2022-2023學(xué)年福建省寧德市福安市陽光國際集團(tuán)福建區(qū)域聯(lián)考高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2福建省寧德市福安市陽光國際集團(tuán)福建區(qū)域聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求.1.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)表示的點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點的坐標(biāo)為.故選：A.2.已知向量，則（）A.(4，3) B.(5，1)C.(5，3) D.(7，8)〖答案〗B〖解析〗∵，∴．故選：B.3.一個水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（）A. B. C.8 D.〖答案〗D〖解析〗還原直觀圖為原圖形如圖所示，因為，所以，還原回原圖形后，，，所以原圖形的面積為．故選：D.4.若，其中i是虛數(shù)單位，則（）A. B.1 C. D.3〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，故，所以.故選：B.5.正四棱臺的上、下底面邊長分別是2和4，側(cè)棱長是，則該棱臺的體積是（）A. B. C.20 D.21〖答案〗A〖解析〗由棱臺幾何特征可得其高為：，則其體積為：.故選：A.6.在三角形ABC中，D是BC上靠近點C的三等分點，E為AD中點，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗已知D是BC上靠近點C的三等分點，所以，又E為AD中點，所以，所以.故選：C.7.已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：cm）是（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為，因為圓錐側(cè)面積（單位：）為，所以，解得，所以側(cè)面展開扇形的弧長為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，所以這個圓錐的底面半徑是.故選：B.8.正四面體ABCD的外接球的半徑為2，過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，面積最小的截面是以為直徑的截面，將四面體放置于正方體中，可得正方體的外接球就是四面體的外接球，設(shè)，則正方體棱長為，故，可求得，進(jìn)而截面面積的最小值為．故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分.9.實數(shù)x，y滿足(1+i)x+(1-i)y=2，設(shè)z=x+yi，則下列說法正確的是（）A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限 B.|z|=C.z的虛部是i D.z的實部是1〖答案〗ABD〖解析〗實數(shù)x，y滿足(1+i)x+(1-i)y=2，可化為x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，∴z=x+yi=1+i，對于A，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1，1)，位于第一象限，故A正確；對于B，|z|=，故B正確；對于C，z的虛部是1，故C錯誤；對于D，z的實部是1，故D正確.故選：ABD.10.已知向量，，（），則下列命題正確的是（）A.若，則B.存在，使得C.與共線的單位向量只有一個為D.若在上的投影向量為，則向量與夾角為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，則，，，故A正確；對于B，由，，得，，若，則，所以，由，得，所以，所以，所以存在，使得，故B正確；對于C，與共線的單位向量為，故為或，故C錯誤；對于D，在上的投影向量為，所以，則，又因為，所以，即向量與夾角為，故D正確.故選：ABD.11.如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D.圓柱、圓錐、球的體積之比為〖答案〗CD〖解析〗因為圓柱和圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，則圓柱的側(cè)面積為，A錯誤；圓錐的母線長，側(cè)面積為，B錯誤；球的表面積為，所以圓柱的側(cè)面積與球面面積相等，C正確；，，，D正確．故選：CD．12.如圖圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（）A.球與圓柱的體積之比為B.四面體CDEF的體積的取值范圍為C.平面DEF截得球的截面面積最小值為D.若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗對于A，球的體積為，圓柱的體積，則球與圓柱的體積之比為，A正確；對于B，設(shè)為點到平面的距離，，而平面經(jīng)過線段的中點，四面體CDEF的體積，B錯誤；對于C，過作于，如圖，而，則，又，于是，設(shè)截面圓的半徑為，球心到平面的距離為，則，又，則平面DEF截球的截面圓面積，C錯誤；對于D，令經(jīng)過點P的圓柱的母線與下底面圓的公共點為Q，連接，當(dāng)與都不重合時，設(shè)，則，當(dāng)與之一重合時，上式也成立，因此，，則，令，則，而，即，因此，解得，所以的取值范圍為，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.方程的復(fù)數(shù)根是__________.〖答案〗〖解析〗由題意得方程即，故，故的復(fù)數(shù)根是.故〖答案〗為：.14.