江西省撫州市2023-2024學年高一上學期學生學業(yè)質量監(jiān)測數學試題卷

撫州市2023—2024學年度上學期學生學業(yè)質量監(jiān)測高一數學試題卷說明：（1）本試題卷共4頁，22個小題，滿分150分，考試時間120分鐘；（2）答案須寫在答題卡相應的位置上，不得在本試題卷上作答，否則不給分；（3）所有考試結束3天后，考生可憑準考證考試成績，密碼與準考證號相同一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，僅有一項符合題目要求．1.已知，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的關系和運算對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，因為，所以A錯誤；對于B，因為，所以B錯誤，對于C，因為，所以集合不是集合的子集，所以C錯誤；對于D，因為，所以，所以D正確.故選：D.2.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用對數的性質、必要不充分條件的定義判斷可得答案.【詳解】，當時，，但不成立.故選：B.3.設則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數函數、指數函數的單調性比較大小可得答案.【詳解】.故選：A.4.已知函數的圖象為折線，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由待定系數法求出，的解析式，再代入求解即可.【詳解】因為在函數的圖象上，當時，設解析式為，即，當時，設解析式為，，即，，即.故選：B.5.從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結論錯誤的是（）A.2個球都是紅球的概率為B.2個球中恰有1個紅球的概率為C.至少有1個紅球的概率為D.2個球不都是紅球的概率為【答案】D【解析】【分析】根據獨立事件乘法公式計算2個球都是紅球的概率可判斷A；根據獨立事件乘法公式、互斥事件加法公式計算可判斷B；根據對立事件的概率計算可判斷CD.【詳解】記從甲袋中摸出一個紅球的事件為，從乙袋中摸出一個紅球的事件為，且，，相互獨立，對于A選項，2個球都是紅球的事件為，則有，故A正確；對于B選項，2個球中恰有1個紅球的事件為，則，故B正確；對于C選項，至少有1個紅球的事件的對立事件是，則，所以至少有1個紅球的概率為，故C正確；對于D選項，2個球不都是紅球的事件是事件的對立事件，其概率為，故D不正確．故選：D.6.若函數的定義域是，則函數的定義域是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據抽象函數中復合函數之間的關系先求出的定義域,再結合解析式求出的定義域即可【詳解】由于函數的定義域為,所以,即,所以函數的定義域是.又,即,所以函數的定義域為.故選B【點睛】本題考查抽象函數的定義域求法與應用問題,考查解不等式,屬于基礎題7.若函數且在區(qū)間上最大值比最小值多2，則（）A.4或 B.4或C.2或 D.2或【答案】A【解析】【分析】對參數取值分類討論，根據對數函數單調性，求得最值，結合題意，即可求得參數值.【詳解】由題意解得或（舍去），①當時，函數在定義域內為增函數，則由題意得，所以即，解得或（舍去）；②當時，函數在定義域內為減函數，則由題意得，所以即，解得；綜上可得：或．故選：A.8.已知定義在區(qū)間上的函數，若存在時，成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由的單調性及，得到在區(qū)間有解，分離出參數即可求解.【詳解】由題意知．設．則．因為在上單調遞增，故在上單調遞增．設．若，則可得在區(qū)間有解．在區(qū)間上有解，且在區(qū)間上有解，且在區(qū)間恒成立．．故選：D.二、多項選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的得0分．9.下列選項中說法正確的是（）A.若用分層隨機抽樣的方法抽得兩組數據的平均數分別為8，12，若這兩組數據的平均數是10，則這兩組數據的權重比值為1B.一組數據的分位數是6，則實數的取值范圍是C.一組數據的平均數為，將這組數據中的每一個數都加2，所得的一組新數據的平均數為D.一組數據的方差為，將這組數據中的每一個數都乘2，所得的一組新數據的方差為【答案】AC【解析】【分析】利用分層隨機抽樣設兩組數據的權重為，得且，即可對A判斷；根據百分位數知識可對B判斷；利用平均數及方差知識可對C、D判斷.