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文檔簡介
7.圓切線與圓最值歸類
i.圓最值1:圓上動點與圓心..............................................1
2.圓最值2:直線動點與圓................................................4
3.圓最值3:阿波羅尼斯圓................................................6
4.圓最值4將軍飲馬型..................................................8
5.圓最值5:定角范圍...................................................11
6.圓最值6:最短總巨離...................................................14
7.切線1:入射與反射光線.................................................16
8.切線2:切點弦方程...................................................18
9.切線3:切點弦過定點.................................................20
10.切線4:切線長最值范圍..............................................22
11.切線5:切線三角形與四邊形面積最值.................................24
12.切線6:切點弦最值..................................................26
13.切線7:向量范圍....................................................29
14.切線轉(zhuǎn)化綜合........................................................32
1.圓最值1:圓上動點與圓心
【典例分析】
已知圓G:(x—iy+(y+l)2=l,圓C2:(x-4y+(y-5『=9,點M、N分別是圓G、圓G上
的動點,點P為x軸上的動點,則|尸川-|尸陷的最大值是()
A.36+4B.9C.7D.375+2
【答案】B
【分析】分析可知(|PN|-|PM|)a=|pq-|PG|+4,設點G(4,5)關于X軸的對稱點為
C;(4,-5),可得出照|=卜司,求出,。;卜因|的最大值,即可得解.
【詳解】圓0:a-1)2+&+1)2=1的圓心為《1,—1),半徑為1,圓G:(x—4>+(尸5)2=9的
圓心為G(4,5),半徑為3.(|網(wǎng)-儼陷)皿*=|附|四一處叫,11ta,又1PMmax=|PG|+3,
:皿=陽卜1,
.?.(|9|一|加|)3=(儼6|+3)-(歸。-1)=歸0|-歸4+4.點G(4,5)關于x軸的對稱點為
<(4,-5),
,22
|PC2|-|PC,|=|pC2|-|PCl|<|c,C2j=7(4-l)+(-5+l)=5,所以,QPNHPMIL=5+4=9,
【變式訓練】
1.點M(x,y)在曲線。:/-4》+>2-21=0上運動,z=x2+/+12x-12y-150-a,且r的最大
值為b,若“,bwR;則---7+7的最小值為
a+]b
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【分析】由題意曲線C為圓,r=(x+6)2+(y-6)2-222-a,旦(x+6>+"-6)?表示曲線C上
的點M到點N(-6,6)的距離的平方,結合圓的特征可得點用(6,-3),由此可得
富M=(6+6)2+(—3-6)2-222—。=6,于是。+。=3,故(。+1)+6=4,以此為基礎并由基本
不等式可得所求的最小值.
【詳解】曲線C:x2-4x+V-21=0可化為(x-2『+y2=25,表示圓心為A(2,0),半徑為5的
2222
圓.z=x+y+12x-12^-150-a=(x+6)+(y-6)-222-?,
(x+6>+(y-6)2可以看作點”到點N(-6,6)的距離的平方,圓C上一點〃到N的距離的最
大值為|AN|+5,即點M是直線AN與圓C的離點N最遠的交點,所以直線⑷V的方程為
)'=[("-2),
,3
丁二一二(工一2)fx=6fx9=-2fx=6
由4,解得'a或,(舍去),,當。時,,取得最大值,且
2
(A-2)+>^25卜=一3U=31"-3
'max=(6+6)~+(—3—6)~—222—a=b,ci+b—31**?(a+1)+Z?=4,
當且僅當一也=見,且a+人=3,即。=1,。=2時等號成立.故選A.
a+1b
2.已知點A(-2,0),8(2,0),C(4,3),動點P滿足P4_LPB,則|「。|的取值范圍為()
A.[2,5]B.[2,8]C.[3,7]D.[4,6]
【答案】C
【分析】由題設分析知產(chǎn)的軌跡為/+丁=4(尸不與A,B重合),要求|PC|的取值范圍,只需
求出C(4,3)到圓f+y2=4匕點的距離范圍即可.
【詳解】由題設,戶在以|AB|為直徑的圓上,令P(x,y),則x?+y2=4(戶不與4B重合),
所以歸。的取值范圍,即為C(4,3)到圓/+丫2=4上點的距離范圍,
又圓心(0,0)到C的距離d=J(4-0『+(3-(J)?=5,圓的半徑為2,
所以|PC|的取值范圍為[d-r,d+r],即[3,7].
