二重積分的概念與性質(zhì)

第九章重積分

第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)

教學(xué)目的：深刻理解二重積分的概念、性質(zhì)、方法和基本技巧.

教學(xué)重點(diǎn)：利用二重積分的性質(zhì)計(jì)算.

教學(xué)難點(diǎn)：二重積分的幾何意義.

教學(xué)內(nèi)容：

一、二重積分的概念

1.曲頂柱體的體積

設(shè)有一空間立體Q,它的底是xoy面上的有界區(qū)域。，它的側(cè)面是以。的邊界曲線為

準(zhǔn)線,而母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面2=f(x.y).

當(dāng)(x,y)c。時(shí)，/(xj)在。上連續(xù)且/(xj)20,以后稱這種立體為曲頂柱體.

曲頂柱體的體積P可以這樣來(lái)計(jì)算：

(1)用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域。分成〃個(gè)小區(qū)域45，A(T2,…，Acr?,以這些小區(qū)

域的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于z軸的柱面,這些柱面將原來(lái)的曲頂柱體Q分劃成〃個(gè)

小曲頂柱體△%,AQ,,AQ?.

(假設(shè)所對(duì)應(yīng)的小曲頂柱體為AQ,,這里八0既代表第i個(gè)小區(qū)域,又表示它的面積值,

AQ,既代表第i個(gè)小曲頂柱體,又代表它的體積值.)

圖9-1-1

從而P=￡AC,(將Q化整為零).

Z=1

(2)由于/(xj)連續(xù),對(duì)于同一個(gè)小區(qū)域來(lái)說(shuō),函數(shù)值的變化不大.因此可以將小曲頂

柱體近似地看作小平頂柱體,于是

△Q,=/(。，7Ms,(V(^.,z;,)GACT,).

(以不變之高代替變高,求AQ,的近似值)

(3)整個(gè)曲頂柱體的體積近似值為

%=￡M^,)Acr,.

/=1

(4)為得到夕的精確值,只需讓這〃個(gè)小區(qū)域越來(lái)越小，即讓每個(gè)小區(qū)域向某點(diǎn)收縮.為

此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念：

一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點(diǎn)距離的最大者.

所謂讓區(qū)域向一點(diǎn)收縮性地變小，意指讓區(qū)域的直徑趨向于零.

設(shè)〃個(gè)小區(qū)域直徑中的最大者為4,則

P=處這,v?,如€.

?=1

2.平面薄片的質(zhì)量

設(shè)有一平面薄片占有X。y面上的區(qū)域。，它在(xj)處的面密度為p(xj),這里

p(x/)20,而且p(xj)在。上連續(xù),現(xiàn)計(jì)算該平面薄片的質(zhì)量M.

圖9-1-2

將。分成〃個(gè)小區(qū)域△0,402廣,。5,，用4記45的直徑，八5既代表第，個(gè)小區(qū)

域又代表它的面積.

當(dāng)4=max{4}很小時(shí)，由于p(xj)連續(xù)，每小片區(qū)域的質(zhì)量可近似地看作是均勻的,

那么第i小塊區(qū)域的近似質(zhì)量可取為

PC,，7)A5VACT,

于是MBa風(fēng)卻,％)巴，

/=1

i=l

兩種實(shí)際意義完全不同的問(wèn)題,最終都?xì)w結(jié)同一形式的極限問(wèn)題.因此,有必要撇開這

類極限問(wèn)題的實(shí)際背景，給出一個(gè)更廣泛、更抽象的數(shù)學(xué)概念,即二重積分.

3.二重積分的定義

設(shè)/(x,_y)是閉區(qū)域。上的有界函數(shù)，將區(qū)域。分成個(gè)小區(qū)域

其中，ACT,既表示第，個(gè)小區(qū)域，也表示它的面積，4表示它的直徑.

2=max{4jVACT,.

\<i<n'

作乘積(i=l,2…⑼,

作和式

i=i

若極限limZ/(0，〃,)A5存在，則稱此極限值為函數(shù)/(xj)在區(qū)域。上的二重積分,記

/=1

作JJ7(x/)db.即

D

dcr=燃￡/?，7)49

D/=1

其中：/(XJ)稱之為被積函數(shù)，/(xj)d<T稱之為被積表達(dá)式，dcr稱之為面積元素，

x,歹稱之為積分變量，。稱之為積分區(qū)域，石/(。，7)40稱之為積分和式.

/=]

4.幾個(gè)事實(shí)

(1)二重積分的存在定理

若/(x,y)在閉區(qū)域。上連續(xù),則/(x,y)在。上的二重積分存在.

