HaoR奧數(shù)讀本-數(shù)列基礎(chǔ)版

第一部分少數(shù)數(shù)列

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

⑴掌握數(shù)列概念;

⑵掌握數(shù)列排列的一般規(guī)律;

⑶培養(yǎng)對(duì)多個(gè)數(shù)字之間相互關(guān)系的敏感力，根據(jù)掌握的知識(shí)快速找到數(shù)列的主要特征。

按照一定次序排列起來的一列數(shù)，叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一項(xiàng)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。比如1、

2、3、4、5、6、7、8、9、10,這就是一個(gè)數(shù)列，1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21

這也是一個(gè)數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列中都有規(guī)律，數(shù)列的項(xiàng)都是整數(shù)，1、3、5、7、9、11、13、15、

17、19、21這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)都是單數(shù)，2、4、6、8、10、12、14、16、18、20,這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)

都是雙數(shù)，而3、6、9、12、15、18、21、24、27,這個(gè)數(shù)列中的數(shù)字也有規(guī)律，就是它們都是

3的倍數(shù)，等等，還有很多很多，比如一個(gè)數(shù)列中的數(shù)字是這樣的：5、15、20、25、30、35、

40,這個(gè)數(shù)列中的數(shù)字排列規(guī)律是什么？我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列中的數(shù)字都是5的倍數(shù)并且后面的數(shù)字

總是比前面的數(shù)字大5。

我們觀察和研究數(shù)列是為了通過分析和判斷發(fā)現(xiàn)所給出數(shù)字之間隱含的變化規(guī)律。

數(shù)列的排列規(guī)律，主要從相鄰兩數(shù)的和、差、積、商來考慮，更復(fù)雜的情況要考慮相鄰的

三個(gè)甚至四個(gè)數(shù)。

【技巧總結(jié)】

規(guī)律1:該類數(shù)列前后數(shù)字之間是簡(jiǎn)單的遞增或遞減關(guān)系，并且差值是固定的。

這個(gè)數(shù)列也叫等差數(shù)列，我們后面要學(xué)習(xí)。

例如:5,8,11,14,(),(),【規(guī)律】后面的數(shù)字比前面一個(gè)數(shù)字多3。

基礎(chǔ)練習(xí)1：

⑴2,4,6,8,(),()

⑵4,7,10,13,(),()

⑶28,23,18,13,(),()

24,20,16,12,(),)

⑸32,27,22,17,),()

規(guī)律2：該類數(shù)列前后數(shù)字之間是簡(jiǎn)單的乘除關(guān)系，并且倍數(shù)或者商是固定的。

這個(gè)數(shù)列也叫等比數(shù)列。

例如:2,4,8,16,(),(),【規(guī)律】后面的數(shù)字是前面一個(gè)數(shù)字乘以2。

基礎(chǔ)練習(xí)2：

(1)3,6,12,24,(),()

(2)5,10,20,40,(),()

(3)7,21,63,189,(),()

(4)320,160,80,40,(),()

⑸243,81,27,9,(),()

規(guī)律3：該數(shù)列的每一項(xiàng)的值都與序號(hào)相關(guān)。

基礎(chǔ)練習(xí)3：

(1)4,9,16,(),(),49

(2)81,(),49,36,()

(3)1,2,4,8,(),()

規(guī)律4：該類數(shù)列前后數(shù)字之間是簡(jiǎn)單的遞增或遞減關(guān)系，但是差值也是逐漸增加或者遞減的(也

是一個(gè)有規(guī)律的數(shù)列)。

例如：1,2,5,10,(),(),【規(guī)律】后面的數(shù)字比前面的數(shù)字大，并且這個(gè)大的

數(shù)字是逐漸增加的。

拓展提高1：

(1)4,5,1,10,(),()

(2)0,5,15,30,(),()

(3)0,3,9,18,(),()

(4)27,21,16,12,(),()

(5)50,41,33,26,(),()

規(guī)律5：該數(shù)列從第三個(gè)數(shù)字起，每一項(xiàng)數(shù)字都是前面兩個(gè)數(shù)字的和。

由此可以看出數(shù)列可以編排得很復(fù)雜，認(rèn)真想一想，是不是會(huì)有很多的變化呢？

拓展提高2：

(1)0,1,1,2,3,5,8,(),()