3.已知點A(0,2),8(1,1),且點尸在圓C:(x-2f+y2=4上,C為圓心,則下列說法錯誤的是
()
A.|「川+|「川的最小值為0B.當々4B最大時,△/1/有的面積為2
C.倒卜伊。的最大值為2&D.|酬-|尸邳的最大值為友
【答案】B
【分析】根據(jù)題意,可知當P為線段AB與圓C的交點時,可求出|R1|+|P8|取得最小值,可
判斷A選項;當4,與圓C相切時,NF4B最大,此時P與O重合,可求出AVB的面積,即
可判斷B選項:由于|PC|=r=2,當|R4|最大時,|玄|一「。也最大,可知當A,C,尸三點
共線,艮。在人,尸之間時,求出|R4|-|PC|的最大值,即可判斷C選項;當尸為射線BC與
圓C的交點時,求得|削-|P同取得最大值|4叫=0,即可判斷D選項.
【詳解】解:如圖,當尸為線段AB與圓C的交點時,即|R4|+|PB|=|AB|=&時,
此時|網(wǎng)+「網(wǎng)取得最小值為a,故A正確:
由題可知點B在圓C內(nèi),當AP與圓C相切時,ZPAB極大,此時尸與O重合,
此時打,=3、2x1=1,故B錯誤;
因為點尸在圓C:(x-2)2+V=4上,C為圓心,則歸q=r=2,
所以當|PA|最大時,|PA|-|PC|也最大,
當A,C,P三點共線,且C在A,尸之間時,其最大值為|AC|=2忘,故C正確;
當戶為射線BC與圓C的交點時,||削-|尸網(wǎng)取得最大值|AB|=VL故D正確.
2.圓最值2:直線動點與圓
【典例分析】
(2022?江蘇?高郵市第一中學高二期末)已知圓C:f+y2=2,點A(W,〃L3),則點A到圓C
上點的最小距離為()
A.1B.2C.—D.逑
22
【答案】C
【分析】寫出圓c的圓心和半徑,求出距離的最小值,
再結合圓外一點到圓上點的距離最小值的方法即可求解.
【詳解】由圓C:X2+/=2,得圓C(0,0),半徑r為血,
所以|AC|=yjm2+(w-3)'=42m。-6,"+9=不2卜”-尚)>
所以點A到圓C上點的最小距離為逑-0=也.故選:C.
22
【變式訓練】
1.(2022?廣東深圳?高二階段練習)已知點尸是圓例:f+y2-8x-6y+21=°上的動點,直線
/辦+3丫-6=0與、軸、》軸分別交于4,8兩點,當最小時,幟A卜()
A.娓B.2&C.V10D.713
【答案】A
【分析】求出圓心、半徑,根據(jù)直線與圓的位置可知,當NR4B最小時,R4與圓M相切,
最后用勾股定理求|刻即可
【詳解】圓時:一+/一8尸6舛21=0化成標準形式為(》一4)2+()'-3)2=4,故圓心為M(4,3),
半徑為2,直線與坐標軸交于點4(3,0),點8(0,2),如下圖所示:
則當N/V3最小時,R4與圓”相切,連接可知
PM1PA,\AM\=^(3-4)2+(0-3)2=VlO,|A7P|=2,
由勾股定理可得|AP|=J|AM『一|加〃『=卡,故選:A
2.若直線/:『)42—20與圓C:x2+y2_4x_2y_4=0交于A,8兩點,則當A8C周長最
小時,k=()
A.!B.--C.1D.-1
22
【答案】C
【分析】由直線方程可得直線/恒過定點。。,2),由圓的幾何性質(zhì)可得當時,,ABC周
長最小,由此可求%的值.
【詳解】直線/:心一共2—2=0的方程可化為y-2=A(x-l)。所以直線/恒過定點。(1,2),
gl^l2+22-4xl-2x4-4=-ll<0?所以點。在圓內(nèi),
由圓的性質(zhì)可得當CO_L/時,|A3|最小,ABC周長最小,
又C(2,l),。(1,2)所以%=T,此時%=1.故選:C.