如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，則山高M(jìn)N＝________m．〖答案〗500〖解析〗在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m，在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，從而∠AMC＝45°，由正弦定理得，，因此AM＝1000m，在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，由＝sin30°得MN＝500m；∴山高M(jìn)N＝500．故〖答案〗為：500．15.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，因為，所以，解得，則，則，所以當(dāng)時，取得最小值為.故〖答案〗為：.16.四面體中，，，則此四面體外接球的表面積為_________．〖答案〗〖解析〗將四面體放入長方體中，使得六條棱分別為長方體六個面的面對角線，如圖：則長方體的外接球即為四面體的外接球，又長方體的體對角線即為外接球的直徑，設(shè)長方體的長寬高分別為，則有，，，所以，所以外接球的表面積為.故〖答案〗：.四、解答題：本題共6小題，17題滿分10分，其余每題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)，.（1）若是實數(shù)，求的值；（2）若是純虛數(shù)，求的值；（3）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，求的取值范圍.解：（1），且是實數(shù)，，解得或.（2）是純虛數(shù)，，解得.（3）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，，解得.18.如圖，三棱柱內(nèi)接于一個圓柱，且底面是正三角形，圓柱的體積是，底面直徑與母線長相等.（1）求圓柱的底面半徑；（2）求三棱柱的體積.解：（1）設(shè)底面圓的直徑為2r，由題可知，圓柱的體積，解得，即圓柱的底面半徑為1.（2）因為為正三角形，底面圓的半徑為1，由正弦定理，邊長，所以三棱柱的體積.19.在中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，且，求邊AC上的高．解：（1）由正弦定理及，有，即，所以，又因，所以，因為，所以，又，所以．（2）在中，由余弦定理可得，又，所以有，即，所以的面積為，所以AC邊上的高為.20.已知內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，，且.（1）求角；（2）若，，求邊及的面積；（3）在（2）的條件下，求的值.解：（1）因為向量，，且，所以，由正弦定理得，又，則，顯然，則，又，所以.（2）由余弦定理的，整理得，解得或（舍），所以的面積.（3）由正弦定理得，即，解得，因為，故角為銳角，故，，，.21.如圖，在中，為邊上一點，且．（1）設(shè)，求實數(shù)、的值；（2）若，求的值；（3）設(shè)點滿足，求證：．解：（1）因為，所以，所以，所以.（2）.（3）因為，所以，因為，，，，所以，，所以，即，得證.22.請從①；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評分.選擇的編號請?zhí)顚懙酱痤}卡對應(yīng)位置上）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若___________，（1）求角B的大??；（2）若△ABC為銳角三角形，，求的取值范圍.解：（1）若選①，因為，由正弦定理得，即，所以，由，得，所以，即，因為，所以.若選②，由，化簡得，由正弦定理得：，即，所以，因為，所以.若選③，由正弦定理得，即，因為，所以，所以，所以，又因為，所以.（2）在中，由正弦定理，得，，由（1）知：，又с=1代入上式得：，因為為銳角三角形，所以，解得，所以，，所以.福建省寧德市福安市陽光國際集團(tuán)福建區(qū)域聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求.1.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)表示的點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點的坐標(biāo)為.故選：A.2.已知向量，則（）A.(4，3) B.(5，1)C.(5，3) D.(7，8)〖答案〗B〖解析〗∵，∴．故選：B.3.一個水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（）A. B. C.8 D.〖答案〗D〖解析〗還原直觀圖為原圖形如圖所示，因為，所以，還原回原圖形后，，，所以原圖形的面積為．故選：D.4.若，其中i是虛數(shù)單位，則（）A. B.1 C. D.3〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，故，所以.故選：B.5.正四棱臺的上、下底面邊長分別是2和4，側(cè)棱長是，則該棱臺的體積是（）A. B. C.20 D.21〖答案〗A〖解析〗由棱臺幾何特征可得其高為：，則其體積為：.故選：A.6.在三角形ABC中，D是BC上靠近點C的三等分點，E為AD中點，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗已知D是BC上靠近點C的三等分點，所以，又E為AD中點，所以，所以.故選：C.7.已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：cm）是（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為，因為圓錐側(cè)面積（單位：）為，所以，解得，所以側(cè)面展開扇形的弧長為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，所以這個圓錐的底面半徑是.