(2)2,2,4,6,10,16,(),()

(3)1,2,2,4,8,32,(),()

(4)1,4,5,9,14,(),()

(5)(),89,(),34,21,13,8,5,3,2,1

規(guī)律6：該數(shù)列由兩個(gè)數(shù)列組成，就是單數(shù)位置上是一個(gè)數(shù)列，雙數(shù)位置上是另外的一個(gè)數(shù)列。

拓展提高3：

(1)3,2,6,4,12,6,(),()

(2)2,5,4,5,6,5,8,5,(),()

(3)3,1,5,2,7,3,9,5,(),()

(4)1,2,2,4,3,8,4,16,(),()

(5)1,1,2,2,3,3,5,4,8,(),()

規(guī)律7：該數(shù)列特殊在于從第2項(xiàng)開始，單數(shù)位置和雙數(shù)位置上的不一樣，只于前一項(xiàng)相關(guān)。

拓展提高4：

(1)30,15,14,7,6,(),()

(2)1,2,4,5,10,(),()

(3)3,6,5,10,9,(),()

上面我們練習(xí)總結(jié)了四年級(jí)以下小學(xué)奧數(shù)可能遇到的7類數(shù)列的規(guī)律，實(shí)際做題時(shí)，我們可

以依據(jù)上面的總結(jié)規(guī)律在做題，耐心、仔細(xì)地按上面的7條依次尋找數(shù)列中數(shù)字項(xiàng)目的規(guī)律。

當(dāng)然，你的悟性比較強(qiáng)大的話，學(xué)到這里，你可能會(huì)自己設(shè)計(jì)數(shù)列了，比如：規(guī)律5是數(shù)列

從第三個(gè)數(shù)字起，每一項(xiàng)數(shù)字都是前面兩個(gè)數(shù)字的和，那么也可以變化成如下規(guī)律：

1、從第四個(gè)數(shù)字起，每一項(xiàng)數(shù)字都是前面三個(gè)數(shù)字的和。

2、從第二個(gè)數(shù)字起，每一項(xiàng)數(shù)字都是前面一個(gè)數(shù)字與后面一個(gè)數(shù)字乘以2的和。

3、從第二個(gè)數(shù)字起，每一項(xiàng)數(shù)字都是前面一個(gè)數(shù)字加上1與后面一個(gè)數(shù)字加1的和。

還可以有很多……

你可以設(shè)計(jì)很復(fù)雜的數(shù)列。

第二部分多數(shù)數(shù)列

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

⑴掌握數(shù)列的一般表示方法;

⑵掌握多數(shù)數(shù)列的排列規(guī)律;

有時(shí)候，數(shù)列中的數(shù)字項(xiàng)很多，比如一個(gè)數(shù)列，它當(dāng)中的數(shù)字是從1到100,那么怎么把

這個(gè)數(shù)列寫出來呢？

是像下面這么寫嗎？

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,

23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,

44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,

65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,

86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100o

按照這么寫的話，如果要列出一個(gè)數(shù)列，它的數(shù)字項(xiàng)是1到600,是不是要寫滿整整一頁(yè)？

如果中間寫錯(cuò)了怎么辦？

如果數(shù)列的數(shù)字項(xiàng)是從1到100000呢？！你寫一個(gè)上午也寫不完??！

前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有規(guī)律的數(shù)列，知道了這些數(shù)列的數(shù)字項(xiàng)都是前后有一定關(guān)系的,

只要我們沿用這些規(guī)律或者關(guān)系，就可以用簡(jiǎn)單方法來表示數(shù)字項(xiàng)有很多的數(shù)列了。

比如上面列出的1到100的數(shù)列，我們就可以簡(jiǎn)單書寫如下：

1,2,3,4,....,100

可能的變換形式是：

1,2,3,…，99,100o

1,2,3,ooo,99,100

1,2,3,4,oooooo,100

一般的書寫方式：

列出前面的3或者4項(xiàng)，通過這3項(xiàng)或者4項(xiàng)可以表示這個(gè)數(shù)列數(shù)字項(xiàng)的排列規(guī)律，中間