注在以后的討論中，我們總假定在閉區(qū)域上的二重積分存在.

(2)(xj)do中的面積元素do象征著積分和式中的Ab,.

dx

圖9-1-3

由于二重積分的定義中對(duì)區(qū)域。的劃分是任意的，若用一組平行于坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃

分區(qū)域。，那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外,絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形,因此,可

以將"CT記作為力(并稱必:力為直角坐標(biāo)系下的面積元素)，二重積分也可表示成為

\\fkx,y)da.

(3)若/(xj)20,二重積分表示以/(xj)為曲頂,以。為底的曲頂柱體的體積.

二、二重積分的性質(zhì)

二重積分與定積分有相類似的性質(zhì)

性質(zhì)1(線性性)

0[。/(羽田+/?g(xM]do=adcr+￡JJg(x,y)do

其中：a,尸是常數(shù).

性質(zhì)2(對(duì)區(qū)域的可加性)

若區(qū)域。分為兩個(gè)部分區(qū)域4,0?,則

JJ7(x/)db=JJ7(xj)db+/j./'(x,y)d。

性質(zhì)3若在。上，/(xj)三1,er為區(qū)域。的面積，則

DD

幾何意義:高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積.

性質(zhì)4若在。上，/(x/)W0(x,y),則有不等式

JJ7(x/)do<08(x/)da

DD

特別地,由于一有

JJ7(x,y)dcrwJJ|/(")|dcr

DD

性質(zhì)5(估值不等式)

設(shè)”與加分別是/(XJ)在閉區(qū)域。上最大值和最小值，(7是〃的面積,則

m(7<IJ/'(x,y)<7cr<M(J

D

性質(zhì)6(二重積分的中值定理)

設(shè)函數(shù)/(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，<7是。的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)?〃)，使

得

D

例1估計(jì)二重積分“(/+”2+9)47的值，。是圓域*2+/<4.

D

解求被積函數(shù)/(國(guó)7)=/+紂2+9在區(qū)域。上可能的最值

a-/

=2%=0,

ax

3-/

ay

(0,0)是駐點(diǎn),且/(0,0)=9；

在邊界上，/(x,y)=犬+4(4-Y)+9=25-3x2(-2<x<2),

13</(x,y)<25

/nax=25,7mM=9,

于是有

36〃=9?44</<25?4%=100萬(wàn)

小結(jié)：二重積分的定義（和式的極限）；二重積分的兒何意義（曲頂柱體的體積）；二重積

分的性質(zhì).

第二節(jié)二重積分的計(jì)算法

教學(xué)目的：深刻理解二重積分的計(jì)算方法和基本技巧.

教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握二重積分計(jì)算.

教學(xué)難點(diǎn)：二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算.

教學(xué)內(nèi)容：

利用二重積分的定義來(lái)計(jì)算二重積分顯然是不實(shí)際的，二重積分的計(jì)算是通過(guò)兩個(gè)定

積分的計(jì)算(即二次積分)來(lái)實(shí)現(xiàn)的.

一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

我們用幾何觀點(diǎn)來(lái)討論二重積分do的計(jì)算問(wèn)題.

D

討論中，我們假定/(x,y)>0；假定積分區(qū)域?？捎貌坏仁?/p>

a<x<bW“2(x)表示，其中必(x),@(力在［。,可上連續(xù).

圖9-2-1圖9-2-2

據(jù)二重積分的幾何意義可知，07(xj)dcr的值等于以。為底，以曲面z=/(x,y)

D

圖9-2-3

在區(qū)間可上任意取定一個(gè)點(diǎn)不，作平行于WZ面的平面x=x0,這平面截曲頂柱體

所得截面是一個(gè)以區(qū)間［?(%)，%(%)］為底，曲線z=/(x0,N)為曲邊的曲邊梯形，其面

積為

A

M=r^f{x0,y)dy.

一般地,過(guò)區(qū)間可上任一點(diǎn)X且平行于yoz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為

利用計(jì)算平行截面面積為已知的立體之體積的方法,該曲頂柱體的體積為

v=[“(》)為="「：/('))4]決

從而有

JJ7(xj)db=fC")力心⑴

上述積分叫做先對(duì)y,后對(duì)x的二次積分，即先把%看作常數(shù)，/(X,力只看作y的函

數(shù),對(duì)f(x,y)計(jì)算從q(x)到6(x)的定積分,然后把所得的結(jié)果(它是X的函數(shù))再對(duì)x從

。到人計(jì)算定積分.

