2024年中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷（廣州卷）（全解全析）

年中考第一次模擬考試（廣州卷）數(shù)學(xué)·全解全析一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1．若﹣（﹣2）表示一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，則這個(gè)數(shù)是（）A． B． C．2 D．﹣2【答案】D【分析】直接利用互為相反數(shù)的定義得出答案．【詳解】解：-（-2）=2，2的相反數(shù)是：-2．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相反數(shù)，正確把握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．由四個(gè)相同的小正方體搭建了一個(gè)幾何體，從三個(gè)方向看到的它的形狀圖如圖所示，則這個(gè)幾何體可能是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合三視圖作出判斷即可．【詳解】解：根據(jù)俯視圖可以將B、C、D淘汰掉，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關(guān)鍵是能夠弄懂三個(gè)視圖分別是從哪里看到的．3．六位同學(xué)的年齡分別是13、14、15、14、14、15歲，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，正確說法是（

）A．平均數(shù)是14 B．中位數(shù)是14.5 C．方差3 D．眾數(shù)是14【答案】D【分析】分別求出平均數(shù)、中位數(shù)、方差、眾數(shù)后，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．六位同學(xué)的年齡的平均數(shù)為，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B．六位同學(xué)的年齡按照從小到大排列為：13、14、14、14、15、15，∴中位數(shù)為，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C．六位同學(xué)的年齡的方差為，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D．六位同學(xué)的年齡中出現(xiàn)次數(shù)最多的是14，共出現(xiàn)3次，故眾數(shù)為14，故選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、方差、眾數(shù)，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、方差、眾數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．4．計(jì)算：結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用冪的乘方的法則及同底數(shù)冪的除法的法則對式子進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法，冪的乘方；解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．5．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解不等式組可得-2≤x<3，故選D.6．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BOC＝120°，則∠A等于（）A．50° B．60° C．55° D．65°【答案】B【分析】由圓周角定理即可解答.【詳解】∵△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∴∠A＝∠BOC，而∠BOC＝120°，∴∠A＝60°.故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練運(yùn)用圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵.7．若，，則的值為（

）．A．2 B．2021 C．－2 D．8【答案】B【分析】先計(jì)算出的值，再利用完全平方公式對進(jìn)行分解，整體代入求值即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，利用完全平方公式計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．8．一次函數(shù)與的圖象如圖所示，下列選項(xiàng)正確的有（

）

①隨x的增大而減小；

②函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限；③；

④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象和即可判斷①②；把和代入與即可判斷③④．【詳解】解：由圖象可得：隨x的增大而減小，故①正確；由圖象可得：，∴經(jīng)過一、三、四象限，故②正確；當(dāng)時(shí)，，，由圖象可得：當(dāng)時(shí)，，即，故，故③正確；當(dāng)時(shí)，，，由圖象可得：當(dāng)時(shí)，，，∴∴，故④正確；正確的有①②③④，共4個(gè)，故選：D．9．在西線高鐵工程中，某路段需鋪軌．先由甲隊(duì)獨(dú)做天后，再由乙隊(duì)獨(dú)做天剛好完成．已知乙隊(duì)單獨(dú)完成比甲隊(duì)單獨(dú)完成多用天，求甲、乙隊(duì)單獨(dú)完成各需要多少天？若設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成需天,則所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，列出分式方程即可．【詳解】解：若設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成需天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)需（x+2）天，則依題意得：；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．10．一艘漁船從港口沿北偏東60°方向航行60海里到達(dá)處時(shí)突然發(fā)生故障，位于港口正東方向的處的救援艇接到信號后，立即沿北偏東45°方向以40海里/小時(shí)的速度前去救援，救援艇到達(dá)處所用的時(shí)間為（

）A．小時(shí) B．小時(shí) C．小時(shí) D．小時(shí)【答案】D【分析】過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，先求出的長度，再根據(jù)勾股定理求出的長度即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，∵，海里，∴海里，∵，∴，根據(jù)勾股定理得：海里，∴救援艇到達(dá)處所用的時(shí)間為：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、含有角的直角三角形，以及等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握含有角的直角三角形，所對的邊等于斜邊的一半．第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．向月球發(fā)射無線電波，無線電波到月球并返回地面需．已知無線電波每秒傳播，則地球和月球之間的距離約是．【答案】【分析】根據(jù)距離等于速度乘以時(shí)間進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．12．已知點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系為．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式，得出圖象的對稱軸是軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得出圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性即可得到答案．本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴函數(shù)圖象的對稱軸是y軸，圖象的開口向下，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，且，∴，故答案為：．13．董永社區(qū)在創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市的活動中，隨機(jī)檢查本社區(qū)部分住戶五月份某周內(nèi)“垃圾分類”的實(shí)施情況，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天），則本次抽樣調(diào)查的樣本容量是，扇形統(tǒng)計(jì)圖部分所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是．

