MATLAB習(xí)題答案(清華大學(xué))

602402390

270

120

300

150

330

1800

1

2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

1800

圖2-4極坐標(biāo)圖

?ezplotCx*2+y*2-3*x*y2*);24holdon

ezplotCx-3-x2=y-2-y')

可用局部放大的方法求出更精確的值，如圖2-5b所示。從圖上可以精確讀出兩個(gè)交

點(diǎn)，(O:4O12;iO:8916),(1:5894;0:8185)。試將這兩個(gè)點(diǎn)分別代入原始方程進(jìn)行驗(yàn)

證。

—6—4—20246

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

x3-x2=y2-y=0

(a)兩個(gè)方程的曲線，交點(diǎn)為解

1.58941.58941.58941.58941.58941.58941.5894

0.8185

0.8185

0.818525

0.8185

0.8185

x

y

x3—x2=y2—y=0

(b)局部放大區(qū)域

圖2-5二元聯(lián)立方程的圖解法

第2章MATLAB語言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)15

16請分別繪制出xy和sin(xy)的三維圖和等高線。

【求解】(a)給出下面命令即可，得出的圖形如圖2-6a、b月示。?

[x,y]=meshgrid(-l1:1);

surf(x,y,x.*y),figure;contour(x,y,x.*y,30)

(b)給出下面命令即可，得出的圖形如圖2-6c、d所示。?[x,y]=meshgrid(-

pi1:pi);

surf(x,y,sin(x.*y)),figure;contour(x,y,sin(x.*y),30)

-1

1

-1

1

-126

-0.50

0.51

(a)xy三維圖一1一0.500.51-1-0.50

0.51

(b)xy等高線一50

5

-50

5

-1-0.500.527

1

(c)sin(xy)三維圖

-3-2-10123

-3

-2

-1

1

2

3

(d)sin(xy)等高線

圖2-6三維圖與等高線

17在圖形繪制語句中，若函數(shù)值為不定式NaN,則相應(yīng)的部分不繪制出來，試?yán)迷撘?guī)

律繪制

z=sinxy的表面圖，并剪切下x2+y260:52的部分。

【求解】給出下面命令可以得出矩形區(qū)域的函數(shù)值，再找出x2+y260:52區(qū)域的坐

標(biāo)，將其

函數(shù)值設(shè)輅成NaN,最終得出如圖2-7所示的曲面。

16第2章MATLAB語言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)

>>[x,y]=meshgrid(-l1:1);z=sin(x.*y);

ii=find(x.2+y.^2<=0.52);z(ii)=NaN;surf(x,y,z)

-128

-0.5

0.5

1

-1

-0.5

0.5

1

-1

-0.5

0.5

1

圖2-7得出的三維圖

第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解1試求出如下極限。①lim

x!l

(3x+9x)

1

x,②lim29

x!l

(x+2)x+2(x+3)x+3

(x+5)2x+5

【求解】極限問題由下面的語句可以直接求出。?symsx;f=(3求解〉］限/x);

limit(f,x,inf)ans=

9

?symsx;f=(x+2)-(x+2)*(x+3)-(x+3)/(x+5)-(2*x+5);limit(f,x,inf)

ans=

exp(-5)

2試求下面的雙重極限。

①lim

x!j1

y!2

x2y+xy3

(x+y)3

,②lim

x!0

y!0

xy

p30

xy+1j1

,③lim

x!0

y!0

1icos

x2+y2

x2+y20

ex2+y2。

【求解】雙重極限問題可以由下面語句直接求解。?symsxy

fa=(x2*y+x*y*3)/(x+y)*3;limit(1imit(fa,x,-1),y,2)ans=

-6

?fb=x*y/(sqrt(x*y+l)-l);limit(limit(fb,x,0),y,0)ans=

2

>>fc=(l-cos(x"2+y*2))*exp(x2+y*2)/(x"2+y*2);1imit(limit(fc,x,0),y,0)

ans=31

3求出下面函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

①y(x)=

q

xsinx

P

1iex,②y二

1i

P

cosax

x(1jcos

P

ax)

