2022年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2022年長春市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.圖是由5個相同的小正方體組合而成的立體圖形，其主視圖是（）

正面

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖的概念，從正面看到的圖形就是主視圖，再根據(jù)小正方體的個數(shù)和排

列進(jìn)行作答即可.

【詳解】正面看，其主視圖為：

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了簡單組合體的三視圖，俯視圖是從上面看所得到的圖形，主視圖

是

從正面看所得到的圖形，左視圖時從左面看所得到的圖形，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

2.長春軌道客車股份有限公司制造的新型奧運(yùn)版復(fù)興號智能動車組，車頭采用鷹隼形的設(shè)

計(jì)，能讓性能大幅提升，一列該動車組一年運(yùn)行下來可節(jié)省約1800000度電，將數(shù)據(jù)

1800000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.18xl05B.1.8xlO6C.1.8xl07D.

0.18xl07

【答案】B

【解析】

【分析［科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中上同<10,〃為整數(shù).確定〃的值

時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對值>10時，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，〃是負(fù)數(shù).

【詳解】解：1800000=1.8x106,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中

1<|?|<10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

3.不等式x+2>3的解集是（）

A.x<lB.x<5C.%>1D.x>5

【答案】c

【解析】

【分析】直接移項(xiàng)解一元一次不等式即可.

【詳解】x+2>3,

x>3—2,

x>l,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)

鍵.

4.實(shí)數(shù)小h在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

ab

__I______I?I______I______I______I'I?

-3-2-10123

A.a>0B.a<bC./?-l<0D.ah>0

【答案】B

【解析】

【分析】觀察數(shù)軸得：一2<。<一1<2<8<3,再逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：觀察數(shù)軸得：一2<。<一1<2<）<3,故A錯誤，不符合題意；B正確，

符合題意；

.?.人―1>0,故C錯誤，不符合題意；

：.ab<Q,故D錯誤，不符合題意；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)的大小比較，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的

關(guān)鍵.

5.如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅

索頂端記為點(diǎn)A,變幅索的底端記為點(diǎn)B,AO垂直地面，垂足為點(diǎn)力，BC1AD,垂足

為點(diǎn)C.設(shè)NA5C=a,下列關(guān)系式正確的是（）

.ABBCAB

A.sina=-----B.sina=-----C.sina=-----D.

BCABAC

.AC

sina=----

AB

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】,：BCLAC,

...ZVIBC是直角三角形，

?.*4ABC=a,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義.在直角三角形中任意銳角NA的對邊與斜邊之

比叫做/A的正弦，記作sin/A.掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

6.如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形.若N5CD=121。，則的度數(shù)為

()

A.138°B.121°C.118°D.112°

【答案】C

【解析】

【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得NA=59。，再由圓周定理可得

NBQD=2/4=118。.

【詳解】解：；四邊形ABC。內(nèi)接于圓0,

???ZA+NC=180。

/BCD=121。

ZA=59°

/.40￡）=2NA=118。

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是

解答本題的關(guān)鍵

7.如圖，在AABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）

A.AF=BFB.AE^-AC

2

C.ZDBF+ZDFB=90°D.NBAF=/EBC

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得。尸垂直平分AB,BE是NABC的角平分線，根據(jù)垂直

平分線的性質(zhì)和角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即

可.

【詳解】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得。尸垂直平分AB,BE是NABC的角平分線,

AF=BF,ZBDF=90°,ZABF=ZCBE,

ZABF=ZBAF,/DBF+NDFB=90°,

:.NBAF=NEBC,

綜上，正確的是A、C、D選項(xiàng)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定

義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

k

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在反比例函數(shù)丁=一（Z〉0,x>0）的圖象上，

x

其縱坐標(biāo)為2,過點(diǎn)P作R2〃y軸，交X軸于點(diǎn)2,將線段QP繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)60。得

到線段若點(diǎn)M也在該反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為（）

A.4B.6C.26D.4

2

【答案】C

【解析】

【分析】作MNLx軸交于點(diǎn)N,分別表示出OMMN,利用無值的幾何意義列式即可求出

結(jié)果.