的可以用“…”或者”……”【用的也有“。。。”或者“。。。。。。”】來表示，最后的一項(xiàng)必須寫上。

對(duì)于數(shù)列，我們可以用｛｝這個(gè)符號(hào)來把這個(gè)數(shù)列包起來，注意不是0,也不是口。

有了上面的書寫規(guī)范，我們就可以輕松表示多項(xiàng)數(shù)列了。

2,4,6,…，98,100相當(dāng)于｛2,4,6,…，98,100｝

表示一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列中的數(shù)字項(xiàng)從2開始，都是雙數(shù)（也叫偶數(shù)），后一項(xiàng)總是比前

一項(xiàng)多2,一直到100。

1,3,5,……,99相當(dāng)于｛1,3,5,……,99｝

表示一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列中的數(shù)字項(xiàng)從1開始，都是單數(shù)（也叫奇數(shù)），后一項(xiàng)總是比前

一項(xiàng)多2,一直到99。

1,1,2,3,5,8,13,，1597相當(dāng)于{1,1,2,3,5,8,13,，1597}

表示一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列中的數(shù)字項(xiàng)從1開始，數(shù)字項(xiàng)的規(guī)律是：從第3項(xiàng)開始，后一項(xiàng)

總是前兩項(xiàng)的和，一直到1597結(jié)束。

有了上面對(duì)于多數(shù)數(shù)列的表示方法，我們還可以用它來表示其他涉及多項(xiàng)運(yùn)算的情況。

比如：要表示從1加到100可以這樣表示：

1+2+3+4+……+100,注意：這里就不能寫成｛1+2+3+4+……+100｝。

再比如，要表示從2加到98,其中數(shù)列中的每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)加2：

24-4+6+8+....+98

這里需要弄明白一個(gè)問題，你怎么知道這里面有多少項(xiàng)呢？

我們發(fā)現(xiàn)：這數(shù)列中的數(shù)字都是雙數(shù)，第一項(xiàng)是2,就是1X2,第二項(xiàng)是4,就是2X2,

第三項(xiàng)是6,也就是3X2,也就是說，這數(shù)列中的數(shù)字實(shí)際上是它的序號(hào)乘以2,那么一直到98,

就是49X2,所以數(shù)列總共有49項(xiàng)。

下面的數(shù)列有多少項(xiàng)呢？

1+3+5+7+....+99

通過對(duì)前面兩個(gè)數(shù)列的分析，我們知道如果要知道數(shù)列有多少項(xiàng)關(guān)鍵在于弄明白數(shù)字項(xiàng)的

數(shù)值和它所在序號(hào)之間的關(guān)系，比如1+2+3+4+……+100,這個(gè)數(shù)列中的數(shù)字項(xiàng)的值就是等

于它的序號(hào)，而2+4+6+8+……+98這個(gè)數(shù)列中的數(shù)字項(xiàng)的值等于序號(hào)乘以2,所以弄明白

了序號(hào)與數(shù)字項(xiàng)的值之間的關(guān)系，得到數(shù)列有多少項(xiàng)就很輕松了。

在1+3+5+7+……+99這個(gè)數(shù)列中，我們通過觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)字項(xiàng)的值等于序號(hào)乘以2

再減1,比如1=1X2T,3=2X2-1,5=3X2-1,7=4X2-1,,一直到99=50義2-〈所以,這

個(gè)數(shù)列有50項(xiàng)。

這一部分，我們主要學(xué)習(xí)了多數(shù)數(shù)列的表示方法，前面我們講解的少數(shù)數(shù)列的7個(gè)規(guī)律，

也同樣適合多數(shù)數(shù)列。

第三部分等差數(shù)列

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

⑴掌握等差數(shù)列的概念；

⑵掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、項(xiàng)數(shù)公式；

⑶學(xué)習(xí)等差數(shù)列的一些應(yīng)用。

前面我們學(xué)習(xí)了少數(shù)數(shù)列和多數(shù)數(shù)列，我們知道了數(shù)列就是按照一定的順序排列的數(shù)。

數(shù)列有很多種，比如有限數(shù)列和無限數(shù)列，有限數(shù)列就是數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是有限的，也叫有

窮數(shù)列，無限數(shù)列是指數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是無窮多的數(shù)列；單數(shù)數(shù)列和雙數(shù)數(shù)列，數(shù)列里的項(xiàng)的值