這個(gè)先對(duì)y,后對(duì)x的二次積分也常記作

\[f{x,y)d(y^[dx^f[x,y)dy.

在上述討論中，假定了/(x,y)>0,利用二重積分的幾何意義，導(dǎo)出了二重積分的計(jì)算

公式(1).但實(shí)際上，公式⑴并不受此條件限制，對(duì)一般的/(xj)(在。上連續(xù))，公式⑴總

是成立的.

例1計(jì)算[卜陽(yáng)。,其中。是由直線y=l,x=2及^=x所圍成的閉區(qū)域..

D

解：畫出區(qū)域D

解法1可把?？闯墒遣灰恍蛥^(qū)域：1#x2,l#yx,于是

\\xyd(y^"fxydy\dx='[x-^\\dx=^『(x3-x)dx=1[y-y]?=|.

D

注積分還可以寫成/卜#/(7=fc/rf邛6=fwJv力.

D

解法2也可把?？闯墒莥一型區(qū)域：l#y2,2,于是

口中4°=^[^xydxYly=/口.苧渺=『0號(hào)）力=[/一會(huì).

D

（1）積分區(qū)域的形狀

前面所畫的兩類積分區(qū)域的形狀具有一個(gè)共同點(diǎn)：

對(duì)于I型（或II型）區(qū)域,用平行于丁軸（X軸）的直線穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部,直線與區(qū)域的邊界

相交不多于兩點(diǎn).

如果積分區(qū)域不滿足這?一條件時(shí)，可對(duì)區(qū)域進(jìn)行剖分，化歸為I型（或II型）區(qū)域的并

集.

（2）積分限的確定

二重積分化二次積分,確定兩個(gè)定積分的限是關(guān)鍵.這里,我們介紹配置二次積分限的

方法一幾何法.

畫出積分區(qū)域。的圖形（假設(shè)的圖形如F）

在可上任取一點(diǎn)x,過(guò)x作平行于歹軸的直線，該直線穿過(guò)區(qū)域。，與區(qū)域。的邊

界有兩個(gè)交點(diǎn)（x，8i（x））與（x,%（x））,這里的/（X）、（%（x）就是將x,看作常數(shù)而對(duì)y積分

時(shí)的下限和上限；又因x是在區(qū)間上任意取的，所以再將x看作變量而對(duì)x積分時(shí)，積

分的下限為上限為6.

例2.計(jì)算口以/1+》2—儼"。,其中D是由直線歹=l,x=-1及夕=x所圍成的閉

D

區(qū)域.

解畫出區(qū)域。，可把?？闯墒茿型區(qū)域：-1,x#y1,于是

22223

伽11+/一j2dg^dxtyy/Ux-ydy=~￡[(1+x-yy^xdx=~￡(|x|-l)6&

D.

冶伍T)V

也可?？闯墒莥—型區(qū)域：?1h-i#xy,于是

^yyj\+x2-y2d(y=^ydy￡y]l+x2-y2dx.

D

例3計(jì)算淇中。是由直線y=x-2及拋物線y=x所圍成的閉區(qū)域.

D

解積分區(qū)域可以表示為。=。+。2,

其中A：0<x<l,-4x<y<4x;Z)2:l<x<4,2<y<4x.于是

^xyd(y=(公孫4+「^ydy.

D

積分區(qū)域也可以表示為。：-12,/#xy+2,于是

務(wù)州r=^dy^xydx=j號(hào)畔?力=/￡[^(y+2)2-/]t/r

耳目+2產(chǎn)右i=5看.

討論積分次序的選擇.

例4求兩個(gè)底圓半徑都等于p的直交圓柱面所圍成的立體的體積.

解設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為

X2+y2=p2及+z2=p2

利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性,只要算出它在第一卦限部分的體積匕，然后再乘以8就行

了.

第一卦限部分是以。=卜))0VA2-X2,0#XR)為底,以

z=ylR2f2頂?shù)那斨w.于是

V=8JW?2_x2dcr=8.dx^R2~'y/R2-x2dy=8/[-JR2-x2y]^R'~x2dx

D

=S^(R2-x2)dx=yR3.

二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

1.變換公式

按照二重積分的定義有

JJ7(x/)de=lim^f&R2d

Di=l

圖9-2-9

現(xiàn)研究這一和式極限在極坐標(biāo)中的形式.

用以極點(diǎn)O為中心的一族同心圓r=常數(shù)以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線0=常數(shù)，將D

剖分成個(gè)小閉區(qū)域.