【詳解】解：作MNLx軸交于點(diǎn)M如圖所示，

k

.?，點(diǎn)坐標(biāo)表示為：（萬，2）,PQ=2,

由旋轉(zhuǎn)可知：QM=PQ=2,/PQM=60。,

ZMQN=30°,

：.MN=^QM=1,QN=￡,

：.ON?MN=k,

即：一k+Jr3-=上，

2

解得：k=2#)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是k的幾何意義，表示出對應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

9.分解因式：〃?2+3/%=_______.

【答案】m(m+3)

【解析】

【分析】原式提取公因式機(jī)即可得到結(jié)果.

【詳解】解：m2+3m=m(m+3)

故答案為：m(m+3).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了提公因式分解因式，正確找出公因式是解答本題的關(guān)鍵.

10.若關(guān)于X的方程x2+x+c=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】根據(jù)方程x2+x+c=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，可得△=(),計(jì)算即可.

【詳解】???關(guān)于x的方程f+x+cuO有兩個相等的實(shí)數(shù)根，

.?,A=l2-4xlc=0?

解得c=1,

4

故答案為：一.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，即一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

時，A>0；有兩個相等的實(shí)數(shù)根時，△=()；沒有實(shí)數(shù)根時，/<0；熟練掌握知識點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.

11.《算法統(tǒng)宗》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到

店中，一房七客多七客，一房九客一房空.其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，

則余下7人無房可?。蝗裘块g住9人，則余下一間無人住，設(shè)店中共有x間房，可求得x

的值為.

【答案】8

【解析】

【分析】設(shè)店中共有x間房，根據(jù)“今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可

住；若每間住9人，則余下一間無人住”可列一元一次方程，求解即可.

【詳解】設(shè)店中共有x間房，

由題意得，7x+7=9(x—l),

解得x=8，

所以，店中共有8間房，

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

12.將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點(diǎn)與量角器的

中心。重合，且兩條直角邊分別與量角器邊緣所在的弧交于A、8兩點(diǎn).若。4=5厘米，

則AB的長度為________厘米.(結(jié)果保留兀)

【答案】-7T##2.57T

2

【解析】

【分析】直接根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】?.?ZAO8=9O°,0A=5cm,

90x萬x55

AB=------=一^cm，

1802

故答案為：―元.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式，即/=——，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

180

13.跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲.如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的

等邊三角形ABC和等邊三角形。所組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形.若

AB=27厘米，則這個正六邊形的周長為厘米.

【答案】54

【解析】

【分析】設(shè)交￡7\FD與盡M、N,AC交EF、ED于點(diǎn)G、H,BC交FD、ED于點(diǎn)

0、P,再證明△FMN、AA7VG.△BMO、△OOP、4CPH、△EGH是等邊三角形即可求

解.

【詳解】設(shè)AB交EF、FD與點(diǎn)M、N,AC交EP、ED于點(diǎn)G、H,BC交FD、ED于點(diǎn)

。、P,如圖，

A

D

,：六邊形MNGHP0是正六邊形，

ZGNM=ZNMO=\20°,

：.NFNM=NFNM=60°,

：./XFMN等邊三角形，

同理可證明△4VG、△BMO、△OOP、/\CPH.△EGH是等邊三角形，

：.MO=BM,NG=AN,OP=PD,GH=HE,

：.NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB,GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE,

,?等邊aABC絲等邊△￡>￡：-

：.AB=DE,

V4B=27cm,

/.D￡=27cm,

正六邊形MNGHPO的周長為：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE^54cm,

故答案為:54.

【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知

識，掌握正六邊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

14.已知二次函數(shù)y=-/-2x+3,當(dāng)隔此g時，函數(shù)值y的最小值為1,則。的值為

【答案】-1-百##-b-1

【解析】

【分析】先把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式可得當(dāng)x<-l時，y隨x的增大而增大，當(dāng)》>-1時，

y隨x的增大而減小，然后分兩種情況討論：若。2-1；若即可求解.

【詳解】解：y=-x2-2%+3=-（%+l）2+4,

...當(dāng)x<T時，），隨x的增大而增大，當(dāng)尢>—1時，y隨x的增大而減小，

若。2—1,當(dāng)源火工時，y隨x的增大而減小，

17

此時當(dāng)工二］時，函數(shù)值y最小，最小值為1,不合題意，

若當(dāng)x=a時，函數(shù)值y最小，最小值為1,

—a2-2a+3=1，

解得：。=一1一6或-1+J5（舍去）；

綜上所述，a的值為-1-6.

