高三數學開學摸底考01高三數學下學期開學摸底考試卷（全解全析）

2024屆高三下學期開學摸底考全解全析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．某校高一年級18個班參加藝術節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，獲得了10個班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數據的分位數為（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.5【答案】B【解析】將比賽得分從小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因為，所以這組數據的分位數第8個數與第9個數的平均值，即.故選：B.2．已知焦點在x軸上的橢圓的離心率,則（

）A．12 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】焦點在x軸上的橢圓，可知，∵離心率是，，解得m=12．故選:A．3．已知等差數列的前項和為，若，則=（

）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】C【解析】因為是等差數列，且，故可得：；又.故選：C.4．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】作長方體，如下圖所示：對于A，設，，平面，顯然，但，故A錯誤；對于B，設，，平面，顯然，但，故B錯誤；對于C，設，，平面，顯然，但，故B錯誤；對于D，因為，所以，因為，所以，，因為，，所以，因為，所以.故D正確.故選：D.5．某人用字母v，r，y各1個和2個字母e拼寫英語單詞“every”，那么他寫錯這個英語單詞的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對e，v，e，r，y5個字母排列也就是將e，v，e，r，y放入5個確定的位置，先從5個位置中選出2個位置放2個e，有種方法，再將剩下3個字母全排放入其他兩個位置，有種方法，因此共有種方法，而寫對的可能只有1種，所以他寫錯這個英語單詞的情況有種，所以他寫錯這個英語單詞的概率為.故選：A.6．在菱形中，，，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出圖形，建立如圖所示的平面直角坐標系，設，因為因為，所以,即是的中點，所以所以，由題知.故故選：D7．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，，得，則，即，整理得，且，那么，則.故選：C.8．已知雙曲線的左右焦點分別為，，點是雙曲線右支上一點，點是線段上一點，且，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】設，，則，如圖所示：由余弦定理得，即，所以，從而.因為，所以，整理得：，即，整理得，解得或（舍去），所以，，.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數的最小正周期為，方程在的解為，則下列結論正確的是（

）A． B．函數的圖象關于點對稱C．函數在上單調遞減 D．【答案】ABD【解析】由函數的最小正周期為，得，所以，故選項A正確；因為，得，所以函數的圖象關于點對稱，故選項B正確；由，得，所以函數在上先減后增，故選項C錯誤；當時，，依題意有，結合圖象可知，，即，所以，故選項D正確.故選：ABD.10．設復數的共軛復數為，為虛數單位，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則的最小值是【答案】ABD【解析】設，對于選項A：，所以，所以，故選項A正確；對于選項B：，所以，即，故選項B正確；對于選項C：，則，故選項C不正確；對于選項D：即表示點到點和到點的距離相等，所以復數對應的點的軌跡為線段的垂直平分線，因為中點為，，所以的中垂線為，整理可得：，所以表示點到的距離，所以，故選項D正確，故選：ABD.11．已知定義域為的函數滿足，且，，則（

）A． B．是偶函數C． D．【答案】BC【解析】，令，，則，故選項A錯誤；令，則，又，所以，令，則，所以函數關于對稱，令，則，令，則，，又函數的定義域R，所以函數為偶函數，故選項B正確；令，則，又，，，所以，選項C正確；因為，所以，所以函數的一個周期為8，令，，則，所以，所以，所以，，，所以，，所以，故選項D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若集合，，，則的最小值為.【答案】6【解析】由，解得，所以，因為，，所以，所以的最小值為.13．設直線與球有且只有一個公共點，從直線出發(fā)的兩個半平面截球的兩個截面圓的半徑分別為1和，二面角的平面角為，則球的表面積為.【答案】【解析】設兩個半平面截球的兩個截面圓的圓心分別為，連接，如圖所示由球的截面圓性質及球的切線性質得，且，由題意可知，所以為二面角的平面角，即，因為，，，，所以，所以，同理：，故四邊形為矩形，所以，得，則球的表面積.14．定義：為實數中較大的數．若，則的最小值為．【答案】【解析】設，則由題意可得，因為，所以①當時，，只需考慮，所以，，所以，可得，當且僅當時取等號；②當時，，只需考慮，所以，可得，當且僅當時取等號.綜上所述，的最小值為2.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數，其中.（1）若曲線在處的切線與直線平行，求實數的值；（2）討論函數的單調性；【答案】（1）；（2）答案見解析；【解析】（1），∵曲線在處的切線與直線平行，∴，即，故；（2）函數的定義域為.當時，恒成立，故在上單調遞增；當時，，令，得.∵，∴方程有兩不等實根.∵，，∴.令，得或；令，得.所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

方法二：（常規(guī)方法）：討論的符號.當，即時，恒成立，則，在上遞增；當，即或時，方程有兩不等實根.（i）當時，由知，則恒成立，故在上遞增；（ii）當時，由知，，得或；令，得.

故在、上遞增，在上遞減.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.16．（15分）一個骰子各個面上分別寫有數字，現拋擲該股子2次，記第一次正面朝上的數字為，第二次正面朝上的數字為，記不超過的最大整數為．（1）求事件“”發(fā)生的概率，并判斷事件“”與事件“”是否為互斥事件；（2）求的分布列與數學期望．【答案】（1），事件“”與事件“”為互斥事件；（2）分布列見解析，【解析】（1）當取取值為時，，當取取值為時，，當取取值為時，，當取取值為1，2時，，當取取值為1時，，所以，當時，，事件“”與事件“”不能同時發(fā)生，為互斥事件；（2）的取值為，取值為，時，，取值為時，，取值為時，，取值為時，，取值為時，，取值為時，，所以的分布列為0123456所以．17．（15分）如圖，在多面體中，四邊形為平行四邊形，且平面，且.點分別為線段上的動點，滿足.（1）證明：直線平面；（2）是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析【解析】（1）如圖，以為原點，分別以方向為軸建立坐標系...設平面的法向量為，則由，取得.因為，所以解得.所以，且平面，所以平面（2）設平面的法向量為則由，解得.所以，解得.18．（17分）已知、、，圓，拋物線，過的直線與拋物線交于、兩點，且．（1）求拋物線的方程；（2）若直線與圓交于、兩點，記面積為，面積為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設直線的方程為，與聯立得，所以，，因為，解得，故拋物線的方程．（2）由，，得，設直線的方程為，即，則原點到直線的距離，得，，聯立可得，即點，所以，則且，則，令，則，，則，綜上，的取值范圍為．19．（17分）已知數表中的項互不相同，且滿足下列條件：①；②.則稱這樣的數表具有性質.（1）若數表具有性質，且，寫出所有滿足條件的數表，并求出的值；（2）對于具有性質的數表，當取最大值時，求證：存在正整數，使得；（3）對于具有性質的數表，當n為偶數時，求的最大值.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）滿足條件的數表為，所以的值分別為5，5，6.（2）若當取最大值時，存在，使得.由數表具有性質可得為奇數，不妨設此時數表為.①若存在（為偶數，），使得，