【答案】60108°/108度【分析】由條形圖與扇形圖的中關(guān)于A組的信息，可求得樣本容量；相應(yīng)的求得B組的人數(shù)，進(jìn)而求得扇形中圓心角的度數(shù)．【詳解】，樣本容量是60，又，∴扇形統(tǒng)計(jì)圖部分所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是．故答案為：60，【點(diǎn)睛】本題考查條形圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖；理解扇形圖與條形圖的信息聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，，，，、、分別是邊、、上的動點(diǎn)，連接、、，則的最小值是．【答案】【分析】由勾股定理，求出；當(dāng)點(diǎn)、與點(diǎn)重合，且點(diǎn)運(yùn)動至?xí)r，值最?。驹斀狻吭谥校?，∴∵∴當(dāng)點(diǎn)、與點(diǎn)重合，且點(diǎn)運(yùn)動至?xí)r，值最?。唷摺唷啵蚀鸢笧椋海军c(diǎn)睛】本題考查勾股定理，垂線短最短，解題的關(guān)鍵是掌握動點(diǎn)問題，垂線短最短．15．如圖，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分線，作DE⊥AB，已知AB＝4，AC＝2，△ABD的面積是2，則△ADC的面積為．【答案】1【分析】先根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出DE=1，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)D到AB和AC的距離相等，然后利用三角形的面積公式計(jì)算△ADC的面積．【詳解】DE⊥AB，S△ABD

=×DE×AB=2，DE==1，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)D到AB和AC的距離相等，點(diǎn)D到AC的距離為1，S△ADC

=×2×1=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若點(diǎn)E在線段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于點(diǎn)F，沿EF折疊C落在處，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，BC=．【答案】18或15或21.9【分析】分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可求解．【詳解】解：∵沿EF折疊C落在處，∴，，，∵∠B=90°，AB=CD=12，BE=5，∴，當(dāng)時(shí)，CE=AE=13，∴BC=BE+CE=18；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，則，∵AE⊥EF，∴，∵，∴，∵AE=AE=∠AGE=∠B=90°，∴，∴EG=BE=5，∴，∴CE=10，∴BC=BE+CE=15；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)M，連接交EF于點(diǎn)N，連接AF，則AE=2ME，，，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴此時(shí)點(diǎn)落在AD上，，∴，設(shè)DF=x，則，∵，∴，解得：，∴，設(shè)CE=a，則AD=BC=5+a，∵，∴，解得：a=16.9，∴BC=21.9；綜上所述，BC=18或15或21.9．故答案為：18或15或21.9【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分4分）解方程：【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是化成一般式，再利用因式分解法求解．【詳解】解：整理成一般式，得，，或，．（本小題滿分4分）如圖，在△ADF和△BCE中，點(diǎn)D、E、F、C在同一直線上，AF//BE，AF=BE，DE=CF．求證：∠A=∠B.【答案】見解析【分析】欲證∠A=∠B，則證明兩個(gè)角所在的兩三角形全等即可．【詳解】解：證明：∵AF∥BE，∴∠AFD=∠BEC，∵DE=CF，∴DE+EF=CF+EF，∴DF=CE，在△DAF和△CBE中，，∴△DAF≌△CBE，∴∠A=∠B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定和全等三角形的對應(yīng)邊相等；要牢固掌握并靈活運(yùn)用這些知識．19．（本小題滿分6分）如圖，在平面坐標(biāo)系內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長是1個(gè)單位長度

(1)先將向下平移2個(gè)單位長度，再向左平移3個(gè)單位長度得到，請畫出；(2)將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，請畫出；(3)并直接寫出點(diǎn)的長度．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先將向下平移2個(gè)單位長度，再向左平移3個(gè)單位長度得到，即畫出；（2）分別畫出點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點(diǎn)、、，再連接、、即可．（3）利用網(wǎng)格，由勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖即為所作；