故答案為：-1-V3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.先化簡，再求值：（2+a）（2—a）+a（a+l）,其中a=J5-4.

【答案】4+a,V2

【解析】

【分析】根據(jù)平方差公式與單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，然后將。=五-4代入求值即可

求解.

【詳解】解：原式=4一/+。2+。

=4+〃

當(dāng)。=夜一4時，原式=4+血一4=血

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，代數(shù)式求值，正確的計(jì)算是解題的關(guān)

鍵.

16.拋擲一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣，僅有兩種可能的結(jié)果：“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反

面”.正面朝上記2分，反面朝上記1分.小明拋擲這枚硬幣兩次，用畫樹狀圖(或列

表)的方法，求兩次分?jǐn)?shù)之和不大于3的概率.

3

【答案】-

【解析】

【分析】采用列表法列舉即可求解.

【詳解】根據(jù)題意列表如下：

第二於、12

123

234

由表可知，總的可能結(jié)果有4種，兩次之和不大于3的情況有3種,

3

故所求概率為：3+4=—,

4

3

即兩次分?jǐn)?shù)之和不大于3的概率為一.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法或者樹狀圖法列舉求解概率的知識，掌握用列表法或者樹狀

圖法列舉求解概率是解答本題的關(guān)鍵.

17.為了讓學(xué)生崇尚勞動，尊重勞動，在勞動中提升綜合素質(zhì)，某校定期開展勞動實(shí)踐活

動.甲、乙兩班在一次體驗(yàn)挖土豆的活動中，甲班挖1500千克土豆與乙班挖1200千克土

豆所用的時間相同.已知甲班平均每小時比乙班多挖100千克土豆，問乙班平均每小時挖

多少千克土豆？

【答案】乙班每小時挖400千克的土豆

【解析】

【分析】設(shè)乙班每小時挖x千克的土豆，則甲班每小時挖(100+x)千克的土豆，根據(jù)題意列

出分式方程即可求解.

【詳解】設(shè)乙班每小時挖x千克的土豆，則甲班每小時挖(100+x)千克的土豆，

15001200

根據(jù)題意有:

x+100-x

解得：x=4Q0,

經(jīng)檢驗(yàn)，廠400是原方程的根,

故乙班每小時挖400千克的土豆.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，明確題意列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵.

18.如圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,其頂點(diǎn)稱

為格點(diǎn)，AABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作

圖，保留作圖痕跡.

（1）網(wǎng)格中AABC的形狀是；

（2）在圖①中確定一點(diǎn)。，連結(jié)OB、DC,使ADBC與AABC全等:

（3）在圖②中AABC的邊上確定一點(diǎn)E,連結(jié)AE，使

（4）在圖③中A/WC的邊AB上確定一點(diǎn)P,在邊BC上確定一點(diǎn)0,連結(jié)P。，使

且相似比為1：2.

【答案】（1）直角三角形

（2）見解析（答案不唯一）

（3）見解析（4）知解析

【解析】

【分析】（1）運(yùn)用勾股定理分別計(jì)算出AB,AC,BC的長，再運(yùn)用勾股定理逆定理進(jìn)行

判斷即可得到結(jié)論；

（2）作出點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D,連接BD,CD即可得出△O3C與AABC全等：

（3）過點(diǎn)A作AE1BC于點(diǎn)E,則可知

（4）作出以AB為斜邊的等腰直角三角形，作出斜邊上的高，交AB于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)

Q,則點(diǎn)P,Q即為所求.

【小問1詳解】

AB2=42+22=20,AC2=22+12=5,BC2=5?=25

/.AB2+AC2=BC2,

AABC是直角三角形，

故答案為：直角三角形；

【小問2詳解】

如圖，點(diǎn)D即為所求作，使與AABC全等:

如圖所示，點(diǎn)E即為所作，且使人43￡54054：

【小問4詳解】

如圖，點(diǎn)P,Q即為所求，使得△PBQs&BC,且相似比為1：2.

勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角

形的判定，相似三角形的判定，熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵.

19.如圖，在即AABC中，NA5c=90°,A3<BC.點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作

OELAC交8c于點(diǎn)E.延長￡￡>至點(diǎn)F,使得=連接AE、AFCF.

(1)求證：四邊形AECV是菱形;

BE1

（2）若一=一，則tanZBCF的值為.