【詳解】A選項：設兩組數據的權重為，由，又，可解得，所以這兩組數據的權重比值為1，故A正確；B選項：因為，所以這組數據的分位數是從小到大第5項數據6，則，故B錯誤；C選項：將一組數據中的每一個數都加2，則新數據的平均數為原來數據平均數加2，故C正確；D選項：將一組數據中的每一個數都乘2，則新數據的方差為原來數據方差的倍，故D錯誤；故選：AC10.若方程在區(qū)間上有實數根，則實數的取值可以是（）A.0 B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】轉化為在上有解，利用配方法求出的值域可得答案.【詳解】由題意上有解，.故選：BCD．11.下列結論正確的是（）A.函數且的圖象過定點B.是方程有兩個實數根的充分不必要條件C.的反函數是，則D.定義在上的奇函數，當時，，則【答案】AC【解析】【分析】求出指數型函數恒過的定點可判斷A；由充分條件和必要條件的定義可判斷B；由反函數的性質可判斷C；由奇函數的定義域關于原點對稱求出，再由奇函數的性質代入求解可判斷D.【詳解】函數，令，可得，故函數的圖象過定點，故A正確；根據方程有兩個實數根，可得，即，故是方程有兩個實數根的必要不充分條件，故B錯誤；的反函數是，故C正確；在上是奇函數，，解得，又時，，，故D錯誤．故選：AC.12.若正實數滿足，則下列結論中正確的有（）A.的最小值為8．B.的最小值為C.的最大值為．D.的最小值為．【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式求解最值判斷A，B，C，利用消元法結合二次函數求得最值判斷D.【詳解】A選項，因為，且，所以，所以，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，故A正確；B選項，因為，當且僅當，即時取等號，故B項正確；C選項，，當且僅當時取等號，所以，所以的最大值為，故C項正確；D選項，因為，當且僅當時取等號，所以的最小值為，故D項錯誤．故選：ABC.【點睛】思路點睛：四個選項均要對所求式子進行變形，A，B，C選項利用“1”代換以及基本不等式求最值，同時也要注意取等條件是否成立，D選項由條件消元轉換成二次函數求最值.三、填空題：共4小題，每題5分，共20分．13.冪函數在區(qū)間上單調遞增，則實數的值為________．【答案】【解析】【分析】利用冪函數的定義求解參數，再利用單調性取舍即可.【詳解】為冪函數，或又在區(qū)間上單調遞增，故答案：14.在用二分法求方程的正實數跟的近似解（精確度）時，若我們選取初始區(qū)間是，為達到精確度要求至少需要計算的次數是________．【答案】7【解析】【分析】利用二分法的定義列出不等式求解即可.【詳解】設至少需要計算次，則滿足，即，由于，故要達到精確度要求至少需要計算7次.故答案為：715.若，且，則稱是“伙伴關系集合”在集合的所有非空子集中任選一個集合，則該集合是“伙伴關系集合”的概率為________．【答案】【解析】【分析】根據題意先求出集合的的所有非空子集的個數為，再求出具有“伙伴關系集合”的個數為，利用古典概率從而可求解.【詳解】，集合的所有非空子集的個數為，若，則；若，則；若，則與成對出現(xiàn)；若，則與成對出現(xiàn)，集合的所有非空子集中，“伙伴關系集合”共有（個）．在集合的所有非空子集中任選一個集合，則該集合是“伙伴關系集合”的概率為．故答案為：．16.已知函數，函數，若函數有個零點，則實數的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據題意畫出圖形，令，等價于，分別求出或，要使有5個零點，即方程有四個不同的實數根，結合圖形從而可求解.【詳解】當時，，當單調遞增，當單調遞減，當時，當單調遞減，當單調遞增，令，即或，如圖可知，要使有個零點，則方程有四個不同的實數根結合函數的圖象可得.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內．17.已知函數為定義域上的奇函數．（1）求實數的值；（2）若，試用表示．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據，求得參數值，檢驗即可；（2）根據（1）中所求求得，再結合對數運算即可表示.【小問1詳解】因為是定義在上的奇函數，；經檢驗，滿足題意，故.【小問2詳解】由（1）可知，根據，可得則，故，又，.18.2023年9月23日，中國農歷象征收獲的秋分時節(jié)，第19屆亞洲運動會在浙江杭州隆重開幕．杭州基礎設施全面升級、城市面貌煥然一新、民生服務格局大變．