3.(2022?安徽?高二開學考試)已知直線/:/nr+y-3?i-2=0與圓M:(x-5>+(y-4)2=25交
于A,B兩點,則當弦A8最短時,圓M與圓N:(x+2⑼?+y2=9的位置關系是()
A.內(nèi)切B.外離C.外切D.相交
【答案】B
【分析】由直線/:用+y-3m-2=0過定點P(3,2)且定點在圓“內(nèi),當弦AB最短時直線/垂
直尸M,根據(jù)斜率乘積為-1求出機,進而求出圓N的方程,再根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關系
確定答案.
【詳解】易知直線/:如c+y-3加-2=0即他(x—3)+y—2=0過定點P(3,2),因為
(3-5)2+(2-4)2<25,故尸(3,2)在圓M:(x-5)2+(y-4)2=25內(nèi).故弦AB最短時直線/垂直
PM,又y=3=1,所以1-(T〃)=-1,解得機=1,
5—3
此時圓N的方程是(x+2)2+),2=9.兩圓圓心之間的距離MN=J(5+2)2+(4-0)2=而,半
徑分別為5,3
乂而〉病=5+3,所以這兩圓外掰.故選:B.
3.圓最值3:阿波羅尼斯圓
【典例分析】
已知點A(T,0),B(-LO),C(43),動點P,Q滿足黑=粵=2,則|CP+C@的取值范圍
|尸\QLS\1
()
A.[LI6]B.[6,14]C.[4,16]D.[瓦,3番]
【答案】B
【分析】根據(jù)題意,求出點尸和。的軌跡,結合平面向量的加法以及模長的計算,即可求解.
【詳解】設P(x,y),則|PA|=J(x+4y+y2,網(wǎng)=&+爐+〉2,
PA*/(x+4)~+y~
?—=2,所以,I=2,即f+y2=4,因此點p在以原點o為圓心,2為半徑
PBJ(x+l),y2
的圓上,
同理可得點。也在以原點O為圓心,2為半徑的圓上.
乂因CP+CQ=2CO+OP+O。,所以當P和Q重合,且C、O、P三點共線時,|CP+C可取
得最值,
因此|CP+CQL=2(|oc|+2)=14,|CP+C<2|min=2(|OC|-2)=6.
【變式訓練】
1.(2022?全國?高二課時練習)已知邊長為2的等邊三角形ABC,。是平面ABC內(nèi)一點,且
滿足£>8:"=2:1,則三角形曲面積的最小值是()
A.g51)B.*百+1)C.竽D.乎
【答案】A
【分析】建立直角坐標系,設Q(x,y),寫出的坐標,利用£>B:£Q=2:1列式得關于x,y
的等式,可得點D的軌跡為以為圓心,以|■為半徑的圓,寫出直線AB的方程,"算|A3|
和點。距離直線AB的最小距離d-r,代入三角形面積公式計算.
【詳解】以8c的中點O為原點,建立如圖所示的直角坐標系,則A(0,6),B(T,O),C(1,O),
設因為£)B:Z)C=2:1,所以(x+l『+y?=4(X-1Y+4y?,得卜-胃+/=為,
所以點。的軌跡為以[I,。]為圓心,以々為半徑的圓,當點。距離直線A8距離最大時,
△ABO面積最大,已知直線AB的方程為:Bx-y+石=0,|4?|=2,點。距離直線A8的
5小?向
最小距離為:34464,所以△ABO面積的最小值為
d-r=-------=-----
2333
?=:>2x]竽用'GM.
2.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家,與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠,
他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一,指的是:已知動
點〃與兩個定點A,8的距離之比為2(A>0,且2#1),那么點”的軌跡就是阿波羅尼
斯圓.若平面內(nèi)兩定點A,6間的距離為2,動點P滿足腎=百,則|尸A「+|P3『的最大值為
()
A.16+8N/3B.8+4&C.7+46D.3+73
【答案】A
【分析】設A(-1,O),B(1,O),P(%y),由扃=6,可得點P的軌跡為以(2,0)為圓心,半
徑為百的圓,又附『+|冏2=2(/+9+1),其中f+y可看作圓(x_2『+y2=3上的點
(x,y)到原點(0,0)的距離的平方,從而根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解.
