大學(xué)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用

第第頁大學(xué)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)

第二講導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用

一、導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分的定義

對于一元函數(shù)yf*

dyd*

f

y

f*lih0

*h

h

f*

對于多元函數(shù)zf*,y

z*

f*h,yf*,y

h

對于函數(shù)微分

f**,ylim

h0

yf***

z

z**

zyy

dy*

dz

2

注：留意左、右導(dǎo)數(shù)的定義和記號。

二、導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分的計(jì)算：

1〕能嫻熟運(yùn)用求導(dǎo)公式、運(yùn)算法那么計(jì)算導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分；2〕隱函數(shù)、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

3〕高階導(dǎo)數(shù)：特別要留意萊布尼茨公式uv

n

n

C

k0

kn

u

knk

v的運(yùn)用。

例1：求函數(shù)yarcsin*在*0處的n

階導(dǎo)數(shù)。

解：y

,y

，所以有2

*y1*

〔1〕y

利用萊布尼茨公式對〔1〕兩邊求n2階導(dǎo)數(shù)得*y

n1

Cn2y

1

n2

1*

2

y

n

n

Cn22*y

1

n1

Cn22y

2

n2

當(dāng)*0時(shí)，n2y

n2

0

n

y

0n2n3y

2

n2

0

y由此可得y

2n

0n2

2

y

n2

0

02n22n4

2

2y00

2

高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)

y

2n1

02n12n3

11*

2

22

1y02n1

2

2

2n3

1

2

2

例2：求f*解：f*

n

的n階導(dǎo)數(shù)。

i

n

n1

11*12i

2

111

2i*i*

n1

f

*

1

n

n!*i1n!*i

1nn!

2i1*

2

n1

*i

n1

*i

n1

設(shè)*ircosisin,*ircosisin其中，rf

n

*

2

,arccot*，那么有

*

1nn!

2i1*

2

n1

*

2

n1

2isinn1arccot*

1nn!

*2

n1

sinn1arccot*

注：計(jì)算時(shí)留意一階微分不變性的應(yīng)用。4〕方向?qū)?shù)與梯度

三、導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)及微分的應(yīng)用

1〕達(dá)布定理：設(shè)f*在a,b上可導(dǎo)，假設(shè)fafb那么對介于fa,fb的一切值c，必有a,b，使得fc。

證明：f*在a,b上可導(dǎo)，那么f*在a,b上肯定有最大值和最小值。1、假如fa,fb異號，無妨設(shè)fa0,fb0，由于falim

h0

fahfa

h

,fblim

h0

fbhfb

h

，由極

限的保號性，當(dāng)*充分接近a時(shí)有f*fa；當(dāng)*充分接近b時(shí)有f

*fb，這就說明fa,fb不可能是f*在a,b上的最大值，

所以肯定存在a,b，使得f是f*在a,b上的最大值，由費(fèi)馬定理可得f0。

2、對于一般的fafb的情形，設(shè)c是介于fa,fb的值，考慮函

高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)

數(shù)F*f*c*，那么有Fafac,Fbfbc異號，由前面的證明可得，存在a,b有Ffc0，即fc。

2〕羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理

f*f*0f*0**0

n1

f*02!*0

**0

2

f

n

*0

n!

**0nRn*

其中Rn*

f

*

n1!

n1

，這里在*與*0之間的某個(gè)值。

3〕一元函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值4〕一元函數(shù)的凹凸性：

f*在區(qū)間I上凹：*1,*2I和1,2R，假設(shè)121，那么f1*12*21f

*1

2

f；*

2

f*在區(qū)間I上凸：*1,*2I和1,2R，假設(shè)121，那么f1*12*21f

*1

2

f；*

2

性質(zhì)：1、假如f*在區(qū)間I上是凹的，那么*1,*2,,*nI和1,2,,nR，假設(shè)12n1，肯定有*f1*12*2nn

1f

*1

2f

*2

nfn；*

2、假如f*在區(qū)間I上是凸的，那么*1,*2,,*nI和1,2,,nR，假設(shè)12n1，肯定有*f1*12*2nn

1f

*1

2f

*2

nfn*

*n11

證明：由于1*12*2n*n1*111

2

11

211

*2

n

其中

n

11

1，所以用數(shù)學(xué)歸納法可證明以上結(jié)論。

例3：證明：假設(shè)a1,a2,,an0，那么有

高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)

證明：考慮函數(shù)f*ln*f*

1*

a1a2an

n

*0，由于

,

f*

1*

2

0,*0

所以*0時(shí)，f*是凹函數(shù)。因此對于a1,a2,,an0由性質(zhì)有l(wèi)n

a1a2an

n

1n

lna1lna2lnan

ln

ln

a1a2an

nn

a1a2an

5〕多元函數(shù)幾何應(yīng)用

6〕多元函數(shù)的極值：拉格朗日乘數(shù)法。

例4：設(shè)f*在a,b上連續(xù)，在a,b上可導(dǎo)，fafb0。又g*在

a,b上連續(xù)，證明：至少存在一點(diǎn)a,b使得fgf。

證明：由于g*在a,b上連續(xù)，所以g*在a,b上存在原函數(shù)G*，即有G*g*。

考慮函數(shù)F*e

G*

f*,*a,b，那么有FaFb0，由羅爾中值定

理可得至少存在一點(diǎn)a,b使得Fe

G

fge

G

f0

因此至少存在一點(diǎn)a,b使得fgf。例5：設(shè)函數(shù)f*在[a,)上連續(xù)，在a,上可導(dǎo)，

〔1〕假如falimf*，證明：至少存在一點(diǎn)a,，使得f0。

*

〔2〕假如fa1，且對一切*a有f*ea*，證明：至少存在一點(diǎn)a,，使得fe

a

。

證明：〔1〕假如函數(shù)f*在[a,)上是常數(shù)，那么對于任意的a,都有f0。下面設(shè)f*不是常數(shù)，此種情形下存在ca,使得fafc，