除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積可如下計(jì)算

ACT,=；(0+紂)244=；(2,+維

1,1,1

AcTy=—();+=—(2,+Az;

J+(;+%一=ri△/△反

其中，弓表示相鄰兩圓弧半徑的平均值.

在小區(qū)域ACT,.上取點(diǎn)(可，設(shè)該點(diǎn)直角坐標(biāo)為據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系

有

。=八cosa,q=/sin0-

于是

UmfM，功MS=lim之f(rtcos瓦"sina)式△必g

A―>0.,A—>0.,

/=!2=1

即

JJ/'(x,y)do=j|/'(rcos0,rsinO}rdrdO

DD

由于“/(xMdb也常記作必迫，因此,上述變換公式也可以寫成更富有啟發(fā)性

DD

的形式

dxdy=cos6/sin6)4/46⑴

DD

(i)式稱之為二重積分由直角坐標(biāo)變量變換成極坐標(biāo)變量的變換公式,其中，，/力e就是極

坐標(biāo)中的面積元素.

(1)式的記憶方法:

x—>rcosO

\\f{x,y}dxdy^><y—>rsin^=>|j/'(rcos0,rsin0)rdrdO

Ddxdy—?rdrdO

2.極坐標(biāo)下的二重積分計(jì)算法

極坐標(biāo)系中的二重積分，同樣可以化歸為二次積分來(lái)計(jì)算.

⑴積分區(qū)域。可表示成下述形式/(6)4尸4牡(6)其中函數(shù)

%⑻，仍⑻在［氏身上連續(xù).則

圖9-2-10

jj/(rcosO.rsin3)rdrd3=/dOin0)rdr

D

顯然,這只是(l)的特殊形式6(e)三o(即極點(diǎn)在積分區(qū)域的邊界上).故

⑻

||/(rcos0,rsin0)rdrd6-/(rcos0,rsin3)rdr

D

(3)積分區(qū)域。為下述形式

圖9-2-12

顯然，這類區(qū)域又是情形二的一種變形(極點(diǎn)包圍在積分區(qū)域。的內(nèi)部)，。可剖分成。

與。2,而

D,:O<0<^,O<r<0(。)D:^<0<27T,O<r<叭0)

2

故。:0<0<27T,0<r<(p^)，則

cos6,rsinO^rdrdO=Jcos仇rsinOydr

D

由上面的討論不難發(fā)現(xiàn),將二重積分化為極坐標(biāo)形式進(jìn)行計(jì)算,其關(guān)鍵之處在于:將積

分區(qū)域。用極坐標(biāo)變量r,e表示成如下形式

a&9&。￡r￡6(6)

3.使用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分的原則

(1)積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示(含圓弧,直線段)；

(2)被積函數(shù)表示式用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單(含(x2+/r，a為實(shí)數(shù)).

例5計(jì)算J，*-//力，其中。是由中心在原點(diǎn)、半徑為。的圓周所圍成的閉區(qū)域.

D

解在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域?？杀硎緸?6Z,O#02乃，

于是\\e-x2-y2dxdy^\\e-P2pdpd6=0［［之3即］〃"。［一上才朋。

DD

右?-列：捫=乃(1-e-i).

注此處積分**產(chǎn)烝辦也常寫成^e-xl-y2dxdy.

Dx2+y2<a2

例如利用升*一產(chǎn)去力=加_6-6計(jì)算廣義積分「e*必:：

x2+y2<a2

222222

設(shè)A={(x,y)\x+y<R,x>0,y>0},D2^{(x,y)\x+y<2R,x>0,y>0}

S={(x,y)|OWxW火,顯然々uSu?由于0-1一產(chǎn)>0,則在這些閉區(qū)域上

的二重積分之間有不等式

'~y2dxdy<^e~x2~y2dxdy<dxdy.

D]SD2

因?yàn)镴,''公辦二/e~x2dx-/e~y2dy=(^e~x2dx)2,

s

又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有

^e~x2~y2dxdy=^（\-e~R^,^e~xl~yldxdy=^（\-e~2R^,

A2

于是上面的不等式可寫成和一小玲＜（卜，詞2＜和一夕2相）.

令R?，上式兩端趨于同一極限?，從而二e-好治=#.

例6求球體/+/+z24〃被圓柱面f+/=2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的

部分）立體的體積.

解由對(duì)稱性，立體體積為第一卦限部分的四倍.

V=4Jjj4q2_工2-y2dxdy,

D

其中D為半圓周y=yl2ax-x2及x軸所圍成的閉區(qū)域.在極坐標(biāo)系中D可表示為

jr

0</7<2t7COSO,Q<0<—.