EC4

【答案】（1）見解析（2）上

【解析】

【分析】（1）根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得證；

（2）設(shè)=則EC=4a,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE=EC=4。，AE//FC，勾股

AB

定理求得A8，根據(jù)=tanNBCE=tanNBE4=—,即可求解.

BE

【小問1詳解】

證明：???AD=OC,DE=DF，

：.四邊形AECF是平行四邊形，

???DE1AC,

..?四邊形AECE是菱形；

【小問2詳解】

5BE1

解：——=一,

EC4

設(shè)3E=a,則EC=4a,

???四邊形AECE是菱形；

...AE=EC=4a,AE//FC,

/BCF=NBEA,

在RtAABE中，AB=AE2-BE2=-a2=V15a>

tanZBCF=tanNBEA=—==岳,

BEa

故答案為：V15.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求正切，掌握以上知識是解題的關(guān)

鍵.

20.黨的十八大以來，我國把科技自立自強(qiáng)作為國家發(fā)展的戰(zhàn)略支撐，科技事業(yè)發(fā)生了歷

史性、整體性、格局性變化，成功跨入創(chuàng)新型國家的行列，專利項(xiàng)目多項(xiàng)指數(shù)顯著攀

升.如圖是長春市2016年到2020年專利授權(quán)情況的統(tǒng)計(jì)圖.

專利授權(quán)信(中?位:件)

專利授權(quán)量年增長率

根據(jù)以上信息回答下列問題：

(1)長春市從2016年到2020年，專利授權(quán)量最多的是年：

(2)長春市從2016年到2020年，專利授權(quán)量年增長率的中位數(shù)是;

(3)與2019年相比，2020年長春市專利授權(quán)量增加了件，專利授權(quán)量年增長率

提高了個百分點(diǎn)；(注：1%為1個百分點(diǎn))

(4)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，有下列說法，正確的畫“Y”，錯誤的畫“x”.

①因?yàn)?019年的專利授權(quán)量年增長率最低，所以2019年的專利授權(quán)量的增長量就最

小.()

②與2018年相比，2019年的專利授權(quán)量年增長率雖然下降，但專利授權(quán)量仍然上升?這

是因?yàn)閷＠跈?quán)量年增長率=當(dāng)年專利髻黑利授權(quán)量*I。。％，所以只

上一年9專￡利授權(quán)量

要專利授權(quán)量年增長率大于零，當(dāng)年專利授權(quán)量就一定增加?()

③通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以看出長春市區(qū)域科技創(chuàng)新力呈上升趨勢，為國家科技自立自強(qiáng)貢獻(xiàn)

吉林力量.()

【答案】(1)2020

(2)18.1%(3)5479,30.2

(4)①X,②J,③J

【解析】

【分析】(1)觀察統(tǒng)計(jì)圖可得專利授權(quán)量最多的是2020年，即可求解；

(2)先把專利授權(quán)量年增長率從小到大排列，即可求解；

(3)分別用2020年長春市專利授權(quán)量減去2019年長春市專利授權(quán)量，2020年專利授權(quán)

量年增長率減去2019年專利授權(quán)量年增長率，即可求解；

(4)①根據(jù)題意可得2017年的的專利授權(quán)量的增長量低于2019年的，可得①錯誤；②根

當(dāng)年專利授權(quán)量一上一年專利授權(quán)量

據(jù)專利授權(quán)量年增長率=X100%,可得②正

上一年專利授權(quán)量

確；③觀察統(tǒng)計(jì)圖可得從2016年到2020年，每年的專利授權(quán)量都有所增加，可得③正

確，即可求解.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意得：從2016年到2020年，專利授權(quán)量最多的是2020年；

