B.xoe°=eC.(2—%0)°<1D.%；一"°<1

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.下列各式中，其中運(yùn)算結(jié)果正確的是()

A.“71-4-=7r-4B.1093(92x33)=7

C.匈4+匈25=2D.log49=log23

10.已知函數(shù)=tan(x+［),則下列敘述中，正確的是()

4

A.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)6,0)對稱B.函數(shù)f(x)在(-建)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)y=|/(x)|的最小正周期為與D.函數(shù)y=|f(x)|是偶函數(shù)

11.已知函數(shù)/'(X)=Asin{a)x+>0,a)>0,\(p\<$的部分

圖象如圖所示，下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(%)的最小正周期為兀

B.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線x=-號對稱

C.函數(shù)/(%)圖象向右平移弓個(gè)單位可得函數(shù)y=2s譏》的圖象

D.若方程f(%)=THQHER)在［-9芻上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根%1，%

則COS(%1+%2)=2

12.已知函數(shù)y=/(%)是定義在R上的奇函數(shù),/(I+%)=/(I-%),且當(dāng)汽G［0,1］時(shí),/(%)=

%2,則下列關(guān)于函數(shù)y=/(%)的判斷中，其中正確的判斷是()

A.函數(shù)y=/(%)的最小正周期為4

B.得=；

C.函數(shù)y=f(x)在［2,4］上單調(diào)遞增

D.不等式/Q)>0的解集為［4k,4k+2］(kGZ)

三、填空題(本大題共3小題，共15.0分)

13.已知萬=3,則+2-2X=—.

14.已知幕函數(shù)y=(m2-3)%7n在(0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)瓶=___；函數(shù)y=

幻嗎(—/+E)的單調(diào)遞增區(qū)間為_.

15.已知a,b,c均為正實(shí)數(shù)，且a+b=l,則竽+：+名的最小值為一.

babc+1

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題10.0分)

2

已知集合4={x|x-5x<a,aE.R},集合B={x|log2x<1}.

(1)當(dāng)a=-4時(shí)，求ACB；

(2)若2UB=4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

17.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=x2+bx+c(b,c6R)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f[/(0)]=

(1)求函數(shù)/(X)的解析式；

ny

(2)試判斷函數(shù)9。)=訴乙JI人而J-D9>0)在[1,+8)上的單調(diào)性并證明.

18.(本小題12.0分)

□

在△ABC中，tanA=-

4

(1)求sin(B+C),cos(B+C)的值；

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)fO)=W二，g(x)=咨二，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求證：g(2x)=[/(x)]2+[5(x)]2：

7

(2)求函數(shù)h(x)=g(2x)-]9(x)的零點(diǎn).

20.(本小題12.0分)

2022年11月20日，備受全球球迷關(guān)注的第22屆世界杯足球賽如期開幕，全球32支參賽隊(duì)伍，

將在64場比賽中爭奪世界足球的最高榮譽(yù)大力神杯/某體育用品商店借此良機(jī)展開促銷活動(dòng),

據(jù)統(tǒng)計(jì)，該店每天的銷售收入不低于2萬元時(shí)，其純利潤y(單位：萬元)隨銷售收入式單位：

萬元)的變化情況如下表所示：

光(萬元)35

-

r59

y(萬元)2*111

?^44

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別用模型y=loga(x+m)+b(a＞。且a*1)與y=c^Jx+n+d建立y

關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)已知當(dāng)x=9時(shí)，y=3.3,你認(rèn)為(1)中哪個(gè)函數(shù)模型更合理？請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：

AT57?7.55)

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(%)=sin2x-2Hco/x+a(a6R),且滿足.從①函數(shù)/'(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)

場,0)對稱；②函數(shù)/(%)的最大值為2；③函數(shù)/(%)的圖象經(jīng)過點(diǎn)這三個(gè)條件中任選

一個(gè)補(bǔ)充到上面的橫線上，并解答下面的問題：

(1)求實(shí)數(shù)a的值并求函數(shù)/'(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)已知函數(shù)g(%)=lg2x-mlgx一m2(mGR),若對任意的%1E[一，：],總存在不e[1,100],

使得/(%i)4g(%2)，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?={xeW|-5<2x-1<5}={xGW|-2<x<3]={0,1,2},

所以該集合的子集的個(gè)數(shù)為23=8.

故選：C.

解出集合4再計(jì)算集合的子集個(gè)數(shù).