于是/=4J^4a2-p2pdpd0-^VdOos6>^c^-p2pdp

D

=y?2f(1-sin39咦足緊飛.

小結(jié)：二重積分計(jì)算公式

直角坐標(biāo)系下^f[x,y)dxdy=f省A型

D

\\f(x,y)dxdy=dy^f(x,y)dxj型

極坐標(biāo)系下jj/(尸cosarsini9)rdrd?=("4]：)/(rcos^/sin?)dr

D

第三節(jié)三重積分

教學(xué)目的：深刻理解三重積分的概念、計(jì)算方法，掌握三重積分的計(jì)算.

教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握三重積分的計(jì)算，熟練掌握三重積分在柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)

下的計(jì)算.

教學(xué)難點(diǎn)：計(jì)算三重積分時(shí)坐標(biāo)系的選擇.

教學(xué)內(nèi)容：

一、三重積分的定義

設(shè)f(x,y,z)是空間閉區(qū)域W上的有界函數(shù)，將W任意地分劃成〃個(gè)小區(qū)域

AV,,AV2,---,AV?,其中D匕表示第，個(gè)小區(qū)域，也表示它的體積.在每個(gè)小區(qū)域D匕上任取

一點(diǎn)?，7，)，作乘積△匕，作和式△匕，以4記這〃個(gè)小區(qū)域

/=1

直徑的最大者,若極限lim△匕存在，則稱此極限值為函數(shù)/(x/,z)在區(qū)域

1=1

。上的三重積分,記作j]j7(x,_y,zWv,

即乂z)dv=Hm￡q,。心匕.

Qi=l

其中小叫體積元素.

自然地,體積元素在直角坐標(biāo)系卜也可記作成必力法.

二、三重積分的存在定理

定理若函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，則三重積分存在.

三、三重積分的物理意義

如果/(x,KZ)表示某物體在(x,%z)處的質(zhì)量密度，W是該物體所占有的空間區(qū)域,且

/(x/,z)在W上連續(xù)，則和式名/(。，7<)△匕就是物體質(zhì)量加的近似值，該和式當(dāng)

4―0時(shí)的極限值就是該物體的質(zhì)量相.

特別地,當(dāng)f(x,y,z)=l時(shí)，JJJZn=Q的體積.

四、三重積分的計(jì)算法

1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分

假設(shè)積分區(qū)域W的形狀如下圖所示.

W在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)?V、,，過(guò)。▽上任意一點(diǎn)，作平行于z軸的直線穿過(guò)W

內(nèi)部，與W邊界曲面相交不多于兩點(diǎn).亦即，W的邊界曲面可分為上、下兩片部分曲面.

Sl:z=zl(x,y),S2:z=z2(x,y)

其中冢巷歷后仁歷在與上連續(xù),并且Z](x,y)《Z2(x,y).

圖9-4-1

如何計(jì)算三重積分小呢？

不妨先考慮特殊情況/(x,弘z)=1,則

川正=\\\dxdydz=jj[z2(x,^)-7,(%,

cc%

即啊=MC；/

Q%

一般情況下,類似地有

附=2C，乂Z)龍.

C%

顯然積分「f(x,y,z)dz只是把f(x,y,z)看作z的函數(shù)在區(qū)間區(qū)(x,y),z,(x,y)]上對(duì)

七(x,y)

Z求定積分，因此，其結(jié)果應(yīng)是的函數(shù)，記

尸(x/)=『"：7(x,y,z)dz,

那么J，/(x,y,z)dn=^F(x,y)dxdy.

如上圖所示，區(qū)域0n，可表示為

a<x<b,y^x)<y<y2(x)

從而||F(x,y)dxdy=f公]1^F(x,y)dy

Dxy

綜上討論，若積分區(qū)域W可表示成

a<x<b,yt(x)<y<y2(x),zx(x,y}<z<z2(x,y}

則肋'(”,Z)小=[%R：dyf(x,y,z)dz

這就是三重積分的計(jì)算公式，它將三重積分化成先對(duì)積分變量Z,次對(duì)y,最后對(duì)x的

三次積分.

如果平行于z軸且穿過(guò)W內(nèi)部的直線與邊界曲面的交點(diǎn)多于兩個(gè)，可仿照二重積分計(jì)

算中所采用的方法，將W剖分成若干個(gè)部分，(如?！?。2),使在W上的三重積分化為各部分

區(qū)域(。”。2)上的三重積分，當(dāng)然各部分區(qū)域應(yīng)適合對(duì)區(qū)域的要求.