為單數(shù)的數(shù)列叫單數(shù)數(shù)列，也叫奇數(shù)數(shù)列，數(shù)列里項(xiàng)的值為雙數(shù)的數(shù)列叫雙數(shù)數(shù)列，也叫偶數(shù)

數(shù)列；還有自然數(shù)數(shù)列和整數(shù)數(shù)列，數(shù)列里的項(xiàng)為自然數(shù)的數(shù)列叫自然數(shù)數(shù)列，數(shù)列里的項(xiàng)為

整數(shù)的數(shù)列叫整數(shù)數(shù)列等等。

數(shù)列知識(shí)在日常生活中有很多的應(yīng)用，比如我們知道了樓梯每一級(jí)的高度就可以計(jì)算出樓

房的高度，選擇一定的存款方式就可以計(jì)算出一定時(shí)間后自己能有多少的利息，我們根據(jù)數(shù)列

知識(shí)可以很快計(jì)算出超市貨架的貨物數(shù)量，如果你觀察過植物花朵的瓣數(shù)，你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)花朵

的瓣是個(gè)神奇的數(shù)字，花瓣的數(shù)字就是1、2、3、5、8、13、……,這其實(shí)是個(gè)數(shù)列，在數(shù)學(xué)上

是有專有名稱的，叫裴波那契數(shù)列（又叫黃金分割數(shù)列），植物會(huì)數(shù)學(xué)嗎？它們不會(huì)的，可是為

什么它們的花瓣數(shù)就是這些神奇的數(shù)字呢？！說明數(shù)學(xué)就蘊(yùn)藏在日常生活中，等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)

和運(yùn)用。

數(shù)列中的每一項(xiàng)叫作數(shù)列的項(xiàng)，排列在第一個(gè)位置上的數(shù)叫作數(shù)列的第一項(xiàng)，也叫首項(xiàng)，

排列在第二個(gè)位置上的數(shù)叫作數(shù)列的第二項(xiàng)，排列在第三個(gè)位置上的數(shù)叫作數(shù)列的第三

項(xiàng)，……，排列在第十九個(gè)位置上的數(shù)叫作數(shù)列的第十九項(xiàng)，數(shù)列中的最后一項(xiàng)叫末項(xiàng)，也叫

尾項(xiàng)，數(shù)列中總共有的項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做項(xiàng)數(shù)。

如果數(shù)列項(xiàng)很多，這樣的表述是不是比較繁瑣？

下面我們就要學(xué)習(xí)數(shù)列的規(guī)范表述方式。

通常情況下，為了方便表達(dá)和運(yùn)用，我們把數(shù)列的第一項(xiàng)用小表示，第二項(xiàng)用&表示，第

三項(xiàng)用包表示，……，第十九項(xiàng)用小表示，如果這個(gè)數(shù)列有很多但不確定有多少的時(shí)候我們會(huì)

說這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)，相應(yīng)地第n項(xiàng)就用烝表示了。

是不是覺得有點(diǎn)陌生？這樣的數(shù)學(xué)表述方式比較簡(jiǎn)便，以后會(huì)慢慢習(xí)慣的，隨著習(xí)慣這樣

的表述后，你會(huì)接納到更多的數(shù)學(xué)知識(shí)。

今天我們學(xué)習(xí)的數(shù)列叫等差數(shù)列，我們前面也有過接觸，比如2,4,6,8,10,12,14,

還有4,7,10,13,16,19,22等，等差數(shù)列有什么特征呢？就是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的

前一項(xiàng)的差等于一個(gè)固定的值，這個(gè)固定的值我們叫常數(shù)，也叫公差，我們用d來表示，等差

數(shù)列的和用心來表示。

我們學(xué)習(xí)等差數(shù)列有什么用處呢？

第一：我們根據(jù)等差數(shù)列的特征可以很快計(jì)算出數(shù)列的和，無論是整個(gè)數(shù)列或者是一個(gè)范

圍段的數(shù)字項(xiàng)的和。

第二：給出數(shù)列的特征后，我們可以確定數(shù)列中的其他項(xiàng)。

熟悉上面兩項(xiàng)后，對(duì)于更復(fù)雜多變的數(shù)列你會(huì)有得心應(yīng)手的處理。

當(dāng)然，首要的也是最關(guān)鍵的是我們要學(xué)習(xí)和掌握等差數(shù)列的規(guī)律和特征。

我們知道，等差數(shù)列就是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于一個(gè)常數(shù)，那么有沒