【詳解】解:由題意,設A(-l,0),8(l,0),P(x,y),
=6,即(x-2)~+y2=3,
所以點尸的軌跡為以(2,0)為圓心,半徑為6的圓,
^]^\PAf+\PBf=(x+l)2+/+(x-l)2+/=2(x2+y2+1),其中爐+產(chǎn)可看作圓
(x-2)2+丁=3上的點(x,y)到原點(0,0)的距離的平方,
所以仁+力皿=(2+6丫=7+4百,
22
所以[2(/+/+1)]皿*=16+86,gp|PA|+|PB|的最大值為16+86,
3.已知兩定點A(-l,0),8(l,0),如果平面內(nèi)動點C滿足條件|C4|=W|CB|,則的最大值
是_____
【答案】抬
【解析】設動點C坐標,再由幾何條件|C4|=6|C8|,可得。軌跡方程,進一步可得所求解.
22
【詳解】設C(x,y),由|CA|=G|CB|,可得5/(x+l)+(y-O)=6小一寸+(y時,
整理得:/+V-4x+1=0,即(x-2『+丁=3所以SMBC=gx|AB|x磯(磯表示,ABC中AB
邊上的高),
顯然(感》)2=日所以50亦最大值為由.故答案為:G.
4.圓最值:4:將軍飲馬型
【典例分析】
已知圓O:d+y2=4上的動點M和定點4-1,0),8(2,2),則21MAi+|朋8|的最小值為
A.2瓜B.2手C.4X/2D.2M
【答案】D
【分析】取點K(-4,0),連接。M,MK,由AMOK~AAOM,可得萼=等=2,推
MAOA
出MK=2M4,在&W8K中,MB+MKNBK,推出21M4|+可q=的最小值為怛K|
的長.
如圖,取點K(-4,0),連接
/MOK=ZAOM,:.AMOK?J\AOM,------=------=2,-MK=2MA,
MAOX
;.\M^+2\M^=\M^+\MK\,因為\MB\+\MK\耳BK|,當且僅當三點共線時等號成立,
:.\MB\+2\M^=\MB\+\MK\的最小值為忸毛的長,網(wǎng)2,2),儀工0),
/.\BK\=,J(-4-2)2+(O-2)2=2710.故選D.
【變式訓練】
1.已知圓C是以點”(2'2碼和點N(6「2百)為直徑的圓,點尸為圓。上的動點,若點
4(2,0),點5(1,1),則2附一網(wǎng)的最大值為()
A.后B.4+72C.8+5應D.應
【答案】A
【分析】由題設可知圓C:(x-4)2+/=16,在坐標系中找到。(-4,0),應用三角線相似將21PH
轉(zhuǎn)化到IP。I,再利用三角形的三邊關系確定目標式的最大值即可.
22
【詳解】由題設,知:C(4,0)H|MN|=7(-2^3-2^3)+(6-2)=8,即圓C的半徑為4,
圓C:(x-4)2+y2=[6,
—=—=即AAPC2PCD,故您;.2|胸-|PB|=|P£)|-|P8|,在△P8Z)中
CPDC2PD21111
.?.要使IPDHPBI最大,28,。共線且最大值為|8D|的長度.
,||=J(1++1=而.故選:A
2.(2022.湖南省臨澧縣第一中學高二開學考試)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家,他對圓錐
曲線有深刻系統(tǒng)的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書,阿波羅尼斯
圓是他的研究成果之一,指的是:己知動點M與兩定點A,8的距離之比為2">0,
那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.下面我們來研究與此相關的一個問題,已知圓O:/十
產(chǎn)=1上的動點M和定點4(-g,0),8(1,1),則21MAi+|MB|的最小值為()
A."B.近
C.而D.而
【答案】C
【分析】討論點M在x軸上與不在x軸上兩種情況,若點M不在x軸上,構造點K(—2,0),
可以根據(jù)三角形的相似性得到^^=2,進而得到2|歷4|+|MB|=|M8|+|MK,最后
|MAI\OA\
根據(jù)三點共線求出答案.
【詳解】①當點M在x軸上時,點M的坐標為(一1,0)或(1,0).
若點M的坐標為(一1,0),則21MAi+=2x)+J(1+1y+.=1+石;
若點M的坐標為(1,0),則21MAi+|M8|=2x.+=4.
②當點M不在x軸上時,取點K(-2,0),如圖,
連接。M,MK,因為|OM=1,QA|=J,|OK|=2,所以需7=兩第=2.因為/MOK=
乙\||UM|
ZAOM,
所以AMOKs△AO/W,則二^=塔^=2,所以|M/q=2|MA|,則2\MA\+\MB\=\MB\+\MK\.