故答案為：2020

【小問2詳解】

解:把專利授權(quán)量年增長率從小到大排列為：15.8%,16.0%,18.1%,25.4%,46.0%,

位于正中間的是18.1%,

二專利授權(quán)量年增長率的中位數(shù)是18.1%；

故答案為：18.1%

【小問3詳解】

解：與2019年相比，2020年長春市專利授權(quán)量增加了17373-11894=5479件；

專利授權(quán)量年增長率提高了46.0%-15.8%=30.2%,

專利授權(quán)量年增長率提高了30.2個百分點(diǎn)；

故答案為：5479,30.2

【小問4詳解】

解：①因?yàn)?017年的專利授權(quán)量的增長量為8190-7062=1128件；2019年的專利授權(quán)量的

增長量11894-10268=1626件，

所以2019年的專利授權(quán)量的增長量高于2017年的專利授權(quán)量的增長量，故①錯誤；

故答案為：X

當(dāng)年專利授權(quán)量一上一年專利授權(quán)量

②因?yàn)閷＠跈?quán)量年增長率=-、沙：儀；二又僅玉X100%,

上一年專利授權(quán)量

所以只要專利授權(quán)量年增長率大于零，當(dāng)年專利授權(quán)量就一定增加，故②正確；

故答案為：V

根據(jù)題意得：從2016年到2020年，每年專利授權(quán)量都有所增加，

所以長春市區(qū)域科技創(chuàng)新力呈上升趨勢，故③正確；

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折線統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖，理解統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是正確

解答的關(guān)鍵.

21.已知A、B兩地之間有一條長440千米的高速公路.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時

出發(fā)，沿此公路相向而行，甲車先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，

再以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時到達(dá)B地；乙車勻速行駛至A地，兩車到達(dá)各自的目的

地后停止.兩車距A地的路程y（千米）與各自的行駛時間x（時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所

示.

y（千米）八

(1)m-n=

(2)求兩車相遇后，甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

當(dāng)乙車到達(dá)A地時，求甲車距A地的路程.

【答案】（1）2.6（2）甲車距A地的路程），與X之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=60x+80

(3)300千米

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)甲乙兩車相遇時甲車行駛的路程除以速度可求出，〃的值，再用〃，的值

加4即可得”的值;

（2）由（1）得（2,200）和（6,440）,再運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可;

（3）先求出乙車的行駛速度，從而可求出行駛時間，代入函數(shù)關(guān)系式可得結(jié)論.

【小問1詳解】

根據(jù)題意得，加=200+100=2（時）

〃=加+4=2+4=6(時)

故答案為：2.6；

【小問2詳解】

由(1)得(2,200)和(6,440),

設(shè)相遇后，甲車距4地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

2k+b=200

則有：《

6女+。=440’

女=60

解得，〈

。=80

甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=60x+80

【小問3詳解】

甲乙兩車相遇時，乙車行駛的路程為440-200=240千米,

，乙車的速度為：240+2=120（千米/時）

?,?乙車行完全程用時為：440-120=—(時)

3

.?.當(dāng)％=一時，丁=60乂一+80=300千米，

33

即：當(dāng)乙車到達(dá)A地時，甲車距A地路程為300千米

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂圖象是解答本題的關(guān)鍵.

22.【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形

ABC。為它的示意圖.他查找了44紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中

=他先將A4紙沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)8落在A。上，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為

點(diǎn)E,折痕為A尸；再沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)C落在所上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)”，

折痕為FG；然后連結(jié)AG,沿AG所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)。與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜

想△ADG也八48.

【問題解決】

(1)小亮對上面AWG四△AFG的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：

證明：四邊形ABC。是矩形，

ZBAD=Zfi=ZC=Z￡>=90°.

由折疊可知，ZBAF=-ZBAD=45°,/RFA=/FFA.

2

???NEE4=N5E4=45。.

AF=y/2AB=AD-

請你補(bǔ)全余下的證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】

FG

(2)ND4G的度數(shù)為度，一的值為；

AF

(3)在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段Af上，且AP=gA2,點(diǎn)。在線段AG上，連結(jié)

FQ、PQ,如圖②，設(shè)=則RQ+PQ的最小值為.（用含〃的代數(shù)式表

示）

【答案】⑴見解析（2）22.5°,72-1.

⑶—a

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=AF,ZAFG=ZD=90°,由可證明結(jié)論；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得ND4G=』NZMF=22.5°;證明AGCF是等腰直角三角形，

2

可求出GF的長，從而可得結(jié)論；

（3）根據(jù)題意可知點(diǎn)F與點(diǎn)。關(guān)于AG對稱，連接P。，則PQ為PQ+FQ的最小值，過

B

點(diǎn)P作求出PR=AK=注a，求出。R,根據(jù)勾腰定理可得結(jié)論.

4

【小問1詳解】

證明：四邊形ABCD是矩形，

；?NR4￡>=/B=NC=N￡>=90°.

由折疊可知，ZBAF=-ZBAD=45°,/RFA=/EFA.

2

ZEFA=ZBFA^45°.