有一個(gè)方式來表示這樣的描述呢？

有的，那就是等差數(shù)列的每一項(xiàng)都可以用一個(gè)或幾個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)來表示，因?yàn)榫哂衅毡樾圆?/p>

且適合數(shù)列中的每一項(xiàng)，我們稱它為公式，相對(duì)于數(shù)列則有個(gè)確定的稱謂，叫通項(xiàng)公式。

它的具體表述是這樣的：

如果一個(gè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)為為,這個(gè)數(shù)列的差為d,有N項(xiàng)話，那么它的第N項(xiàng)的值就等

于a,+(n-1)Xdo

也就是：a0=a1+(n-1)Xd

末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差X(項(xiàng)數(shù)T)

這是我們學(xué)習(xí)的第一個(gè)公式。

先舉個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)的例子：

比如:一個(gè)等差數(shù)列是2,4,6,8,10,12,14,……，我們根據(jù)通項(xiàng)公式,a1=2,d=2,

那么an=a,+(n-1)Xd=2+(n-1)X2=2+nX2-1X2=nX2,所以你可以很快地計(jì)算

出199項(xiàng)是多少了，/99=199X2=398。

再比如：如果一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)依次是4,7,10,13,你知道它的第100項(xiàng)是多少嗎？

根據(jù)上面的公式，第一項(xiàng)是4,這個(gè)等差數(shù)列的差是3,第100項(xiàng)應(yīng)該是4+(100-l)X3=301o

我們?cè)賮砜吹炔顢?shù)列的求和。

求和:1+2+3+........+99+100o

一般我們用的是首尾相加法,就是1+2+3+……+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+……+

(50+51)=101+101+101+........+101=101X50=5050

這是個(gè)等差數(shù)列，它的等差數(shù)是1,為了計(jì)算它的和我們應(yīng)用了首尾相加法，我們知道它有

100項(xiàng),剛好有50個(gè)101,所以和等于5050。

想一想，現(xiàn)在只是計(jì)算到100,如果計(jì)算到100000呢？如果等差的值是其他的數(shù)呢？是不

是每次我們都要這么計(jì)算呢？！

數(shù)學(xué)是讓人聰慧的學(xué)科，等差數(shù)列太多了，我們應(yīng)該根據(jù)等差數(shù)列的特征來推導(dǎo)出計(jì)算和

的簡(jiǎn)便方法。

先看簡(jiǎn)單的，求和：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13。

前面我們用的是首尾相加法來計(jì)算，這個(gè)方法有個(gè)弊端，就是要考慮項(xiàng)數(shù)，如果項(xiàng)數(shù)是單

數(shù)的話首尾相加法不夠明了，比如：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=(1+13)+(2+12)+(3+11)+(4+10)+(5+9)+(6+8)

+7=14+14+14+14++14+14+7=14X6+7=84+7=91

或者

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=(1+12)+(2+11)+(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7)

+13=13+13+13+13+13+13+13=13X7=91

是不是不夠利索？！

下面我們用倒序相加法來做就比較簡(jiǎn)單了。

看下圖：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13

就相當(dāng)于求上面的藍(lán)色球的個(gè)數(shù)。

而我們把球的堆疊方式換一下，

是不是求和問題就簡(jiǎn)單了呢？

每一行都等于14,總共有13行，球數(shù)是13X14=182,而正常的球數(shù)應(yīng)該是它的一半，就

是91。

我們用數(shù)字來表示，假設(shè)和為I

S13=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13

S|3=13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

Si3+Si3=S13X2=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+(13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)

=(1+13)+(2+12)+(3+11)+(4+10)+(5+9)+(6+8)+(7+7)+(8+6)+(9+5)+(10+4)

+(11+3)+(12+2)+(13+1)=14+14+14+14+14+14+14+14+14+14+14+14+14=14X13=182

所以Si3=91

圖示的方法理解了嗎？是不是不用考慮項(xiàng)數(shù)的單數(shù)還是雙數(shù)的問題了？