IMA\\OA|
易知IMBI+IM用之|5K,所以+的最小值為18Kl.因為B(l,1),K(一2,0),所以⑵MA|
+|A/B|)min
==y/(-2-l)2+(O-l)2=Vio.又加<1+石<4,所以21MAi+|M8|的最小值為布.
3.已知動點尸(利〃)在圓O:x"2=i上,若點f),點3(1,1),則2附+照的最小值
為.
【答案】M
【解析】2|網(wǎng)+|尸@中兩系數(shù)不相同,需要轉(zhuǎn)化為,可作出圖形,取點Q(-2,0),利用相似
三角形性質(zhì)得2|網(wǎng)=|尸。,這樣有2|網(wǎng)+仍叫=P。+歸5區(qū)忸(2|,結合圖形得出結論.
【詳解】當戶在x軸上時,有片(TO),g(l,O),2山山+山卸=24+&2+12=1+石,
2|^A|+|/>B|=2x|+l=4,當尸不在x軸上時,在x軸上取點Q(-2,0),連接PQ,OP,AP,
OA1OP|PA||。4|1
則萬萬=5=石。'又NAOP=/POQ,所A以△OQP、所以場=橫=5'即
|P9=2|網(wǎng),
所以2|PA|+\PB\=\PQ\+\PB\<\BQ\=A/32+12=M,三點Q,P,B共線時等號成立.
綜上2|刻+|尸8|的最小值為故答案為:Vio.
5.圓最值5:定角范圍
【典例分析】
已知圓0:*2+丫2=2,48為圓。上兩個動點,且IA8|=2,M為弦AB的中點,C(石,4-1),
力(百,〃+3),當A,B在圓O上運動時,始終有NCMO為銳角,則實數(shù)。的取值范圍是()
A.(-oo,-3)l(1,+co)B.(-00,-2)!1(0,+oo)
C.(-3,1)D.(-2,0)
【答案】A
【分析】先確定點"是在以。為圓心,1為半徑的圓匕根據(jù)當48在圓O上運動時,始
終有NCM£>為銳角,可知點”應在以C£>的中點N為圓心,2為半徑的圓外,由此可列出關
于參數(shù)。的不等式,即可求得答案.【詳解】連接OM,則
=T=1,所以點M在以O為圓心,1為半徑的圓上,設CD的中點為N,則
N(區(qū)a+1),fi|CD|=4,因為當A,B在圓O上運動時,始終有NCAm為銳角,
所以以O為圓心,1為半徑的圓與以N為圓心,2為半徑的圓相離,
故4+(.+1)2>]+2,解得。<_3或a>1,即ae(-8,-3)(1,-KO),故選:A.
【變式訓練】
1.設點若在圓°:/+貨=1上存在點%,使得/0削=45。,則方的取值范圍是()
A.B.[),+<?)C.[-忘,&]D.[-1,1]
【答案】D
【分析】以。加為一邊作正方形OMPQ,然后把問題轉(zhuǎn)化為正方形的中心在圓上或圓內(nèi),從
而求出%的取值范圍.
【詳解】以QM為一邊作正方形?!笆?。,若對角線與圓有交點,則滿足條件的N存在,
此時正方形的中心在圓上或圓內(nèi),即所以所以*+41,所以
2.(2023?全國?高二專題練習)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=l和兩點A(-m,0),B(〃?,0),
(/?>0).若圓C上存在點尸,使得NAP8=90。,則〃,的最小值為()
A.7B.6C.5D.4
【答案】D
【分析】由NAP3=90。,知動點尸的軌跡是以AB為直件的圓O,乂點尸在圓C上,故點尸是
圓。與圓C的交點,因此可得兩圓的位置關系是相切或相交.山兩圓的位置關系可以得到代數(shù)
關系,從而求出〃?的取值范圍,進而找到,”的最小值.【詳解】
.NAPg=90。,,力P的軌跡是以AB為直徑的圓O,又點P在圓Cl:,故點P是圓O引回c
的交點,因此可得兩圓的位置關系是相切或相交,即帆-1區(qū)序不4機+1,解得:
4<zn<6.,機的最小值為4.故選:D.
3.在平面直角坐標系xQy中,A為直線/:y=2x上在第一象限內(nèi)的點,B(5,0),以AB為直
徑的圓C與直線/交于另一點。.若NO84245。,則點A的橫坐標的取值范圍為
【答案】[3,物).