③atany

x

=ln(x2+y2),@y(x)=j

1

na

Inxn+a

xn;n>0

18第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解

【求解】由求導(dǎo)函數(shù)diff()可以直接得出如下結(jié)果，其中③為隱函數(shù)，32故需要用

隱函數(shù)求

導(dǎo)公式得出導(dǎo)數(shù)。

?symsx;

f-sqrt(x*sin(x)*sqrt(1-exp(x)));simple(diff(f))

ans=

1/2/(x*sin(x)*(1-exp(x))(1/2))(1/2)*(sin(x)*(1-exp(x))(1/2)+x*cos(x)*(l-

exp(x))"(l/2)-l/2*x*sin(x)/(1-exp(x))*(l/2)*exp(x))?symsax

y=(1-sqrt(cos(a*x)))/(x*(l-cos(sqrt(a*x))))

simple(diff(y))

ans=

l/2/cos(a*x)(1/2)*sin(a*x)*a/x/(l-cos((a*x)(1/2)))-

(1-cos(a*x)"(l/2))/x2/(l-cos((a*x)"(l/2)))-l/2*(l-cos(a*x)"(1/2))/x/(1-

cos((a*x)"(1/2)))2*sin((a*x)"(1/2))/(a*x)(1/2)*a?f=atan(y/x)-log(x"2+y2);

fl=simple(-diff(f,x)/diff(f,y))

fl二

(y+2*x)/(x-2*y)

>>symsnpositive;symsa;f=-log((xn+a)/x"n)/(n*a);diff(f,x)ans=

一(n/x-(x-n+a)/(x-n)*n/x)/(x-n+a)*x八n/n/a

用LATEX表示上面的結(jié)果，則33

①1=2

從

sin(x)

P

1jex+xcos(x)p

1iexj1=2xsin(x)exp

1jex

11

1

q

xsin(x)

P

1iex

②1=2

sin(ax)ap

cos(ax)x(1jcos(p

ax))

1i34

P

cos(ax)x2(1jcos(pax))j1=231jp

cos(ax)'sin(pax)ax(1icos(pax))2pax③y+2xxj2y@j

35N

n

x

i

(xn+a)n

xnx

H

xn(xn+a)i1njlaj1

4試求出y(t)二

s

(xj1)(xj2)

(xj3)(xi4)

函數(shù)的4階導(dǎo)數(shù)。

【求解】高階導(dǎo)數(shù)可以由下面語句直接得出

?symsax

f=sqrt((x-1)*(x-2)/(x-3)/(x-4));simple(diff(f,x,4))

ans=

第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解19

3*(16*x^ll-392*x"10+4312*x^9-28140*x^8+121344*x^7-

364560*x*6+783552*x'5-1214604*x*4+1342560*x*3-1015348*x*2+474596*x-

103741)/((x-l)*(x-2)/(x-3)/(x-4))*(7/2)/(x-3)*8/(x-4)~8336

16xllj392x10+4312x9；28140x8+121344x7i

364560x6+783552x5j1214604x4+1342560x311015348x2+474596xj103741』

(xi1)(xi2)

(xi3)(xj4)

W=2

(xi3)8(xj4)8

5在高等數(shù)學(xué)中，求解分子和分母均同時(shí)為0或1時(shí)，分式極限時(shí)可使用L'Mopital

法則，即

對分子分母分別求導(dǎo)數(shù)，再由比值得出，試用該法則lim

x!0

In(1+x)In(1jx)jln(ljx2)