例1計(jì)算三重積分JJ卜小外龍，其中W為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x+2y+z=l所圍成的

a

閉區(qū)域.

解作圖，區(qū)域W可表示為：04zWl—x-2%0Wywg(l—x),04x<l

\\\Xdxdydz=[dX^dy[-x-2y

于是xaz

Q

=fx&FQ-x-2y)力

=1

-4

討論：其它類型區(qū)域呢？

有時(shí)，我們計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分.設(shè)空

間閉區(qū)域。={(x,y,z)l(x,y)sD:,cx<z<c2],其中Dz是豎坐標(biāo)為z的平面截空間閉區(qū)

域W所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域，則有

J]J7(X，弘Z0V=『Qzy,z)dxdy.

Q12

例2計(jì)算三重積分\\\z2dxdydz其中w是由橢球面手?+g+|=l所圍成的空間閉

Q

區(qū)域.

解空間區(qū)域W可表為:

于是^z2dxdydz=^z2dz^dxdy=的近(\-^)z2dz=—7iabci.

c

CDZc15

2.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

(1)柱面坐標(biāo)

定義設(shè)/(x/,z)為空間的一點(diǎn)，該點(diǎn)在xoy面上的投影為p,p點(diǎn)的極坐標(biāo)為r,e,

則r,e,z三個(gè)數(shù)稱作點(diǎn)M的柱面坐標(biāo).

規(guī)定尸,e,z的取值范圍是

0<F<4-00,0<0<2%,一8<Z<4-00

柱面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面分別為

r=常數(shù)，即以z軸為軸的圓柱面；

8=常數(shù)，即過(guò)z軸的半平面；

z二常數(shù),即與xoy面平行的平面.

點(diǎn)〃的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)之間有關(guān)系式

x=rcos0

<y=rsin0(1)

z=z

(2)三重積分“J/(x,%z)dn在柱面坐標(biāo)系中的計(jì)算公式

用三組坐標(biāo)面r=常數(shù)，6=常數(shù)，z=常數(shù)，將W分割成許多小區(qū)域,除了含W的邊界點(diǎn)

的一些不規(guī)則小區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是柱體.

考察山尸,e,z各取得微小增量出,de,龍所成的柱體,該柱體是底面積為rdrde,高為

dz的柱體,其體積為dv=rdrdOdz這便是柱面坐標(biāo)系下的體積元素，并注意到（1）式有

y,z）dv=||/（rcos0,rsin9,z）rdrdOdz（2）

QD

（2）式就是三重積分由直角坐標(biāo)變量變換成柱面坐標(biāo)變量的計(jì)算公式.

（2）式右端的三重積分計(jì)算，也可化為關(guān)于積分變量匕e,z的三次積分，其積分限要由

八az在w中的變化情況來(lái)確定.

（3）用柱面坐標(biāo)r,e,z表示積分區(qū)域W的方法

1）找出W在xoy面上的投影區(qū)域。W，并用極坐標(biāo)變量r,8表示之；

2）在內(nèi)任取一點(diǎn)（尸,6）,過(guò)此點(diǎn)作平行于z軸的直線穿過(guò)區(qū)域，此直線與W邊界曲

面的兩交點(diǎn)之豎坐標(biāo)（將此豎坐標(biāo)表示成的函數(shù)）即為z的變化范圍.

例3利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分JJJz必Mr龍，其中W是由曲面2=/+/與平面

z=4所圍成的閉區(qū)域.

解閉區(qū)域W可表示為:

p2<z<4,0<p<2,0<^<2^-.

于是^zdxdydz=^zpdpdOdz

QQ

=rgtpdpLZa=3『48『P（16-p'）dp

號(hào)叫8P2_看咻=等.

3、利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

(1)球面坐標(biāo)

如圖所示,空間任意一點(diǎn)〃(x,%z)也可用三個(gè)數(shù)八°,e唯一表示.

Z

、尸sin夕

、

)M(x,y,z)

XP(x,y,0)

圖9-5-3

其中：

r為原點(diǎn)。到點(diǎn)切的距離；

。為有向線段兩與z軸正向所成夾角；

6為從正z軸來(lái)看自x軸依逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線段麗的角度，而點(diǎn)p是點(diǎn)“在

xoy面上的投影點(diǎn).

