高考數(shù)學(xué)（文）高分計劃一輪高分講義第10章概率10.2古典概型

10．2古典概型[知識梳理]1．基本事件的特點(1)任何兩個基本事件都是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個．(2)等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．3．如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是eq\f(1,n)；如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù)).[診斷自測]1．概念思辨(1)在一次試驗中，其基本事件的發(fā)生一定是等可能的.()(2)事件A，B至少有一個發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率大．()(3)在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，所有的基本事件構(gòu)成集合I，那么事件A的概率為eq\f(cardA,cardI).()(4)利用古典概型的概率可求“在邊長為2的正方形內(nèi)任取一點，這點到正方形中心距離小于或等于1”的概率．(答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．教材衍化(1)(必修A3P134A組T5)在平面直角坐標(biāo)系中點(x，y)，其中x，y∈{0,1,2,3,4,5}，且x≠y，則點(x，y)在直線y＝x的左上方的概率是(A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,3)答案B解析在平面直角坐標(biāo)系中滿足x，y∈{0,1,2,3,4,5}，且x≠y的點(x，y)共有6×6－6＝30個，而滿足在直線y＝x的左上方，即y>x的點(x，y)的基本事件共有15個，故所求概率為P＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2).故選B.(2)(必修A3P134A組T4)已知A，B，C，D是球面上的四個點，其中A，B，C在同一圓周上，若D不在A，B，C所在的圓周上，則從這四點中的任意兩點的連線中取2條，這兩條直線是異面直線的概率等于________答案eq\f(1,5)解析A，B，C，D四點可構(gòu)成一個以D為頂點的三棱錐，共6條棱，則所有基本事件有：(AB，BC)，(AB，AC)，(AB，AD)，(AB，BD)，(AB，CD)，(BC，CA)，(BC，BD)，(BC，AD)，(BC，CD)，(AC，AD)，(AC，BD)，(AC，CD)，(AD，BD)，(AD，CD)，(BD，CD)，共15個，其中滿足條件的基本事件有：(AB，CD)，(BC，AD)，(AC，BD)，共3個，所以所求概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).3．小題熱身(1)(2016·全國卷Ⅰ)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)答案C解析解法一：從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法：(紅黃)、(紅白)、(紅紫)、(黃白)、(黃紫)、(白紫)，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在同一花壇)的選法有4種，所以所求事件的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故選C.解法二：設(shè)紅色和紫色的花在同一花壇為事件A，則事件A包含2個基本事件：紅紫與黃白，黃白與紅紫．由解法一知共有6個基本事件，因此P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，從而紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是P(eq\o(A,\s\up14(－)))＝1－P(A)＝eq\f(2,3).故選C.(2)(2018·山西聯(lián)考)從(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)這5個點中任取一個，這個點在圓x2＋y2＝2016內(nèi)部的概率是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,5)D.eq\f(4,5)答案B解析從(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)這5個點中任取一個的基本事件總數(shù)為5，這個點在圓x2＋y2＝2016內(nèi)部包含的基本事件有(20,30)，(10,10)，共2個，∴這個點在圓x2＋y2＝2016內(nèi)部的概率P＝eq\f(2,5)，故選B.題型1簡單古典概型的求解eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例1))(2016·北京高考)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(8,25)D.eq\f(9,25)考慮用樹狀圖表示各種結(jié)果或用組合表示各種結(jié)果．答案B解析設(shè)其他3名學(xué)生為丙、丁、戊，從中任選2人的所有情況有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共4＋3＋2＋1＝10種．其中甲被選中的情況有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4種，故甲被選中的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))(2017·山西一模)現(xiàn)有2名女教師和1名男教師參加說題比賽，共有2道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)答案C解析記兩道題分別為A，B，所有抽取的情況為AAA,AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1個，第2個分別表示兩個女教師抽取的題目，第3個表示男教師抽取的題目)，共有8種；其中滿足恰有一男一女抽到同一道題目的情況為ABA，ABB，BAA，BAB，共4種．故所求事件的概率為eq\f(1,2).故選C.方法技巧1．基本事件個數(shù)的確定方法列表法此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成是坐標(biāo)法樹狀圖法樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合于有順序的問題及較復(fù)雜問題中基本事件數(shù)的探求2.應(yīng)用古典概型求某事件的步驟第一步，判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；第三步，利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率．見典例1,2.沖關(guān)針對訓(xùn)練(2018·安徽名校模擬)某車展展出甲、乙兩種最新款式的汽車，現(xiàn)從參觀人員中隨機(jī)選取100人對這兩種汽車均進(jìn)行評價，評價分為三個等級：優(yōu)秀、良好、合格，由統(tǒng)計信息可知，甲種汽車被評價為優(yōu)秀的頻率為eq\f(3,5)，良好的頻率為eq\f(2,5)；乙種汽車被評價為優(yōu)秀的頻率為eq\f(7,10)，良好的頻率是合格的頻率的5倍．(1)求這100人中對乙種汽車評價優(yōu)秀或良好的人數(shù)；(2)如果從這100人中按甲種汽車的評價等級用分層抽樣的方法抽取5人，再從其他對乙種汽車評價優(yōu)秀、良好的人中各選取1人進(jìn)行座談會，會后從這7人中隨機(jī)抽取2人，求選取的2人評價都是優(yōu)秀的概率．解(1)因為對乙種汽車評價優(yōu)秀的頻率為eq\f(7,10)，故評價良好或合格的頻率為1－eq\f(7,10)＝eq\f(3,10).設(shè)評價合格的頻率為x，則評價良好的頻率為5x，由題意可得x＋5x＝eq\f(3,10)，解得x＝eq\f(1,20).所以這100人中對乙種汽車評價優(yōu)秀或良好的人數(shù)為100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)＋5×\f(1,20)))＝95.(2)因為對甲種汽車評價優(yōu)秀的頻率為eq\f(3,5)，良好的頻率為eq\f(2,5)，則用分層抽樣的方法抽取5人，其中有3人評價優(yōu)秀，分別記為A，B，C,2人評價良好，分別記為a，b.