x4

并和直接求出的極限結(jié)果相比較。

【求解】從給出的分母看，若想使之在X=0處的值不為0,則應(yīng)該對其求4階導(dǎo)數(shù)，

同樣，

還應(yīng)該對分子求4階導(dǎo)數(shù)，將x=0代入結(jié)果，這樣就可以使用L'Mopital法則求出

極限了。

>>symsx;n=log(l+x)*log(l-x)-log(l-x~2);d=x4;37

n4=diff(n,x,4);d4=diff(d,x,4);n4=subs(n4,x,0);L=n4/d4

L

1/12

現(xiàn)在直接求極限可以驗(yàn)證上述結(jié)果是正確的。?limit(n/d,x,0)

ans=

1/12

6已知參數(shù)方程

%

x=Incost

y=costjtsint

，試求出

dy

dx

和

d2y

dx2

t=p=3

o

【求解】參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)可以由下面語句直接求出。38?symst;x=log(cos(t));

y=cos(t)-t*sin(t);

diff(y,t)/diff(x,t)

ans=

-(-2*sin(t)-t*cos(t))/sin(t)*cos(t)

>>f=diff(y,t,2)/diff(x,t,2);subs(f,t,sym(pi)/3)

ans

3/8T/24*pi*3?l/2)

7假設(shè)u=cosi1

r

x

y

,試驗(yàn)證

@2u

@x@y

=@2u

@y@x

o

【求解】證明二者相等亦可以由二者之差為零來證明，故由下面的語句直接證明。

20第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解

>>symsxy;u=acos(x/y);

diff(diff(u,x),y)-diff(diff(u,y),x)39

ans=

8設(shè)

(

xu+yv=0

yu+xv=1

,試求解

@2u

@x@y

【求解】用下面的語句可以直接得出如下結(jié)果。?symsxyuv

[u,v]=solve(，x*u+y*v=O','y*u+x*v=l','u,v');diff(diff(u,x),y)

ans=

2/(x-2-y八2廠2*x+8*y-2/(x-2-y-2廠3*x

9假設(shè)f(x;y)=

Zxy

ejt2dt,試求

x

y40

@2f

@x2

i2@2f

@x@y

+@2f

@y2

o

【求解】由下面的命令可以得出所需結(jié)果。?symsxyt

f=int(exp(-t2),t,0,x*y);

x/y*diff(f,x,2)-2*diff(diff(f,x),y)+diff(f,y,2)simple(ans)

ans二

-2*exp(-x-2*y-2)*(-x-2*y-2+1+x-3*y)

10假設(shè)已知函數(shù)矩陣f(x;y;z)

3x+eyz

x3+y2sinz

,試求出其Jacobi矩陣。

【求解】Jacobi矩陣可以由下面的語句直接得出。?symsxyz41

F=[3*x+exp(y)*z;x^3+y^2*sin(z)];jacobian(F,[x,y,z])

ans=

[3,exp(y)*z,exp(y)]

[3*x2,2*y*sin(z),y*2*cos(z)]

11試求解下面的不定積分問題。①I(x)=i

Z

3x2+a

x2(x2+a)2dx,②I(x)=Zp

x(x+1)

P

x+

P

1+x

dx

③I(x)二

Z

xeaxcosbxdx,@I(t)=Z

eaxsinbxsincxdx42

【求解】①該不定積分可以由下面的命令直接求出第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解

21

>>symsxa

f=(3*x2+a)/(x2+(x^2+a)2);int(f,x)