【解析】由直徑所對的圓周角為^?可求得直線8。的方程,進而解得。點的坐標,設舟A點
的坐標,再利用向量的數(shù)量積即可求出點A的橫坐標的取值范圍.
【詳解】解:如圖所示:
兀
4ADB=-
.點。在以A3為直徑的圓上,2,即5£>J_AO,
-kAD-kRD=-\f又.A,。均在直線y=2x,.?.心〃=2,.?.原"二一;,又8(5,0),
15
——X+—
22
y=2x
x=\
聯(lián)立:15,解得:,/.D(l,2);設A(a,2tz)(Q>0),則BD=(-4,2),
V=——x+—y=2
22
BA=(a-5,2a),
人BDBA10Jo
..cos/06A=|「=又NOMN45,-1<cosZDBA<—,
忖砌J25礦-50a+1252
即-14//°$,解得:a>3^a<-\(舍去),
J25a2—50“+1252
故A點的橫坐標取值范圍為:[3,+8).故答案為:[3,+8).
6.圓最值6:最短距離
【典例分析】
1Q
已知點也…八R,點E是圓一+丁丁上的動點,點歹是圓(一)2+(尹1)七上的動
點,則歸口-歸目的最大值為
5
A.2B.—C.3D.4
2
【答案】D
【分析】由于兩圓不在直線的同側,先做出圓。關于直線對稱的圓。|,把|PF|-|P£|轉(zhuǎn)化為
|PF|-|pr|,若盧尸卜仍研最大,必須|PF|最大,|尸團最小.【詳解】如圖:
依題意得點:P(f,f-l)JeR在直線y=x-l|二,點E)<f點線y=x-l對稱的點E,
點£在圓V+產(chǎn)=!關于直線卜=》_1對稱的圓o:(x+l)2+(y_l)2=!上,
則|「£|=|尸同,設圓(x-3)2+(>,+1)2='的圓心為。2,因為閆「。卜舊《|,
\PF\<\PO2\+\FO2\,
所以1%-歸耳=|叩_歸?<(|PO/+但到)_(歸。卜但21)=忸。2|-歸0+2引0?|+2=4,
當P,£,尸,五點共線,£在線段。h,。2在線段尸產(chǎn)上時"=”成立.因此,|「耳-|「耳的
最大值為4.
【變式訓練】
1.一束光線,從點4-2,2)出發(fā),經(jīng)x軸反射到圓C:(x-3)2+(y-3)?=l上的最短路徑的長
度是()
A.5a-1B.5a+1C.372+1D.3忘-1
【答案】A
【分析】求出點A關于x軸對稱點A,再求點A與圓C上的點距離最小值即可.
【詳解】依題意,圓C的圓心c(3,3),半徑r=l,
于是得點A與圓C上的點距離最小值為A'B=A'C-r=7(-2-3)2+(-2-3)2-1=5應-1,
在x軸上任取點尸,連AP,A'P,PC,尸C交圓C于點8',而AO=AO,AP=AP,
AO+OB=A'O+OB=A'B=A!C-r<A'P+PC-r=AP+PB',當且僅當點P與。重合時取“=",
所以最短路徑的長度是50-1.故選:A
2.已知點P在直線y=x-2上運動,點E是圓f+y2=]上的動點,點?是圓
(x-6>+(y+2)2=9上的動點,則IP尸HP?的最大值為()
A.6B.7C.8D.9
【答案】C
【分析】作出爐+9=1關于直線y=x-2的對稱圓,把歸國轉(zhuǎn)化到與|"|直線y=x-2同側
的盧同,數(shù)形結合找到|P用-|PE|取最大值的位置,求出|P*-|PE|的最大值.