AF=叵AB=AD-

由折疊得，/CFG=/GFH=45。,

：.ZAFG=ZAFE+NGFE=450+45°=90°

ZAFG=ZD=90°

XAD=AF,AG=AG

AADG^AAFG

【小問2詳解】

由折疊得，NBAF=NEAF,

又/BAF+NE4/=90°

ZEAF=-NBAE=1x90°=45°,

22

由/XADG^/XAFG得，ZDAG=ZFAG=-ZFAD='x45°=22.5°,

22

ZAFG=ZADG=90°,

又NAfB=45°

：.ZGFC=45°,

...NFGC=45°,

：.GC=FC.

設(shè)AB=x，則=x,A/=VL:=AO=8C,

FC=BC-BF=gx-x=(6-l)x

：.GF=6FC=Q-后x

.GF_Q_6x_r-.

??----=-----------=7Z-1?

AFy[2x

【小問3詳解】

如圖，連接EQ,

???DG=FG

AG是尸。的垂直平分線，即點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于AG軸對稱,

連接PD交AG于點(diǎn)Q,則PQ+FQ的最小值為PD的長；

過點(diǎn)P作交AO于點(diǎn)心

ZDAF=ZBAF=45°

???/APR=45°.

■-AR=PR

2

又AR2+PR2=AP2=《A=》

AR=PR=Ja,

4

/.DR=AD-AR=y[2a--a=-y/2a

44

在RiADPR中,DP2=AR?+PR?

???DP=JAK+PR。=，(￥?+(平行呼a

??.PQ+FQ的最小值為好a

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的

性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

23.如圖，在oABCO中，45=4，AD=BD=岳,點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，動點(diǎn)P

從點(diǎn)4出發(fā)，沿折線AD-DB以每秒?yún)杺€單位長度的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動，連結(jié)

PM.作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'P、ArM.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為，秒.

(1)點(diǎn)。到邊AB的距離為；

(2)用含，的代數(shù)式表示線段OP的長；

(3)連結(jié)AO,當(dāng)線段最短時，求△￡>%'的面積；

(4)當(dāng)M、4、C三點(diǎn)共線時，直接寫出f的值.

【答案】(1)3(2)當(dāng)0《忘1時-，Z)P=g—與；當(dāng)1<W2時，PD=At-岳;

,,、2T20

(4)一或'~-

311

【解析】

【分析】(1)連接。M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得再由勾股定理，即可求

解；

(2)分兩種情況討論：當(dāng)0W/W1時，點(diǎn)P在A￡>邊上；當(dāng)1<W2時，點(diǎn)P在8D邊

上，即可求解；

(3)過點(diǎn)P作于點(diǎn)E,根據(jù)題意可得點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡為以點(diǎn)例為圓心，4M長

為半徑的圓，可得到當(dāng)點(diǎn)。、A'、M三點(diǎn)共線時，線段4。最短，此時點(diǎn)P在AQ上，再

證明△PDES/\A￡)M,可得DE=3-3，,PE=2—2,,從而得到

2

A'E=OE-AO=2—3r,在中，由勾股定理可得/=E，即可求解；

(4)分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)4位于〃、C之間時，此時點(diǎn)P在A。上；當(dāng)點(diǎn)A，(A")位

于CM的延長線上時，此時點(diǎn)尸在B。上，即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖，連接。M,

VAB=4,AO=BD=Ji5，點(diǎn)M為邊45中點(diǎn)，

：.AM=BM=2,DMLAB,

?*-DM=yjAD2-AM2=3，

即點(diǎn)。到邊AB的距離為3；

故答案為：3

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意得：當(dāng)OWfWl時，點(diǎn)P在4。邊上，

DP=A-屈t；

當(dāng)1VW2時，點(diǎn)P在8。邊上，PD=M-屈;

綜上所述，當(dāng)時，DP=yf^-屈t;當(dāng)1<，W2時，PD=y/i3t-y/l3;

【小問3詳解】

解：如圖，過點(diǎn)P作尸于點(diǎn)E,

作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對稱點(diǎn)A',

：.A'M=AM=2,

點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長為半徑的圓，

當(dāng)點(diǎn)。、A\M三點(diǎn)共線時，線段4。最短，此時點(diǎn)尸在A。上,

二4。=1，

根據(jù)題意得：AP=AP=Ji^,r>p=VT3-VT3r.