ans二

12/(4+16*a)/(2+4*a+2*(1+4*a)(1/2))71/2)*

atan(2*x/(2+4*a+2*(l+4*a)Xl/2))'(1/2))+

48/(4+16*a)/(2+4*a+2*(1+4*a)71/2))71/2)*

atan(2*x/(2+4*a+2*(l+4*a)-(1/2)廠(1/2))*a+

12/(4+16*a)/(2+4*a+2*(1+4*a)X1/2)廠(1/2)*

atan(2*x/(2+4*a+2*(l+4*a)-(1/2))-(1/2))*(1+4*@廠(1/2)+

16/(4+16*a)/(2+4*a+2*(1+4*@廠(1/2)廠(1/2)*

atan(2*x/(2+4*a+2*(l+4*a)-(1/2))-(1/2))*(l+4*a)c(1/2)*a+12/(4+16*a)/(2+4*a-

2*(l+4*a)Xl/2))Xl/2)*

atan(2*x/(2+4*a-2*(l+4*a)-(1/2)廠(1/2))+

48/(4+16*a)/(2+4*a-2*(l+4*a)Xl/2)廠(1/2)*

atan(2*x/(2+4*a-2*(l+4*a)Xl/2))c(l/2))*a-

12/(4+16*a)/(2+4*a-2*(l+4*a「(1/2)廠(1/2)*

atan(2*x/(2+4*a-2*(l+4*a)-(1/2))-(l/2))*(l+4*a)-(1/2)-16/(4+16*a)/(2+4*a-

2*(l+4*a)Xl/2)),(l/2)*

atan(2*x/(2+4*a-2*(l+4*a)”1/2))Xl/2))*(l+4*a)-(l/2)*a②可以用下面的語句

求出問題的解43

>>symsx;f=sqrt(x*(x+1))/(sqrt(x)+sqrt(x+1));int(f,x);latex(ans)

并將其顯示如下

2=15

P

x(x+l)x(3x+5)

P

x+1

i2=15

P

x(x+1)(x+1)(i2+3x)

P

x

③可以求出下面的結(jié)果

?symsabx

f=x*exp(a*x)*cos(b*x);int(f,x);latex(ans)其數(shù)學(xué)顯示為

A

ax

a2+b2

a2ib244

(a2+b2)2

I

eaxcos(bx)j

A

bx

a2+b2+2ab

(a2+b2)2

!

eaxsin(bx)

④用下面的語句求解，得

>>symsxabc;f=exp(a*x)*sin(b*x)*sin(c*x);latex(int(f,x))

22第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解亦即

1=2aeaxcos((bjc)x)

a2+(bic)2j1=2

(ib+c)eaxsin((bjc)x)

a2+(bjc)2

j1=2aeaxcos((b+c)x)

a2+(b+c)2+1=2

(ibjc)eaxsin((b+c)x)45

a2+(b+c)2

12試求出下面的定積分或無窮積分。

①I=

Z1

cosX

P

X

dx,②I二

Z1

1+x2

1+x4dx

【求解】①可以直接求解

>>symsx;int(cos(x)/sqrt(x),x,0,inf)

ans=

1/2*2、(1/2)*pi-(l/2)

②可以得出

>>symsx;int((l+x*2)/(l+x*4),x,0,1)

ans=

1/4*271/2)*pi

13假設(shè)f(x)=ej5xsin(3x+p=3),試求出積分函數(shù)R(t)=46Zt

f(x)f(t+x)dxo

【求解】定義了x的函數(shù)，則可以由subs()函數(shù)定義出t+x的函數(shù)，這樣由下面的

語句可

以直接得出R函數(shù)。

?symsxt;f=exp(-5*x)*sin(3*x+sym(pi)/3);

R=int(f*subs(f,x,t+x),x,0,t);simple(R)

ans二

1/1360*(15*exp(t)TO*3c(1/2)Mos(3*t)-25*cos(9*t)+

25*exp(t)"10*3"(1/2)*sin(3*t)-68*cos(3*t)-15*3"(1/2)*cos(9*t)-

25*3X1/2)*sin(9*t)-15*exp(t)10*sin(3*t)+15*sin(9*t)+

93*exp(t)10*cos(3*t))/exp(t)15

該結(jié)果可以寫成

1

1360

15(et)10p

3cos(3t)j68cos(3t)j15(et)10sin(3t)j25

P

3sin(9t)+25(et)10p

3sin(3t)

+15sin(9t)j25cos(9t)i1547

P

3cos(9t)+93(et)10cos(3t)