高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)

無妨設(shè)f

afc，取

f

cfa

2

，由于f

a

*

limf*，所以存在

*0，當(dāng)**時(shí)有

f*fa

fcfa

2

f*

fafc

2

fc

因此我們有f*fc，由此我們可得f*在a,*上的最大值不在端點(diǎn)取得，由最大值和最小值定理和費(fèi)馬定理至少存在一點(diǎn)a,*a,使得f0(2)由于lime

*

a*

0，0f*ea*，由夾逼準(zhǔn)那么得

0

lifm*

limf*

*

*

考慮函數(shù)F*f*e

a*

，那么有F*在[a,)上連續(xù)，在a,上可導(dǎo)，

并且FalimF*0，由〔1〕的結(jié)論可得至少存在一點(diǎn)a,，使得

*

Ffe

a

a

0fe。

例6：設(shè)函數(shù)f*在區(qū)間0,1上可微，f00,f11，1,2,n是n個(gè)正數(shù)，且12n1，證明：存在*1,*2,,*n0,1使得

1f*1

2f*2

nf*n

1

證明：利用介值定理，存在c1,c2,,cn0,1使得fc11,fc212fc3123,,fcn112n1，無妨我們設(shè)c00,cn1，

對函數(shù)f*分別在以ci,ci1,i0,1,,n1為端點(diǎn)區(qū)間上運(yùn)用拉格朗日中值定理可得，至少存在*i1在ci,ci1,i0,1,,n1之間使得f*i1

fci1fcici1ci

i1ci1ci

i1f*i1

ci1ci

i0,1,,n1

因此我們有

1f*1

2f*2

nf*n

c1c0c2c1cncn1cnc01

高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)

例7：設(shè)f*在,上可導(dǎo)，f00,f*f*，證明：f*0。證明：1〕設(shè)f*在0,內(nèi)的最大值為f*0，那么有

2f*0f*0f0*0f

這就得到在0,

1

上有f2

1

12

f

*0

f

*0

0

*0，特別是f

1

0；2

2〕設(shè)f*在

k1k

上有f,22

*0，設(shè)設(shè)f*

在

k1k2

內(nèi)的

2,2

最大值為f*1，那么有f*1f*1f

kk1

*f1

22

f

*

f

*10

這就得到在

k1k2

上有f

2,2

*0，

由數(shù)學(xué)歸納法可得在[0,)上有f*0。同理可得在(,0]上有f*0。

例8：設(shè)f*在a,b上有二階導(dǎo)數(shù)，證明：存在a,b，使得

ba

abf*d*baf

2

ba

f

24

ab2

3

證明：設(shè)F*

*a

ftdt，將F*在點(diǎn)

處展成三階泰勒公式

23Fabab

**

262

ab

F

ababab2F*FF*2222

當(dāng)*a時(shí)，

abF

ababab20FF

2222

abf

abab2

ftdtf

222

23F1abab

262

23f1abab

〔1〕

622

ab

0

2a

高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)

當(dāng)*b時(shí)，

abF

ababba2FbFF

2222

23F2baba

622

ba

ab

ftdt

2a

ab

f23fbaba2abba2

ftdtf(2)

222262

21得

ba

13f1f2ab

ftdtfbaba

2422

由于f*在1,2可導(dǎo)，且

f1f2

2

在f1,f2之間，由達(dá)布定f1f2

2

3

理可得，存在1,2a,b使得f

，此時(shí)即有

ba

ab

f*d*baf

2

ba

f

24

例9：設(shè)f*在a,b上二階可導(dǎo)，證明：對于*a,b，存在a,b使得

f

ba2

*fa

*

t*ab

a

2222

1111

bf*f

b

f

*

ft

t*ab

證明：構(gòu)造函數(shù)Ft

fff

*ab

，那么有FaF*Fb0，利用羅

爾中值定理，存在1a,*,2*,b有F1F20，再利用一次羅爾中值定，存在1,2a,b使得F0，又由于

ft

Ft

fff

2t*ab

222

1*ab

0111

,Ft

ftfff

2*ab

222

0*ab

0111

*ab*ab

fta*b*ba2b*faf*2a*fbf*

由此可得

高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)

fa*b*ba2b*faf*2a*fbf*0

f即有

fba2

fba2

af*

a

*

bf*f

b

*

*fa

*

a

bf*f

b

f

*

1

1。2

例10：設(shè)函數(shù)f*在0,1連續(xù)，在0,1內(nèi)可微，且f0f10,f

1

證明：〔1〕存在

,1使得f；2

〔2〕存在0,使得ff1。證明：〔1〕考慮函數(shù)F*f**，由于F

1

,1使得f；2

*

11

0,F110，由零22

點(diǎn)定理，存在

〔2〕考慮函數(shù)G*f**e存在0,使得Ge

，由于G00,G0，由羅爾中值定理，

f1ef0，即有

ff1。

四、練習(xí)題

1〕求函數(shù)y

112*4*

2

的n階導(dǎo)數(shù)。

k

2〕設(shè)f*在a,b上有n1階導(dǎo)數(shù)，且f證明：存在a,b，使得f

n1

a

f

k

b0

,k0,1,2,,n，

f。

3〕設(shè)f*在a,b上有二階導(dǎo)數(shù)，fafb0且存在ca,b使得fc0證明：存在a,b，使得f0。

4〕設(shè)f*在區(qū)間1,1上三次可微，證明：存在1,1，使得

高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)

f6

f1f1

2

f0

5〕設(shè)函數(shù)f*在,上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的有界函數(shù)，f*f*1，證明：f*1

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