畢達哥拉斯學派

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一、畢達哥拉斯學派和第一次數(shù)學危機

1、古希臘數(shù)學

希臘人在文明史上首屈一指，在數(shù)學史上至高無上，他們雖也取用了四周其他文明世界的一些東西，但希臘人制造了他們自己的文明和文化，這是一切文明中最雄偉的，是對現(xiàn)代西方文化的進展影響最大的，是對今日數(shù)學的奠基有打算作用的。

古代希臘文明始終連續(xù)到公元600年，從數(shù)學史的觀點講，可把它分為兩段時期：一段是從公元前600年到公元前300年的古典時期；一段是從公元300年到公元600年的亞歷山大時期。

數(shù)學作為一門有組織、獨立的和理性的學科來說，在公元前600年到前300年的古典希臘學者登場之前是不存在的。在之前的巴比倫和埃及文明中，可以發(fā)覺整數(shù)和分數(shù)的算術，包括進位制記數(shù)法，有初步的代數(shù)和幾何上的一些閱歷公式。幾乎還沒有成套的記號，幾乎沒有有意識的抽象思維，沒有搞出一般的方法論，沒有證明甚或直觀推理的想法，使人能深信他們所做的運算步驟或所用的公式是正確的。假如將埃及人和巴比倫人比作粗陋的木匠，而希臘人則是大建筑師。

古典希臘數(shù)學是在先后相繼的幾個中心地點進展起來的，每處都在前人工作的基礎上進行建筑。在每個中心地點總有無正式組織的成群學者在一兩個宏大學者領導下開展活動。這類組織在現(xiàn)代也是習見的，它之所以存在也是可以理解的。今日，當一位高校者住在某一處——通常是個高校時，其他學者就接踵而去，向大師學習。

畢達哥拉斯學派和第一次數(shù)學危機1

達哥拉斯學派。從某種意義上來講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學，也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學，來源予古希臘畢達哥拉斯學派。它是一個唯心主義學派，興盛的時期為公元前500年左右。他們認為，“萬物皆數(shù)”(指整數(shù))，數(shù)學的學問是牢靠的、精確?????的，而且可以應用于現(xiàn)實的世界，數(shù)學的學問由于純粹的思維而獲得，不需要觀看、直覺和日常閱歷。

畢達哥拉斯是一個特別優(yōu)秀的老師，他認為每一個人都該懂些幾何。有一次他看到一個勤勉的窮人，他想教他學習幾何，因此對此人建議：假如這人能學懂一個定理，那么就給他一塊錢幣。這個人看在錢的份上就和他學幾何了，可是過了一個時期，這同學對幾何產(chǎn)生了特別大的愛好，反而要求畢達哥拉斯教快一些，并且建議：假如老師多教一個定理，他就給一個錢幣。不需要多少時間，畢達哥拉斯把他以前給那同學的錢全部收回了。

畢達哥拉斯的哲學思想具有一些神奇主義因素。從他開頭，希臘哲學開頭產(chǎn)生了數(shù)學的傳統(tǒng)。畢氏曾用數(shù)學討論樂律，而由此所產(chǎn)生的“和諧”的概念也對以后古希臘的哲學家有重大影響。畢達哥拉斯還在西方長期被認為是畢達哥拉斯定理（中國稱勾股定理）首先發(fā)覺者。在宇宙論方面，畢達哥拉斯結合了米利都學派以及自己有關數(shù)的理論。他認為存在著很多但有限個世界，并堅持大地是圓形的，不過則拋棄了米利都學派的地心說。畢達哥拉斯對數(shù)學的討論還產(chǎn)生了后來的理念論和共相論。即有了可理喻的東西與可感知的東西的區(qū)分，可理喻的東西是完善的、永恒的，而可感知的東西則是有缺陷的。這個思想被柏拉圖發(fā)揚光大，并從今始終支配著哲學及神學思想。他還堅持數(shù)學論證必需從“假設”動身，開創(chuàng)演繹規(guī)律思想，對數(shù)學進展影響很大。

最早把數(shù)的概念提到突出地位的是畢達哥拉斯學派。他對數(shù)字癡迷到幾近崇拜，企圖用數(shù)來解釋一切，宣稱數(shù)是宇宙萬物的本原。他同時任意地把非物質(zhì)的、抽象的數(shù)夸大為宇宙的本原，認為“萬物皆數(shù)”，“數(shù)是萬物的本質(zhì)”，是“存在由之構成的原則”，而整個宇宙是數(shù)及其關系的和諧的體系。畢達哥拉斯將數(shù)神奇化，說數(shù)是眾神之母，是普遍的始原，是自然界中對立性和否定性的原則。畢達哥拉斯學派認為“1”是數(shù)的第一原則，萬物之母，也是才智；“2”是對立和否定的原則，是意見；“3”是萬物的形體和形式；“4”是正義，是宇宙制造者的象征；“5”是奇數(shù)和偶數(shù)，雄性與雌性和結合，也是婚姻；“6”是神的生命，畢達哥拉斯學派和第一次數(shù)學危機2

是靈魂；“7”是機會；“8”是和諧，也是愛情和友情；“9”是理性和強大；“10”包涵了一切數(shù)目，是完滿和美妙。

畢達哥拉斯的數(shù)學貢獻許多。黃金分割點；并且對數(shù)論作了

很多討論，將自然數(shù)區(qū)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、完全數(shù)、平方數(shù)、三角數(shù)和五角數(shù)等；三角形的三角之和是180°；關且還有一套關于相像的理論；平面可為等邊三角形、正方形和正六邊形所填滿；正多面體只有五種——正四周體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體等等。

3、畢達哥拉斯定理

在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方。假如設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那么可以用數(shù)學語言表達：

勾股定理現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學定理中證明方法最多的定理之一。在中國古代大約是公元前2到1世紀成書的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中假托商高同周公的一段對話。商高說：“?故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。”商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡潔地把這個事實說成“勾三股四弦五”。這就是中國聞名的勾股定理。），不過最早的證明也許可歸功于畢達哥拉斯。

4、數(shù)學史上第一次數(shù)學危機

第一次數(shù)學危機，是數(shù)學史上的一次重要大事，發(fā)生于大約公元前400年左右的古希臘時期，自根號二的發(fā)覺起，到公元前370年左右，以無理數(shù)的定義消失為結束標志。這次危機的消失沖擊了始終以來在西方數(shù)學界占據(jù)主導地位的畢達哥拉斯學派，同時標志著西方世界關于無理數(shù)的討論的開頭。

整數(shù)是在對于對象的有限整合進行計算的過程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中，不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時間。為了滿意這些簡潔的度量需要，就要用到分數(shù)。于是，假如定義有理數(shù)為兩個整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括全部的整數(shù)和分數(shù)，所以對于進行實際量度是足夠的。古代數(shù)學家認為，這樣能把直線上全部的點用完。但是，畢達哥畢達哥拉斯學派和第一次數(shù)學危機3

第一次數(shù)學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，

幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學開頭在希臘數(shù)學中占有非凡地位。同時也反映出，直覺和閱歷不肯定靠得住，而推理證明才是牢靠的。從今希臘人開頭從“自明的”公理動身，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學體系。

5、是無理數(shù)的證明

反證法：假設是有理數(shù)。?p兩邊平方得p2?2q2，q

所以p2是偶數(shù)，因此p也須是偶數(shù)（因為奇數(shù)2k＋1的平方后是224k＋4k＋1＝2(2k＋2k)＋1照舊是奇數(shù)）。所以我們可以設p是

22222a的樣子