高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)疑點難點講解

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)疑點難點講解【考點審視】掌握三角函數(shù)概念，其中以三角函數(shù)的定義學(xué)習(xí)為重點。（理科：兼顧反三角）提高三角函數(shù)的恒等變形的能力，關(guān)鍵是熟悉誘導(dǎo)公式、同角關(guān)系、和差角公式及倍角公式等，掌握常見的變形方法。解決三角函數(shù)中的求值問題，關(guān)鍵是把握未知與已知之間的聯(lián)系。熟練運用三角函數(shù)的性質(zhì)，需關(guān)注復(fù)合問題，在問題轉(zhuǎn)化過程中，進(jìn)一步重視三角恒等變形。掌握等的圖象及性質(zhì)，深刻理解圖象變換之原理。解決與三角函數(shù)有關(guān)的（常見的）最值問題。7、正確處理三角形內(nèi)的三角函數(shù)問題，主要是理解并熟練掌握正弦定理、余弦定理及三角形內(nèi)角和定理，提高邊角、角角轉(zhuǎn)化意識。8、提高綜合運用的能力，如對實際問題的解決以及與其它章節(jié)內(nèi)容的整合處理?！疽呻y點拔】概念不清例1．若、為第三象限角，且，則（）（A）（B）（C）（D）以上都不對錯解選（A）分析：角的概念不清，誤將象限角看成類似區(qū)間角。如取，可知（A）不對。用排除法，可知應(yīng)選（D）。以偏概全例2．已知，求的值及相應(yīng)的取值范圍。錯解當(dāng)是第一、四象限時，，當(dāng)是第二、三象限時，。分析：把限制為象限角時，只考慮且的情形，遺漏了界限角。應(yīng)補充：當(dāng)時，；當(dāng)時，，或。忽略隱含條件例3．若，求的取值范圍。錯解移項得，兩邊平方得即分析：忽略了滿足不等式的在第一象限，上述解法引進(jìn)了。正解：即，由得∴忽視角的范圍，盲目地套用正弦、余弦的有界性例4．設(shè)、為銳角，且+，討論函數(shù)的最值。錯解可見，當(dāng)時，；當(dāng)時，。分析：由已知得，∴，則∴當(dāng)，即時，，最大值不存在。忽視應(yīng)用均值不等式的條件例5．求函數(shù)的最小值。錯解∴當(dāng)時，分析：在已知條件下，（1）、（2）兩處不能同時取等號。正解：當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，專題四：三角函數(shù)【經(jīng)典題例】例1：點P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達(dá)Q點，則Q點的坐標(biāo)為（）（A）（B）（C）（D）[思路分析]記，由三角函數(shù)定義可知Q點的坐標(biāo)滿足，故選（A）[簡要評述]三角函數(shù)定義是三角函數(shù)理論的基礎(chǔ)，理解掌握能起到事半功倍的效果。例2：求函數(shù)的最小正周期、最大值和最小值.[思路分析]所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是.[簡要評述]三角恒等變形是歷年高考考察的主要內(nèi)容，變形能力的提高取決于一定量的訓(xùn)練以及方法的積累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函數(shù)的周期、最值是考察的熱點，變形化簡是必經(jīng)之路。例3：已知，的值.[思路分析]∵∴得又于是[簡要評述]此類求值問題的類型是：已知三角方程，求某三角代數(shù)式的值。一般來說先解三角方程，得角的值或角的某個三角函數(shù)值。如何使解題過程化繁為簡，變形仍然顯得重要，此題中巧用誘導(dǎo)公式、二倍角公式，還用到了常用的變形方法，即“化正余切為正余弦”。例4：已知b、c是實數(shù)，函數(shù)f(x)=對任意α、βR有：且（1）求f（1）的值；（2）證明：c；（3）設(shè)的最大值為10，求f（x）。[思路分析]（1）令α=，得令β=，得因此；（2）證明：由已知，當(dāng)時，當(dāng)時，通過數(shù)形結(jié)合的方法可得：化簡得c；（3）由上述可知，[-1，1]是的減區(qū)間，那么又聯(lián)立方程組可得,所以[簡要評述]三角復(fù)合問題是綜合運用知識的一個方面，復(fù)合函數(shù)問題的認(rèn)識是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點，這一方面的學(xué)習(xí)有利于提高綜合運用的能力。