【詳解】如圖所示,圓(x-6)?+(y+2)2=9的圓心為“(6,-2),
半徑為3,圓f+y=l關于直線丫=》-2的對稱圓為圓叢其中設圓心3坐標為(利〃),則
-=-1
m
n_mhn=2
-22,解得:1〃=-2,故圓B的圓心為(2,-2),半徑為],由于此時圓心4與圓心8
的距離為4,等于兩圓的半徑之和,所以兩圓外切,此時"點的對稱點為鳥,且歸月|=|「同,
所以附一附=附一啕,在P點運動過程中,當尸,B,A,片,尸五點共線時,且片在
圓8左側,點尸在圓A右側時,仍尸卜忸叫最大,最大值為4尸=4B+BA+AF=l+4+3=8
7.切線1:入射與反射光線
【典例分析】
自點A(-2,l)發(fā)出的光線/經(jīng)過x軸反射,其反射光線所在直線正好與圓
用:犬+9_41-6),+9=0相切,則反射光線所在直線的所有斜率之和為()
48
A.-B.2C.-D.4
33
【答案】C
【分析】求出圓心與半徑,點A關于x軸的對稱點的坐標,設出直線方程,利用圓心到直線
的距離等于半徑,即可求得結論.
2
[詳解】圓M:_?+V_?-6y+9=0可化為(x-+(y-3)=4,圓心為M(2,3),半徑為r=2.
點A(-2,l)關于x軸對稱的點為^(-2,-1),所以設反射光線所在直線的方程為y+1=A(x+2),
即"-y+2"l=0.由反射光線正好與圓M相切,得.7:211=2,
\lk2+1
即女2-8%+3=0,解得k1上立居=生旦,于是勺+&,='也+生電=號.故選:C.
,33333
【變式訓練】
1.已知圓C:(x+2),(y-3)2=2,從點P(l,3)發(fā)出的光線,經(jīng)直線y=x+l反射后,光線恰
好平分圓C的周長,則入射光線所在直線的斜率為()
A.—2B.—C.-4D.—
24
【答案】C
【解析】根據(jù)光路可逆,易知圓心C(-2,3)關于直線y=x+l的對稱點在入射光線上,由
此可求得結果.
【詳解】圓C:(x+2Y+(y-3)2=2,圓心為C(-2,3),由已知,反射光線經(jīng)過C(-2,3),
二一1
故C點關于直線y=x+l的對稱點M在入射光線上.設M(a,b),貝『露”2「解得
------=-------+1
22
\a=2
1=T,即M(2,—1),
且光.源P(l,3),所以入射光線的斜率氏=T9=-4,故選:C.
2.一條光線從點尸(-2,4)射出,經(jīng)直線x-y+2=0反射后與圓工2+丫2+4》+3=0相切,則反
射光線所在直線的方程的斜率為()
A.土叵B.叵或姮C.土叵D.-晅或一叵
315315153
【答案】C
【分析】先求得尸關于直線x-y+2=0的對稱點Q,由此設出反射光線所在直線的方程,利
用圓心到反射光線所在直線的距離等于半徑列方程,由此求得反射光線所在直線的斜率.
【詳解】設。(2,0),kPQ=^-=-\,直線x-y+2=O的斜率為1,所以出線P。和直線
-2-2
x-y+2=0垂直;PQ的中點坐標為即(0,2),(0,2)在直線X-y+2=0上,所
以點P(-2,4)關于直線x-y+2=0的對稱點為Q(2,0),由題可知反射光線所在直線的斜率存
在,點Q在反射光線所在直線上.
設反射光線所在直線方程為>=依工-2),即依-y-2%=0.
???圓的方程可化為。+2-+丁=1,圓心為(-2,0),半徑為1,
;.一目1=1,解得A=土石,即憶=士詈.故選:C
3.(2023?全國?高二專題練習)過點A(-2,l)的直線經(jīng)x軸反射后與圓C:(x-2y+(y-3)2=4相
切,則切線的斜率為()
A.UB."C,1D.好
3333
【答案】D
【分析】由題意可知切線/的斜率存在,可設切線/的斜率為人,由點斜式得切線/
kx-y+2k-\=0,再根據(jù)直線與圓相切,圓心C到/的距離為d=r代入計算.
【詳解】圓C:(x-2>+(y-3)2=4的圓心C(2,3),半徑r=2
點A(-2,1)關于x軸對稱的點為3(-2,-1),則過點8與圓C相切的直線即為所求.
由題意可知切線/的斜率存在,可設切線/的斜率為k貝ij/的方程為y+l=k(x+2)即
kx-y+2k-\=Q
解得7
圓心。到/的距離為d
8.切線2:切點弦方程
【典例分析】
過點(3,1)作圓(x-l『+y2=i的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB的方程為()
A.2x+y—3=0B.2x—y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0
【答案】A
【解析】求出以(3』)、C(L0)為直徑的圓的方程,將兩圓的方程相減可得公共弦A3的方程.