本題主要考查子集個(gè)數(shù)的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：含全稱量詞的命題的否定是含存在量詞的命題，

命題“Vx>5,log5x>1"的否定是>5,log5x0<1.

故選：B.

根據(jù)命題的否定的定義判斷.

本題主要考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：因sin孚=—sinJcos^=sin§=?，sin萼=—sin'=一?，sin停=

33L62323323

.71

Sln3=

故選：c.

結(jié)合誘導(dǎo)公式求出各三角函數(shù)值后可得.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：角。為第三象限角，則有sin。<0,tan9>0,由s譏例cm。<0不一定有sin。<0,

tand>0,因此“角。為第三象限角”是“sinOtan。<0”的充分不必要條件.

故選：A.

掌握三角函數(shù)值的正負(fù)與角所在象限的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

本題屬于三角函數(shù)與充要條件的交匯題目，判斷誰是誰的充要條件關(guān)鍵要看前提和結(jié)論的推出關(guān)

系.

5.【答案】A

【解析】解：由條件知/⑺=。）兀+/os兀=（y—￡<0,4符合，其它均不符合.

故選：A.

計(jì)算函數(shù)值/（兀）后可得.

本題主要考查函數(shù)圖象的判斷，考查排除法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閍=tan2<tan^=-1=h<c=-0.992=-0.9801,

4

所以a<b<.c.

故選：A.

結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，借助中間值-1比較可得.

本題考查三個(gè)數(shù)的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

的合理運(yùn)用.

7.【答案】C

【解析】解：由題意設(shè)u=klog3當(dāng)久=2700時(shí),0=1.5,即1.5=klog3=3k,解得k=

17X

???”近必痂，

設(shè)原來的耗氧量的單位數(shù)為X1，提速后的耗氧量的單位數(shù)為%2，

貝圖。。3齋-50g3蓋=夕。。3光=1，即第=32=9.

故選：C.

根據(jù)初始值求得比例系數(shù)鼠然后設(shè)原來的耗氧量的單位數(shù)為與，提速后的耗氧量的單位數(shù)為%2,

即可得出答案.

本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查轉(zhuǎn)化思想，考查待定系數(shù)法，考查運(yùn)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：由條件知函數(shù)/(%)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以其最多有一個(gè)零點(diǎn)，

又"1)=-1<0,/(2)=ln2>0,

于是%oe(1,2),A正確；

xx

所以+x0-2=0,整理得"X。+lne°=ln(xoe°)=2,

所以殉/。=e2,8正確;

因X。￡(1,2)，

所以2—%。e(0,1),

于是(2—X。產(chǎn)<L溢』>1，C正確，D錯(cuò)誤，

故選：D.

由零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性確定零點(diǎn)與G(1,2),再利用零點(diǎn)的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判

斷各選項(xiàng).

本題考查零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：4選項(xiàng)：y(兀_4)4=I兀_4|=4—兀,A錯(cuò)誤；

237

B選項(xiàng)：log3(9X3)=log33=7,8正確；

C選項(xiàng)：lg4+lg25=IglOO=IglO2=2,C正確；

2

。選項(xiàng)：log49=log223=log23,力正確.

故選：BCD.

利用開偶次方的性質(zhì)以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.

本題主要考查對數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AB

【解析】解：/(-T)=tanO=0,A正確；

Xe(一時(shí)，%+江(0,》因此此時(shí)/(%)遞增，8正確；lf(一力1=0,但|/嚀)|不存在，C,D均

不正確.

故選：AB.

由正切函數(shù)性質(zhì)判斷48,利用特殊值及周期性、奇偶性的定義判斷CD.

本題主要考查正切函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AB

【解析】解：由圖可知a=2,J=3—白=%所以7=兀，故A正確；

4J1Z4

因?yàn)門=—=7T,所以3=2,

(JL)

則/(%)=2s譏(2%+9),將點(diǎn)(工,2)代入得：2s譏(3+3)=2,

所以3+9=3+2/OT,fcGZ,又lw|V?，所以W=T，所以f(x)=2s譏(2%+勺,

。乙乙DD

對于B,因?yàn)閒(一招)=2s譏(—期+貨=一2,為最小值,

所以函數(shù)/Q)的圖象關(guān)于直線久=-瑞對稱，故2正確；

對于C,將函數(shù)/(%)圖象向右平移著個(gè)單位，

可得函數(shù)y=2sin［2(x一$+§=2sin2x,故C錯(cuò)誤；

對于。，由條件結(jié)合圖象可知華=%于是/+叼=?所以cos(Xi+久2)=cos,=?，故D

zizo、,62

錯(cuò)誤.