規(guī)定尸,。,6的取值范圍為

0Wr<+8,0v，0W。W2萬(wàn)

不難看出，點(diǎn)N的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)間的關(guān)系為

x=rsin9cos。

<y=rsin^sine⑶

z—rcos（p

(2)球面坐標(biāo)系的特點(diǎn)

r=常數(shù),是以原點(diǎn)為心的球面；

。=常數(shù)，是以原點(diǎn)為頂，z軸為軸的圓錐面;

。=常數(shù),是過(guò)z軸的半平面.

粗略地講,變量r刻劃點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離,即“遠(yuǎn)近”；變量?？虅濣c(diǎn)M在空間的上下

位置，即“上下”；變量e刻劃點(diǎn)"在水平面上的方位，即“水平面上方位”.

(3)三重積分在球面坐標(biāo)系下的計(jì)算公式

用三組坐標(biāo)面r=常數(shù)，。=常數(shù)，。=常數(shù)，將C分劃成許多小區(qū)域,考慮當(dāng)r,。,6各

取微小增量改,"6所形成的六面體,若忽略高階無(wú)窮小,可將此六面體視為長(zhǎng)方體,其體

積近似值為

dv-r2sin(pdrd(pdO

這就是球面坐標(biāo)系下的體積元素.

圖9-5-4

由直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系式⑶有

y,z)dv-0J/(rsin8cosarsin°sine/cos9)rahye(4)

aa

(4)式就是三重積分在球面坐標(biāo)系下的計(jì)算公式.

(4)式右端的三重積分可化為關(guān)于積分變量匕0,6的三次積分來(lái)實(shí)現(xiàn)其計(jì)算，當(dāng)然，這

需要將積分區(qū)域。用球面坐標(biāo)匕。,6加以表示.

(4)積分區(qū)域的球面坐標(biāo)表示法

積分區(qū)域用球面坐標(biāo)加以表示較復(fù)雜,一般需要參照的幾何形狀,并依據(jù)球坐標(biāo)變量的

特點(diǎn)來(lái)決定.

實(shí)際中經(jīng)常遇到的積分區(qū)域Q是這樣的，Q是包圍原點(diǎn)的立體，其邊界曲面是包

國(guó)原點(diǎn)在內(nèi)的封閉曲面,將其邊界曲面方程化成球坐標(biāo)方程r=r（夕,6）,據(jù)球面坐標(biāo)變量的

特點(diǎn)有

’0W"2〃

Q:<Q<（p<K

0<r<r（（p,e）

例如若Q是球體x2+/+z2<“2伍>0）,則Q的球坐標(biāo)表示形式為

曲面V+y2+z2^a2的球坐標(biāo)方程為

(rsin9cos6)2+(rsin^sin^)2+(rcos(p)2-a2

于是Ql:O<0<27r,O<(p<7V,O<r<a,

例4求半徑為a的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.

解該立體所占區(qū)域。國(guó)表示為:

0<r<2ocos(p,Q<(p<a,Q<6<2K.

于是所求立體的體積為

P=C以&=JJj'sin幽rd加6=『dgjVr2s\n(pdr

2433

=2%fsin^p%^=萼j^cos3^sin^^?=(1-COS4<7).

3

提示：球面的方程為一+^+仁一^了二片，g|J222在球面坐標(biāo)下此球面

x+y+Z=2aZ.

的方程為，=2arcos°,B|Jr=2acos(p.

小結(jié)：三重積分的定義和計(jì)算（化三重積分為三次積分），對(duì)于某些三重積分，由于積分區(qū)

域和被積函數(shù)的特點(diǎn)，往往要利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)來(lái)計(jì)算

柱面坐標(biāo)

三重積分換元法4H,L-!柱面坐標(biāo)的體積兀素乃效流=八辦48必；球面坐標(biāo)的體積兀

球面坐標(biāo)

素dxdydz=r2sin(pdrdOd(p.

第四節(jié)二重積分的應(yīng)用

教學(xué)目的：掌握二重積分的幾何和物理方面的應(yīng)用.

教學(xué)重點(diǎn)：利用二重積分的解決實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)難點(diǎn)：二重積分的思想如何用于實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)內(nèi)容：

定積分應(yīng)用的元素法也可推廣到二重積分，使用該方法需滿足以下條件：

1.所要計(jì)算的某個(gè)量。對(duì)于閉區(qū)域。具有可加性(即：當(dāng)閉區(qū)域。分成許多小閉區(qū)域

da時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量,且。=￡AU.

2.在。內(nèi)任取一個(gè)直徑充分小的小閉區(qū)域4。時(shí)，相應(yīng)的部分量△。可近似地表示為

/(xj)dcr,其中(x/)e/九稱/(x/)dcr為所求量AU的元素,并記作.