為了解杭州老百姓對城市基礎設施升級工作滿意度，從該地的A，B兩地區(qū)分別隨機調查了40戶居民，根據大家對城市基礎設施升級工作的滿意度評分（單位：分），得到地區(qū)的居民滿意度評分的頻率分布直方圖（如圖）和地區(qū)的居民滿意度評分的頻數分布表（如表1）．滿意度評分頻數2814106表2滿意度評分低于70分滿意度等級不滿意滿意非常滿意（1）根據居民滿意度評分，將居民的滿意度分為三個等級（如表2），估計哪個地區(qū)的居民滿意度等級為不滿意的可能性大，說明理由.（2）將頻率看作概率，從A，B兩地區(qū)居民中各隨機抽查1戶居民進行調查，求至少有一戶居民評分滿意度等級為“非常滿意”的概率【答案】（1）A地區(qū)居民的滿意度等級為不滿意的可能性更大，理由見解析（2）0.1925【解析】【分析】（1）根據頻率和為1計算得到，分別計算兩個地區(qū)的不滿意頻率，比較得到答案.（2）確定，，得到，計算得到答案.【小問1詳解】，，地區(qū)的居民滿意度等級為不滿意的頻率為，由表1可知地區(qū)的居民滿意度等級為不滿意的頻率為，故地區(qū)居民的滿意度等級為不滿意的可能性更大．【小問2詳解】記事件表示“從地區(qū)隨機抽取一戶居民滿意度評級為非常滿意”，則．記事件表示“從地區(qū)隨機抽取一戶居民滿意度評級為非常滿意”，則．事件和事件相互獨立，則事件和事件相互獨立，，記事件表示“至少有一戶居民評分滿意度等級為非常滿意”，則.19.已知函數（1）是否存在實數使得關于的不等式的解集為，若存在．求實數的值或取值范圍，若不存在，請說明理由；（2）若關于的不等式的解集是，集合，若，求實數的取值范圍.【答案】（1）存在（2）【解析】【分析】（1）設在恒成立，可得時不滿足，當時，結合二次函數的開口方向、判別式可得答案；（2）由題意可設在上恒成立，分、、討論，結合一元二次不等式恒成立可得答案．【小問1詳解】設在恒成立，顯然當，即時不滿足在上恒成立；當時，，綜上，存在使得的解集為；【小問2詳解】由題意可設在上恒成立，當，即時，，滿足在上恒成立；當，即時，在上恒成立；，；當，即時，可得，，綜上．20.臨川菜梗是江西臨川的傳統(tǒng)民間特產，以“不怕辣”而著稱，相傳宋神宗熙寧年間王安石出任平章事（宰相），平時愛以家鄉(xiāng)菜梗招待同僚進餐，美譽傳至宋神宗，于是命（再想）家鄉(xiāng)進貢來，嘗后大悅御批為“天下一絕”．近日，臨川一家食品店的店員對每天的萊梗銷售情況盤點后發(fā)現(xiàn)：該商品在過去的一個月內（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數關系近似滿足，日銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分數據如下表所示：1015202530170175180175170（1）給出以下四種函數模型：①；②；③；④．請你根據上表中的數據，從中選擇最合適的一種函數模型來描述日銷售量與時間的變化關系，并求出該函數的解析式；（2）設該店臨川菜梗的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．【答案】20.選擇函數模型②，21.1681元【解析】【分析】（1）由表中的數據知，當時間變化時先增后減，所以選擇函數模型②，根據表格數據解得，從而求出；（2）求出，當時，利用基本不等式求出最小值，當時，根據的單調性求出最小值，再比較大小可得答案.【小問1詳解】由表中的數據知，當時間變化時，先增后減，而函數模型①；③；④都是單調函數，所以選擇函數模型②，根據表格數據可知，解得，所以；【小問2詳解】，即，當時，，當且僅當時等號成立，當時，單調遞減，最小值為，，所以的最小值為1681元.21.已知定義域為的函數滿足對任意，都有（1）求證：是奇函數；（2）設，且當時，，求不等式的解集．【答案】（1）證明見解析；（2）或【解析】【分析】（1）利用賦值法，根據奇函數的定義來證明即可；（2）變形構造函數，通過賦值來研究新函數的單調性，結合新函數的奇偶性解不等式即可.【小問1詳解】證明：因為的定義域為，關于原點對稱，又對任意，都有，令，得，令，得，令，得，是奇函數.【小問2詳解】，，，設，則，所以，在上是減函數，因為的定義域為，又，所以是偶函數，因為，，則，解得，不等式的解集為或.22.對于區(qū)間，若函數同時滿足：①在上是單調函數，②函數的定義域為時，值域也為，則稱區(qū)間為函數的“保值”區(qū)間．（1）求函數的所有“保值”區(qū)間．（2）函數的一個“保值”區(qū)間為，當變化時，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數的單調區(qū)間，利用“保值”區(qū)間的定義分類討論求解即得.（2）分析函數的單調性，利用“保值”區(qū)間的定義建立