【詳解】圓(x-l)2+y2=l的圓心為C(l,()),半徑為1,以(3,1)、C(l,0)為直徑的圓的方程為
,1,5
(x-2)2+(y--)2=-,
因為過點(3,1)圓(x-1丫+丁=1的兩條切線切點分別為A,B,所以,A8是兩圓的公共弦,
將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程2x+y-3=0,故選:A.
【變式訓練】
1.過點M(2,3)作圓Y+y=4的兩條切線,設切點分別為A、B,則直線AB的方程為()
A.x+2y-2=0B.2x+3y-4=0C.2x-3y-4=0D.3x+2y-6=0
【答案】B
【分析】根據(jù)題意,可知圓一+)2=4的圓心為。(0,0),半徑“2,由切線長公式求出AM的
長,進而可得以M為圓心,M4為半徑為圓,則AB為兩圓的公共弦所在的直線,聯(lián)立兩個
圓的方程,兩方程作差后計算可得答案.
【詳解】解:根據(jù)題意,可知圓V+y2=4的圓心為0(0,0),半徑r=2,過點/(2,3)作圓
x2+r=4的兩條切線,設切點分別為A、B,而=V22+32=拒,貝\MA\=-4=3,
則以“為圓心,M4為半徑為圓為(》-2)~+(y-3)-=9,即圓x?+y?-4x-6y+4=0,
X2+y2=4
所以AB為兩圓的公共弦所在的直線,則有<
%2+y2-4x-6y+4=0
作差變形可得:4x+6y-8=0;即直線AB的方程為2x+3y-4=0.故選:B.
2.過直線x=2上任一點P作圓O:/+丁=2的兩條切線,切點分別為A,B,若直線A8與
圓M:(x-f)2+(y-2)2=8恒有公共點,則r的取值范圍是()
A.(-1,3)B.[-1,3]C.[0,3]D.(0,3)
【答案】B
【分析】先求出切線方程,然后求出直線48方程,根據(jù)直線和圓有公共點解出f的取值范圍.
【詳解】解:設A(XQJ,5伍,以),「(2M),過直線x=2上任意一點尸作圓O:/+爐=2
的兩條切線分別為4,%,則勺=-2,K=-—,結合x:+城=2,xJ+yJ=2,可得切線
M%
[2x.+my,=2
/|:x]x+y,y=2,切線右:&x+y2y=2,又.《鼠=尸,二<1_,'.從而直線AB的方
\2X2+fny2=2
程為2x+my=2,且過定點(1,0),
因為直線A8與圓M:(X7)2+(>-2)2=8恒有公共點,故有定點(1,0)在圓M上或是圓內(nèi),
故可得(lT)2+(0-2)*8,解得—則f的取值范圍是[-L3].
3.過直線x+y=4上一動點向圓0:/+丁=4引兩條切線,A、B為切點,則圓
C:(x+3)2+(y-3)2=l的動點尸到直線相距離的最大值為()
A.2逐+1B.6
C.8D.2娓+T
【答案】A
【分析】根據(jù)題意設點尸(%與在直線x+y=4上,可得點A、B在以OP為直徑的圓上,求
出該圓的方程,聯(lián)立圓。的方程得出直線的方程,進而可得直線4B恒過定點
將問題轉(zhuǎn)化為求點C、N之間的距離,結合圓C的方程和兩點坐標求距離公式計算即可得出
結果.
【詳解】由題意知,設點尸3,3在直線*+),=4上,則a+A=4,
過點P作圓的兩條切線,切點分別為A、8,則P4LQ4,PBLOB,
所以點A、B在以。尸為直徑的圓上,且該圓的方程為:。-92+(y-夕=;(/+〃),
又圓。的方程為f+y2=4,這兩個圓的方程相減,得公共弦的方程為公+刀=4,
即以+公」4=0,因為“+b=4,所以b=4-a,所以a(x-y)+4y-4=0,
當x=y艮4y-4=0即x=y=l時該方程恒成立,所以直線AB恒過定點N(L1),
所以點M到直線A8距離的最大值即為點C、N之間的距離加上圓C的半徑,
又C(-3,3),2=1,所以|C7V卜2石,即點M到直線AB距離的最大值為26+1.故選:A
9.切線3:切點弦過定點
【典例分析】
已知
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