(et)15

14對a的不同取值試求出I=

Z1

cosax

1+x2dxo

【求解】由下面的循環(huán)結(jié)構(gòu)可以得出不同a值下的無窮積分值，并可以繪制出它們之間

關(guān)系

的曲線，如圖3T所示。

第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解23

>>symsxa;f=cos(a*x)/(l+x2);aa=[0:0.l:pi];y=[];

forn=aa

b=int(subs(f,a,n),x,0,inf);y=[y,double(b)];

end

plot(aa,y)

00.511.522.533.5

0.2

0.4

0.648

0.8

1

1.2

1.4

1.6

圖3T不同a值下的積分值曲線

15試對下面函數(shù)進(jìn)行Fourier幕級數(shù)展開。

①f(x)=(pijxj)sinx;ip6x<p②f(x)=ejxj;ip6x<p③f(x)=

(

2x=l;0<x<1=2

2(1jx)=l;1=2<x<1

,且1二p。

【求解】①可以立即由下面的語句求出。

>>symsx;f=(sym(pi)-abs(x))*sin(x);

[A,B,F]=fseries(f,x,10,-pi,pi);F

F二

l/2*pi*sin(x)+16/9/pi*sin(2*x)+32/225/pi*sin(4*x)+

48/1225/pi*sin(6*x)+64/3969/pi*sin(8*x)+80/9801/pi*sin(10*x)該結(jié)果在LATEX

下可以顯示為

1

2psinx+49

0.8

1

1.2

1.4

1.6

圖3T不同a值下的積分值曲線

15試對下面函數(shù)進(jìn)行Fourier基級數(shù)展開。

①f(x)=(pjjxj)sinx;ip6x<p②f(x)=ejxj;ip6x<p③f(x)=

(

2x=l;0<x<1=2

2(1jx)=l;1=2<x<1

.且1=p。

【求解】①可以立即由下面的語句求出。

?symsx;f=(sym(pi)-abs(x))*sin(x);

[A,B,F]=fseries(f,x,10,-pi,pi);F

F=

l/2*pi*sin(x)+16/9/pi*sin(2*x)+32/225/pi*sin(4*x)+

48/1225/pi*sin(6*x)+64/3969/pi*sin(8*x)+80/9801/pi*sin(10*x)該結(jié)果在LATEX

下可以顯示為

1

2psinx+49

sinlOx

P

②可以由下面語句求解，并得出數(shù)學(xué)公式為?symsx;f=exp(abs(x));

[A,B,F]=fseries(f,x,10,-pi,pi);F

得出的解析解為

1=2

2epj2

P

+

(iepj1)cos(x)

P

+

(2=5epi2=5)cos(2x)

P

+

(j1=5epj1=5)cos(3x)

P

24第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解+

(2=17epi2=17)cos(4x)

p51

(j1=13epi1=13)cos(5x)p

+

i2

37epj2

37

0

cos(6x)

P

+

(i1=25epi1=25)cos(7x)p

+

i2

65epj2

65

0

cos(8x)

P

+

(j1=41epi1=41)cos(9x)52p

+

i2

101epj2

101

cos(10x)

P

進(jìn)一步觀察結(jié)果可見，該式子可以手工化簡，例如提取系數(shù)(epi

(iDn)=p?；?qū)Ω黜?xiàng)系數(shù)

逐項(xiàng)求值(保留10位有效數(shù)字)

?vpa(F,10)

ans=

7.047601355-7.684221126*cos(x)+2.819040541*cos⑵*x)T.536844225*cos(

3.*x)

+.8291295709*cos(4.*x)5910939328*cos(5.*x)+.3809514246*cos(6.*x)-

.3073688450*cos(7.*x)+.2168492724*cos(8.*x)-.1874200274*cos(9.*x)

+.1395564625*cos(10.*x)

③似乎求解起來更困難，巧妙利用符號(hào)運(yùn)算工具箱中的heavisideO函數(shù)，則可以將

原函數(shù)