故選：AB.

根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng).

本題主要考查由y=2s譏(3%+0)的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：由f(l+x)=f(l-x)得/'(2+x)=/(-久)，

于是f(4+無)=/(-2-%)=-/(2+%)=-/(-%)=/(%),

所以函數(shù)y=f(x)的最小正周期為4,A正確；

哈=6)=6)=(|)2J8正確;

/(%)在［0,1］上遞增，由/Q)是奇函數(shù)得/Q)在［-1,0］上遞增，即在［-1,1］上遞增，

又了(久)圖象關(guān)于直線x=1對稱(?."(1+久)=/(I-%)),因此f(x)在［1,3］上遞減，

而下(尤)是周期為4的周期函數(shù)，因此f(x)在［3,5］上遞增，C錯(cuò)誤；

由選項(xiàng)C的討論，可得到不等式7?0)20的解集為[4k,4k+2](kez),。正確.

故選：ABD.

由奇函數(shù)的性質(zhì)與對稱性得出函數(shù)的周期性，結(jié)合周期性、奇偶性、對稱性及函數(shù)在[0,1]上的解

析式可得函數(shù)的性質(zhì)，從而判斷各選項(xiàng).

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性及周期性的應(yīng)用

13.【答案】1

【解析】解：由已知得22，+23=(2工)2+(2丁2=9+5=號.

故答案為：

根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

本題主要考查指數(shù)累的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】2[1,2)

【解析】解：因?yàn)閥=(m2-3)%血是塞函數(shù)，

所以血2-3=1,解得?71=±2,

又y-(m2-3)%力在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以771>0,則？71=2；

于是y=logi(—x2+mx)=logi(—x2+2%),

由—產(chǎn)+2久>0,解得0<x<2,則y=/。嗎(―/+2久)的定義域?yàn)?0,2),

又〃=一%2+2%=-1)2,其開口向下，對稱軸為1=1,

所以〃=一%2+2%在(0,1](或(0,1))上單調(diào)遞增，在[1,2)(或(1,2))上單調(diào)遞減，

又y=log串在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

2

所以y=logi(-x2+曜)的單調(diào)遞增區(qū)間為口2).

故答案為：2；[1,2).

先利用幕函數(shù)的定義與單調(diào)性求得加的值，再利用對數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得y=

1。臾(-/+加功的單調(diào)遞增區(qū)間.

2

本題主要考查了幕函數(shù)的定義和性質(zhì)，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

15.【答案】18

2

【解析】解：由條件知匹+￡+2±=c[媽+婦也]+*

babc+1Lbab1c+1

Aa,b,3、，24、I4a~b,，24,,2424,

=0(萬+￡+2)+巾"(2]

T.-+2)+—=6C+—=6CC+1)+--6

“J6(c+l)-^-6=18,

當(dāng)且僅當(dāng)華=L6(c+l)=名,

ba'7c+1

又因?yàn)閍+b=l,即。=<，b=I，c=l時(shí)，竽+：+冬的最小值為18.

33babc+1

故答案為：18.

先化簡提公因式再應(yīng)用a+b=1,a,6應(yīng)用基本不等式，6(c+l)+言-6再應(yīng)用基本不等式,

確定取等條件成立取得最小值即可.

本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于中檔題.

16.【答案】解：(1)當(dāng)a=-4時(shí)，x2-5%+4<0,解得1WxW4,

所以4=[1,4],B={x|log2x<1}=(0,2],

所以4nB=[1,2].

(2)由4UB=4得8ex,

又B=(0,2],所以a>x2-5%對Vxe(0,2)恒成立，

當(dāng)xe(0,2]時(shí),%2-5%=(%-|)2-e[—6,0).

所以a20,于是實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,+8).

【解析】(1)解不等式確定集合4B,然后由交集定義計(jì)算；

(2)由并集的結(jié)論得B￡A,轉(zhuǎn)化為a>x2-5久對Vx￡(0,2]恒成立，求出,一5x在xe(0,2]時(shí)的

取值范圍后可得參數(shù)范圍.