故選：B.8.正四面體ABCD的外接球的半徑為2，過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，面積最小的截面是以為直徑的截面，將四面體放置于正方體中，可得正方體的外接球就是四面體的外接球，設(shè)，則正方體棱長為，故，可求得，進(jìn)而截面面積的最小值為．故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分.9.實數(shù)x，y滿足(1+i)x+(1-i)y=2，設(shè)z=x+yi，則下列說法正確的是（）A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限 B.|z|=C.z的虛部是i D.z的實部是1〖答案〗ABD〖解析〗實數(shù)x，y滿足(1+i)x+(1-i)y=2，可化為x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，∴z=x+yi=1+i，對于A，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1，1)，位于第一象限，故A正確；對于B，|z|=，故B正確；對于C，z的虛部是1，故C錯誤；對于D，z的實部是1，故D正確.故選：ABD.10.已知向量，，（），則下列命題正確的是（）A.若，則B.存在，使得C.與共線的單位向量只有一個為D.若在上的投影向量為，則向量與夾角為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，則，，，故A正確；對于B，由，，得，，若，則，所以，由，得，所以，所以，所以存在，使得，故B正確；對于C，與共線的單位向量為，故為或，故C錯誤；對于D，在上的投影向量為，所以，則，又因為，所以，即向量與夾角為，故D正確.故選：ABD.11.如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D.圓柱、圓錐、球的體積之比為〖答案〗CD〖解析〗因為圓柱和圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，則圓柱的側(cè)面積為，A錯誤；圓錐的母線長，側(cè)面積為，B錯誤；球的表面積為，所以圓柱的側(cè)面積與球面面積相等，C正確；，，，D正確．故選：CD．12.如圖圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（）A.球與圓柱的體積之比為B.四面體CDEF的體積的取值范圍為C.平面DEF截得球的截面面積最小值為D.若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗對于A，球的體積為，圓柱的體積，則球與圓柱的體積之比為，A正確；對于B，設(shè)為點到平面的距離，，而平面經(jīng)過線段的中點，四面體CDEF的體積，B錯誤；對于C，過作于，如圖，而，則，又，于是，設(shè)截面圓的半徑為，球心到平面的距離為，則，又，則平面DEF截球的截面圓面積，C錯誤；對于D，令經(jīng)過點P的圓柱的母線與下底面圓的公共點為Q，連接，當(dāng)與都不重合時，設(shè)，則，當(dāng)與之一重合時，上式也成立，因此，，則，令，則，而，即，因此，解得，所以的取值范圍為，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.方程的復(fù)數(shù)根是__________.〖答案〗〖解析〗由題意得方程即，故，故的復(fù)數(shù)根是.故〖答案〗為：.14.如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，則山高M(jìn)N＝________m．〖答案〗500〖解析〗在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m，在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，從而∠AMC＝45°，由正弦定理得，，因此AM＝1000m，在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，由＝sin30°得MN＝500m；∴山高M(jìn)N＝500．故〖答案〗為：500．15.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，因為，所以，解得，則，則，所以當(dāng)時，取得最小值為.故〖答案〗為：.16.四面體中，，，則此四面體外接球的表面積為_________．〖答案〗〖解析〗將四面體放入長方體中，使得六條棱分別為長方體六個面的面對角線，如圖：則長方體的外接球即為四面體的外接球，又長方體的體對角線即為外接球的直徑，設(shè)長方體的長寬高分別為，則有，，，所以，所以外接球的表面積為.故〖答案〗：.四、解答題：本題共6小題，17題滿分10分，其余每題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)，.（1）若是實數(shù)，求的值；（2）若是純虛數(shù)，求的值；（3）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，求的取值范圍.解：（1），且是實數(shù)，，解得或.（2）是純虛數(shù)，，解得.（3）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，，解得.18.如圖，三棱柱內(nèi)接于一個圓柱，且底面是正三角形，圓柱的體積是，底面直徑與母線長相等.（1）求圓柱的底面半徑；（2）求三棱柱的體積.解：（1）設(shè)底面