（2）解：如圖即為所作，

（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖平移變換、旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．20．（本小題滿分6分）閱讀材料：把代數(shù)式因式分解，可以如下分解：(1)探究：請你仿照上面的方法，把代數(shù)式因式分解；(2)拓展：把代數(shù)式因式分解得______；當(dāng)______時(shí)，代數(shù)式．【答案】(1)(2)；1或【分析】（1）根據(jù)題目中給出的方法分解因式即可；（2）先將分解因式得出，根據(jù)得出或，求出的值即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；∵，∴當(dāng)或時(shí)，，∴或時(shí)，，∴或時(shí)，．故答案為：；1或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和平方差公式．21．（本小題滿分8分）如圖，在一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤中，指針位置固定，三個(gè)扇形的面積相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3．小明先轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時(shí)，記錄下指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字；接著小麗再轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時(shí)，再次記錄下指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字．（1）求這兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)的概率（用畫樹狀圖或列表等方法求解）．（2）小明和小麗做游戲，游戲規(guī)則：兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)，則小明獲勝，否則小麗獲勝．這個(gè)游戲公平嗎？如果公平，請說明理由；如果不公平請你修改游戲規(guī)則，使游戲公平．【答案】（1）；（2）不公平，修改規(guī)則見解析【分析】（1）根據(jù)題意列表得出所有等可能的情況數(shù)，得出這兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案；（2）根據(jù)兩人獲勝的概率判斷是否公平，再依照兩人獲勝概率相等修改規(guī)則．【詳解】解：（1）列表如下：由表可知，所有等可能的情況數(shù)為9種，其中這兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)的有5種，∴兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為；（2）不公平，小明獲勝的概率為，小麗獲勝的概率為，修改規(guī)則如下：兩個(gè)數(shù)字之和小于4，則小明獲勝，兩個(gè)數(shù)字之和大于4，小麗獲勝．【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率和游戲公平性的判斷，判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．22．（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，對角線軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D在y軸上．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求直線的解析式．【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）直線的解析式為.【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可以得到對角線之間的關(guān)系，進(jìn)而得到坐標(biāo)；（2）已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線解析式.【詳解】解：（1）如圖，連接，過點(diǎn)B作軸，點(diǎn)E為垂足，∵四邊形是正方形，∴，，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）設(shè)直線的解析式為，則，解得．故直線的解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)的表示、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，難度不大.23．（本小題滿分10分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D．(1)尺規(guī)作圖，作邊BC的垂直平分線，交邊AC于點(diǎn)E．(2)若AD：BD＝3：4，求sinC的值．(3)已知BC＝10，BD＝6．若點(diǎn)P為平面內(nèi)任意一動點(diǎn)，且保持∠BPC＝90°，求線段AP的最大值．【答案】(1)答案見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖方法按步驟完成即可；（2）由同角的余角相等可得∠ABD=∠C，在Rt△ABD中，求出sin∠ABD的值，從而得出答案；（3）由條件可得，點(diǎn)P的軌跡是以BC為直徑的圓上，所以當(dāng)AP過圓心時(shí)距離最大，用勾股定理求出線段即可．【詳解】（1）解：作圖如下：（2）∵∠ABC=∠BDC=90°，∴∠ABD＋∠CBD=90°，∠CBD＋∠C=90°，∴∠ABD=∠C，在Rt△ABD中，AD：BD＝3：4，∴AB∶AD=3∶5，∴sin∠C=sin∠ABD=．（3）如圖，點(diǎn)P在BC為直徑的圓上，O為圓心，當(dāng)A、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，AP最大，∵BC＝10，BD＝6，∴CD=8，∵△ABD∽△BCD，∴，，解得,在Rt△ABD中，AB=,∵BC=10，∴BO=OP=5,在Rt△ABO中，,∴AP=AO＋OP=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，三角函數(shù)，動點(diǎn)最值問題，找準(zhǔn)動點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．24．（本小題滿分12分）如圖①，已知點(diǎn)M，O，N在同一直線上，，分別是與的平分線，，，垂足分別為B，C，連接交于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形是矩形；（2）猜想與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論：（3）如圖②，以為x軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，矩形中有兩個(gè)點(diǎn)恰好落在該反比例函數(shù)圖象上，分別求出點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3），．【分析】（1）通過證明四邊形中有三個(gè)直角，即可證明四邊形是矩形；（2）如圖，根據(jù)四邊形是矩形，得到，進(jìn)而得，再根據(jù)，得到，即可得到；（3）如圖，先利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)．再利用坐標(biāo)的特點(diǎn)以及矩形性質(zhì)，即可B，點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】（1）證明：如圖，∵，分別平分，，∴，，∵，∴，即．又∵，，∴，∴四邊形是矩形．（2）與的位置關(guān)系：．證明：如圖，∵四邊形是矩形，∴，∴，又∵，∴，∴．（3）如圖，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)．分別作