本題主要考查集合的運(yùn)算，以及轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=x2+bx+c(hcGR)是定義在R上的偶函數(shù),

所以/(-K)=/(%)恒成立,

即％2+b%+c=%2_b%+c恒成立，即b=0,

故/(%)=%2+c,/(0)=c,/(c)=c2+c,

滿足f[/(O)]=—2=c?+c,

q

故c=-p/(%)=%2

(2)由(1)知0。)=引,

當(dāng)a>0時(shí),g(%)在［1,+8)上單調(diào)遞減,證明如下:

設(shè)14V%29

ax2_a(x+%1^2-x—xxj)_a(x-xi)(xx-l)

則9。1)一9(X2)=走$122212

2+2%22(1+咳)(1+1)2(l+x1)(l+x1)

因?yàn)?<X1<X2,

所以久2一久1>0，XTX2-1>0,(1+%1)(+%2)>0>

又a>0,

。。2一/)062-1)>0,

所以2(1+好)(1+七)

故g(%i)>9(x2),

故a>0時(shí)，函數(shù)g(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減.

【解析】(1)由偶函數(shù)的定義，利用恒等式知識求解；

(2)根據(jù)單調(diào)性的定義證明.

本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，還考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)由汝加4=—1<0知角4為鈍角,

所以sinA>0,cosA<0,

因加.=鬻=一本sin2X+cos2X=l,解得sM4=|,cosA=

34

于是sin(B+C)=sin(7r—A)=sinA=cos(8+C)=cos(7r—/)=—cosA=

1

⑵由tad黑1rJ,整理得3ta得.8他*3=0,解得tan?=3或tan?=

*

因所以tan?=3.

AA

sin^+cos^-tan^+l3+1

所以

~s~mA,一cosA.tan^—13^1

【解析】(1)由同角間的三角函數(shù)關(guān)系求得sirM,cosA,再由誘導(dǎo)公式可得結(jié)論；

(2)由正切的二倍角公式求得tan^,然后由弦化切求值.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】(1)證明：由條件知g(2x)=e2T2",+[g(x)]2=(2￡—)2+(^―y—)2=

e2x-2+e_2xe2x+2+e-2xe2x+e~2x

1=，

4-----4--------2

所以g(2久)=[/(%)]2+[g(x)]2.

(2)解：因g(2x)=之聯(lián)巴==3y2=2[5(%)]2_1；

7

2

令九(%)=0,則2[g(%)]2-1--g[x}=0BP4[.g(x)]-7g(%)-2=0,

即[g(%)-2]-[4,g(%)+1]=0,解得g(%)=2或g(%)=-；，

又g(x)=—>Vex-e~x=1,當(dāng)且僅當(dāng)e*=6一。即久=0時(shí)取等號，

所以g(x)=2,于是空舁=2

整理得e2x-4ex+1=0,于是靖=2+，百或1=2-

解得久=ln(2+或％=ln(2—3),

所以函數(shù)旗久)=g(2x)-gg(x)的零點(diǎn)為ln(2+ln(2-O

【解析】⑴分別計(jì)算g(2%)和+[g(切2可證;

(2)用換元法解方程似乃=0可得.

本題主要考查了指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，還考查了函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)零點(diǎn)求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)若選用y=loga(x+m)+h,

po5a(2+m)+h=*

則依題意可得|/oga(3+m)+b=：,解得Q=2,m=-1,/?=

44

[loga(5+m)+b=l

1

則y=log(.x-1)+-(%>2).

24

若選用y=cyJx+n+d.

eV2+n+d=|

c73+ri+d='解得c=1^，n=—噂，d=—p則y=xIx———

484，78

{eV5+n+d=i

kx>2).

(2)對于函數(shù)y=Zog2(x-1)+,，當(dāng)％=9時(shí)，y=苧=3.25(萬元);

對于函數(shù)y=義J)—,一看當(dāng)久=9時(shí)，y=、5a3,525(萬兀);

因?yàn)?3.525—3,3|>|3.25-3.3|,所以選用模型y=/og?。T)+如22)更合理.

【解析】⑴根據(jù)已知數(shù)據(jù)列方程組求解即得；

(2)x=9代入兩個(gè)模型計(jì)算后比較可得.

本題主要考查函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由條件知/(%)=s譏2%—，^(2cos2%—1)—+a=si幾2%—V~~元os2%—

7-3+a=2sin(2x—/)+a—y