3.所求量U可表示成積分形式U=jj/(x,y)t/cr

D

一、曲面的面積

設(shè)曲面S由方程z=/(x,y)給出，為曲面S在xoy面上的投影區(qū)域，函數(shù)f(x,y)

在上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)人(x,y)和fy(x,y)，現(xiàn)計(jì)算曲面的面積A.

圖9-3-1

在閉區(qū)域。曠上任取一直徑很小的閉區(qū)域da(它的面積也記作dcr),在dcr內(nèi)取一點(diǎn)

p(x,y),對(duì)應(yīng)著曲面S上一點(diǎn)M(x,y,f(x,y)),曲面S在點(diǎn)M處的切平面設(shè)為T.以小區(qū)

域4。的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，該柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平

面T上截下一小片平面，由于dcr的直徑很小，那一小片平面面積近似地等于那一小片曲面

面積.

曲面S在點(diǎn)用處的法線向量(指向朝上的那個(gè))為

"=（一<（x，N），-/；O

它與Z軸正向所成夾角7的方向余弦為

cos/=

而刃="-,所以血=

cos/

這就是曲面s的面積元素，故

A=JJJ1+J2(X,y)+<2(x,y)d(T

%

即

/=JJ1+（當(dāng)）2+（當(dāng)2小方

oxoy

分

例1求半徑為4的球的表面積.

解上半球面方程為2="火2一/一/，遂+yJ火2.因?yàn)閦對(duì)x和對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)在

。：》2+/4火2上無(wú)界，所以上半球面面積不能直接求出.因此先求在區(qū)域

￡>,:X2+/<a2（a<R）上的部分球面面積，然后取極限.

nj二上,小，年75一麻尋.

一+"“24爪—X-y7K-r

于是上半球面面積為lim2成（火-痛f）=2成2.整個(gè)球面面積為/=24=4兀史

CJTR

提不：

近一X近r鼠往）2|盧）2—R

2222

*y/R-"ylR-x-yVa”yl^_x2_y2

另解球面的面積A為上半球面面積的兩倍.上半球面的方程為z=y/R2_x2_y2，而

dz=tdz=―一

由一[R2_x2_y2，dy~^R2_x2_y2'

所以

=2ff,Rdxdy=2RdOf.即

e+理〃R2f2—y2-J)J)乒7

/R

--47rRy]R2-p2/4成2.

例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星，距地面的高度為h=36000^/M,運(yùn)行的角速度

與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同.試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑

R=6400km).

解取地心為坐標(biāo)原點(diǎn)，地心到通訊衛(wèi)星中心的連線為z軸,建立坐標(biāo)系.

通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面￡是上半球面被半頂角為a的圓錐面所截得的部分.E的方程為

z=y]R2-x2-y2,x2+y2<R2sin2a.

于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為

一加+韻+第派力“防二一廠辦.

2222

其中Dxy={(x,y)\x+y<Rsina\是曲面X在xoy面上的投影區(qū)域.

利用極坐標(biāo)，得

社式/^sinaRfRsinan

A—fdOf—i-pdp—ITTRf-i-dp—27rR~(1—cosa).

』J，y]R2-p2,)y]R2-p2

由于cosa=/y，代入上式得

R+h

A=2^?2(1—-^-)=2版-^.

R+hR+h

由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為

盛2(32%06=425%

由以上結(jié)果可知，衛(wèi)星覆蓋了全球三分之?以上的面積，故使用三顆相隔,乃角度的

通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面.

二、平面薄片的質(zhì)心

1.平面上的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心

設(shè)在xoy平面上有〃個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于點(diǎn)(和凹),(馬,力),…,(x”,y“)處,質(zhì)量分別

為犯，加2,…由力學(xué)知道,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為

-M.介內(nèi)_乂工研

x=--=—....,y=--=------，

mS777S

(=1)=1

2,平面薄片的質(zhì)心

設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域D,在點(diǎn)(x,y)處的面密度為p(x,y),假定

p(xj)在。上連續(xù),如何確定該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)(反歹).

在閉區(qū)域。上任取一直徑很小的閉區(qū)域d￡T,(xj)是這小閉區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，由于dcr

的直徑很小，且0(x,y)在。上連續(xù)，所以薄片中相應(yīng)于d。的部分的質(zhì)量近似等于

p(x,y)da,于是靜矩元素dMx,dMy為

M=JJ蚱(xj)d5%=JJxp(x,y)dcr

DD

又平面薄片的總質(zhì)量為加=JJp(x/)dcr,從而，薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為