例5：關(guān)于正弦曲線回答下述問題：（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值是1；（3）把函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），則所得的函數(shù)解析式子是；（4）若函數(shù)的最大值是，最小值是，最小正周期是，圖象經(jīng)過點（0，-），則函數(shù)的解析式子是；[思路分析]略[簡要評述]正弦曲線問題是三角函數(shù)性質(zhì)、圖象問題中的重點內(nèi)容，必須熟練掌握。上述問題的解答可以根據(jù)正弦曲線的“五點畫法”在草稿紙上作出函數(shù)的草圖來驗證答案或得到答案。例6：函數(shù)（1）求f(x)的定義域；（2）求f(x)的最大值及對應(yīng)的x值。[思路分析]（1）{x|x(2)設(shè)t=sinx+cosx,則y=t-1[簡要評述]若關(guān)于與的表達(dá)式，求函數(shù)的最值常通過換元法，如令，使問題得到簡化。例7：在ΔABC中，已知（1）求證：a、b、c成等差數(shù)列；（2）求角B的取值范圍。[思路分析]（1）條件等式降次化簡得（2）∴……，得B的取值范圍[簡要評述]三角形中的變換問題，除了需要運用三角式變換的所有方法、技巧外，還經(jīng)常需要考慮對條件或結(jié)論中的“邊”與“角”運用“正弦定理、余弦定理或面積公式”進(jìn)行ABABCD例8：水渠橫斷面為等腰梯形，如圖所示，渠道深為h，梯形面積為S，為了使渠道的滲水量達(dá)到最小，應(yīng)使梯形兩腰及下底之和達(dá)到最小，此時下底角α應(yīng)該是多少？[思路分析]CD=,C=,轉(zhuǎn)化為考慮y=的最小值，可得當(dāng)時，y最小，即C最小。[簡要評述]“學(xué)以致用”是學(xué)習(xí)的目的之一，三角知識的應(yīng)用很廣泛，在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)受到重視。【熱身沖刺】一、選擇題：1．若，則滿足=0.5的角的個數(shù)是（C）（A）2（B）3（C）4（D）52．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（B） （A）向右平移個單位長度（B）向右平移個單位長度（C）向左平移個單位長度（D）向左平移個單位長度3．已知函數(shù)，則下面三個命題中：（1）；（2）；（3）；其中正確的命題共有（B）（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個4．若是奇函數(shù)，且當(dāng)>0時，，則當(dāng)時，為(C)（A）（B）（C）||（D）||5．函數(shù)是奇函數(shù)，則等于（D）（A）（B）（C）（D）6．如果圓至少覆蓋函數(shù)的一個最大值點和一個最小值點，則的取值范圍是（B）（A）（B）（C）（D）7．若∈[]，則y＝的最大值是（C）（A）（B）（C）（D）8．．函數(shù)在區(qū)間[上的最小值為-，則的取值為（C）（A）[（B）[0，（C）[（D）9．若△ABC面積S=則∠C=（C）（A）（B）（C）（D）10．已知向量則與的夾角為（A）（A）（B）（C）（D）二、填空題：11．若是以5為周期的奇函數(shù)，=4,且cos，則=-4.12．函數(shù)=lg(sincos)的增區(qū)間是13．用表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)。則=-81。14．設(shè)，且，則的取值范圍是；三、解答題：15．（文）求函數(shù)的定義域。答案：（理）二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)是負(fù)數(shù)，對任何，都有）=，設(shè)M=[arcsin(sin4)]，N=[arcos(cos4)]，討論M和N的大小。答案：M>N16．在銳角三角形ABC中，（Ⅰ）求證；（Ⅱ）設(shè)=3，求邊上的高.略解（Ⅰ）證明：所以（Ⅱ）解：，即，將代入上式并整理后解得，舍去負(fù)值，∴設(shè)邊上的高為.由AB=AD+DB=得CD=2+.17．已知，，其中，求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的最大值、最小值。答案：；18．在銳角ΔABC中，已知A<B<C,且B=，又，求證：略證：由已知得，……進(jìn)一步可求出……，得，∴19．（1）已知，證明不存在實數(shù)能使等式cos+msin=m(*)成立；（2）試擴(kuò)大的取值范圍，使對于實數(shù)，等式(*)能成立；（3）在擴(kuò)大后的取值范圍內(nèi)，若取,求出使等式(*)成立的值。提示：（1）可化為（2）（3）20．設(shè)函數(shù)=·，其中向量=(2cos，1)，=(cos，sin2)，∈R.(1)若且∈[－，]，