由（1）得：DMYAB,

'：PE±DM,

J.PE//AB,

:ZDEs叢ADM,

.PDDEPE

.屈-屈tDEPE

??----7=-----------,

屈32

解得：DE=3-3t,PE=2-2t,

:.AE=DE-AD=2-3t,

在Rt^APE中，A'P2=PE2+A?,

.,.（V13/）2=（2-2/）2+（2-3/）2,解得：f=|,

PE=-,

5

?*-。?*gxlxg=|；

【小問4詳解】

解：如圖，

當(dāng)點(diǎn)歷、4'、C三點(diǎn)共線時，且點(diǎn)A'位于M、C之間時，此時點(diǎn)尸在4。上，

連接4A\A'B,過點(diǎn)尸作PF,AB于點(diǎn)八過點(diǎn)4作4GL48于點(diǎn)G,則AA，_LPM,

為直徑，

ZA=90°,即A4_L48,

：.PM//A'B,

：.ZPMF=^ABA',

過點(diǎn)C作CNLAB交AB延長線于點(diǎn)N,

在nABCD中，AB//DC,

?.?OM_LAB,

：.DM//CNt

???四邊形CDMN為平行四邊形,

:?CN=DM=3,MN=CD=4,

:.CM=5,

???sinNCMNC=N"=L3

CM5

?.?A!M=2,

A'G-2x—,

55

5

BG=BM-MG=-,

5

AG

tanZA'BA=—=3,

BG

??tanZ.PMF=tanZABA-3,

PF

：.-----=3,即PF=3FM,

DMPF3...AMAF

,「tan^.DAM-.......=-----=—,cos乙DAM—

AMAF2ADAP

3

???PF=—AF,

2

?.,AM=2,

_?

?，?3=2,解得：/=—；

V13r-V133

如圖，當(dāng)點(diǎn)A'(A")位于CM的延長線上時，此時點(diǎn)P在8。上，PB=2萬-岳t,

過點(diǎn)A"作AG'LAB于點(diǎn)G1則NAM4"=NCMN,取A4〃的中點(diǎn)H,則點(diǎn)M、P、H

三點(diǎn)共線，過點(diǎn)H作HKLAB于點(diǎn)K,過點(diǎn)P作于點(diǎn)T,

-：HK±AB,A"G'±AB,

：.HK//A"G',

：.^AHK?△A4"G',

?.?點(diǎn)”是AA"的中點(diǎn)，

.HKAKAH1

-AG7-A4"-2

31

HK=-,AK=-,

55

9

MK=—,

5

tanZPMT=tanAHMK=—=-

MK3

.PT1

即MT=3PT,

BM_2

tanZPBT=—==1,cosNPBT=

BMBT2~BD~4^3

BT=-PT,

3

9

MT=-BT,

2

■:MT+BT=BM=2,

11

4r20

H2,解得：t——-；

2岳-屈J屈

綜上所述，f的值為2;或三20.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意得到點(diǎn)4的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵，

是中考的壓軸題.

24.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=V一法（6是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（2,0）.點(diǎn)A在拋物線

上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為機(jī)（mwO）.以點(diǎn)A為中心，構(gòu)造正方形PQMN,PQ=2|同，

且軸.

（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：

（2）若點(diǎn)B是拋物線上一點(diǎn)，且在拋物線對稱軸左側(cè).過點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于

另一點(diǎn)C,連接8C.當(dāng)8。=4時，求點(diǎn)3的坐標(biāo)；

（3）若加＞0,當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時，或者y隨x

的增大而減小時，求m的取值范圍；

（4）當(dāng)拋物線與正方形PQMN的邊只有2個交點(diǎn)，且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為巳時，直接寫

-'4

出m的值.

【答案】（1）y=x2-2x

（2）3（-1,3）

（3）?！醇印?，或加23

2

313

（4）m-一一或加=一或"2=一.

822

【解析】

分析】（1）將點(diǎn)（2,0）代入y=待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）設(shè)3（機(jī),加2—2加），根據(jù)對稱性可得C（2—九加2-2m），根據(jù)BC=4，即可求

解；

（3）根據(jù)題意分兩種情況討論，分別求得當(dāng)正方形PQMN點(diǎn)。在x軸上時，此時M與

。點(diǎn)重合，當(dāng)尸。經(jīng)過拋物線的對稱軸％=1時，進(jìn)而觀