表示成

f(x)=20heaviside53

3

xip

2

2

P

x

JXip=2j

xip=2

這樣就可以用下面的語句求出函數(shù)的Fourier級數(shù)。

?symsx;pil=sym(pi);

f=2*heaviside(x-pi1/2)-2/pil*x*abs(x-pil/2)/(x-pil/2);

[a,b,F]=fseries(f,x,10,-pi,pi);F

F=

-1/4+4/pi2*cos(x)+(4/pi+2)/pi*sin(x)-2/pi"2*cos(2*x)-l/pi*sin(2*x)+

4/9/pi-2*cos(3*x)+(-4/9/pi+2/3)/pi*sin(3*x)T/2/pi*sin(4*x)+

4/25/pi/2*cos(5*x)+(4/25/pi+2/5)/pi*sin(5*x)-2/9/p12*cos(6*x)-

l/3/pi*sin(6*x)+4/49/pV2Mos(7*x)+(-4/49/pi+2/7)/pi*sin(7*x)-

l/4/pi*sin(8*x)+4/81/pi八2Mos(9*x)+(4/81/pi+2/9)/pi*sin(9*x)-

2/25/pi^2*cos(10*x)-l/5/pi*sin(10*x)

i1=4+454

cos(x)p2+j

4pj1+20

sin(x)p

i2

cos(2x)p2j

sin(2x)p

+4=9cos(3x)p2+j

i4=9pi1+2=30

sin(3x)p55

i1=2sin(4x)p+425

cos(5x)p2+j4

25pi1+2=50

sin(5x)pj2=9cos(6x)p2j1=3sin(6x)p+44956cos(7x)p2+jj4

49pi1+2=70

sin(7x)pi1=4sin(8x)p+481

cos(9x)p2+j4

81pj1+2=90

sin(9x)pj572

25

cos(lOx)

P2

i1=5

sin(lOx)

P

16試求出下面函數(shù)的Taylor基級數(shù)展開。第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解25①

Zx

sint

t

dt②In

N

1+x

1ix

③In

3

x+58

P

1+x2

④(1+4:2x2)0:2

⑤ej5xsin(3x+p=3)分別關(guān)于x=0>x=a的累級數(shù)展開⑥對f(x;y)=

1jcos

i

x2+y2

0

i

x2+y2c

ex2+y2關(guān)于x=1;y=0進(jìn)行二維Taylor暴級數(shù)展開。

【求解】由下面的語句可以分別求出各個(gè)函數(shù)的嘉級數(shù)展開，由latex(ans)函數(shù)可以

得出下

面的數(shù)學(xué)表示形式。

>>symstx;f=int(sin(t)/t,t,0,x);

taylor(f,x,15)

>>symsx;f=log((l+x)/(l-x))?taylor(f,x,15)

>>symsx;f=log(x+sqrt(1+x2));taylor(f,x,15)

>>symsx;f=(l+4.2*x2)0.2;taylor(f,x,13)

①xi1=18x3+59

1

600x5i

1

35280x7+

1

3265920x9i

1

439084800x11+

1

80951270400x13

②2x+2=3x3+2=5x5+2=7x7+2=9x9+2=11x11+2=13x13③xj1=6x3+

3

40x5i

5

112x7+

35

1152x9i

63

2816x11+

231

13312x1360

④1+

21

25x2i

882

625x4+

55566

15625x6j

4084101

390625x8+

1629556299

48828125xlOi

136882729116

1220703125xl2

⑤該函數(shù)的前4項(xiàng)展開為

?symsxa;f=exp(-5*x)*sin(3*x+sym(pi)/3);taylor(f,x,4,a)

ej5asin

3

3a+p

3

+61

3

3ei5acos3

3a+p3'j5ej5asin3

3a+p3

(xia)+3

8ej5asin3

3a+p3'j15ej5acos33a+p62

3

(xia)2

+