記抽取到對乙種汽車評價優(yōu)秀、良好的2人分別為D，d，則從這7人中隨機(jī)抽取2人，不同的結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，a}，{A，b}，{A，D}，{A，d}，{B，C}，{B，a}，{B，b}，{B，D}，{B，d}，{C，a}，{C，b}，{C，D}，{C，d}，{a，b}，{a，D}，{a，d}，{b，D}，{b，d}，{D，d}，共21種．記“選取的2人評價都是優(yōu)秀”為事件M，則事件M的結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B，D}，{C，D}，共6種．所以選取的2人評價都是優(yōu)秀的概率P(M)＝eq\f(6,21)＝eq\f(2,7).題型2復(fù)雜古典概型的求解eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2016·山東高考)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎勵玩具一個；②若xy≥8，則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻．小亮準(zhǔn)備參加此項活動．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．本題采用列表法計算事件數(shù)．解用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應(yīng)．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以基本事件總數(shù)n＝16.(1)記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的基本事件數(shù)共5個，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事件B，“3<xy<8”為事件則事件B包含的基本事件數(shù)共6個，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的基本事件數(shù)共5個，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝eq\f(5,16).因為eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．[結(jié)論探究]本例中條件不變，試求小亮不能獲得玩具的概率．解由題意知當(dāng)xy＞3時，小亮不能獲得玩具，此時包含基本事件共11個，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，而基本事件總數(shù)共16個，所以此事件概率為P＝eq\f(11,16).或根據(jù)對立事件求解：xy≤3時包含事件個數(shù)為5個，故其獲得玩具的概率為eq\f(5,16)，則不能獲得玩具的概率為1－eq\f(5,16)＝eq\f(11,16).方法技巧復(fù)雜古典概型的求解策略求較復(fù)雜事件的概率問題，解題關(guān)鍵是理解題目的實際含義，把實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型，必要時將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的和，或者先求其對立事件的概率，進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼猓疀_關(guān)針對訓(xùn)練(2017·江西新余一中模擬)某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如下表：消費次數(shù)第1次第2次第3次第4次5次及以上收費比例10.950.900.850.80該公司從注冊的會員中，隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：消費次數(shù)第1次第2次第3次第4次5次及以上頻數(shù)60201055假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：(1)估計該公司一位會員至少消費兩次的概率；(2)某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤；(3)該公司要從這100位里至少消費兩次的顧客中按消費次數(shù)用分層抽樣方法抽出8人，再從這8人中抽出2人發(fā)放紀(jì)念品，求抽出的2人中恰有1人消費兩次的概率．解(1)100位會員中，至少消費兩次的會員有40位，所以估計一位會員至少消費兩次的概率為eq\f(40,100)＝0.4.(2)該會員第1次消費時，公司獲得的利潤為200－150＝50(元)，第2次消費時，公司獲得的利潤為200×0.95－150＝40(元)，所以，公司獲得的平均利潤為eq\f(50＋40,2)＝45(元)．(3)因為20∶10∶5∶5＝4∶2∶1∶1，所以用分層抽樣方法抽出的8人中，消費2次的有4人，分別設(shè)為A1，A2，A3，A4，消費3次的有2人，分別設(shè)為B1，B2，消費4次和5次及以上的各有1人，分別設(shè)為C，D，從中抽出2人，抽到A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共7種；去掉A1后，抽到A2的有A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C……去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2后，抽到C的有：CD，共1種，總的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28種，其中恰有1人消費兩次的抽取方法有4＋4＋4＋4＝16種，所以，抽出的2人中恰有1人消費兩次的概率為eq\f(16,28)＝eq\f(4,7).題型3古典概型與統(tǒng)計的綜合問題eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2018·安徽階段測試)某校高三期中考試后，數(shù)學(xué)教師對本次全部數(shù)學(xué)成績按1∶20進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的成績?yōu)闃颖?，成績用莖葉圖記錄如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失，同時得到如下表所示的頻率分布表：(1)求表中a，b的值及成績在[90,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)，并估計這次考試全校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績的及格率(成績在[90,150]內(nèi)為及格)；(2)若從莖葉圖中成績在[100,130)范圍內(nèi)的樣本中一次性抽取兩個，求取出兩個樣本數(shù)字之差的絕對值小于或等于10的概率．解(1)由莖葉圖知成績在[50,70)范圍內(nèi)的有2人，在[110,130)范圍內(nèi)的有3人，∴a＝0.1，b＝3.∵成績在[90,110)范圍內(nèi)的頻率為1－0.1－0.25－0.25＝0.4，∴成績在[90,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)為20×0.4＝8，估計這次考試全校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績的及格率為P＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為Ω＝{(100,102),(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共21個基本事件，設(shè)事件A＝“取出的兩個樣本中數(shù)字之差小于或等于10”則A＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共10個基本事件，∴P(A)＝eq\f(10,21).方法技巧求解古典概型與統(tǒng)計交匯問題的思路1．依據(jù)題目的直接描述或頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計圖表給出的信息，提煉出需要的信息．2．選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ页龇蠗l件的基本事件總數(shù)及所求事件包含的基本事件數(shù)．3．進(jìn)行統(tǒng)計與古典概型概率的正確計算．沖關(guān)針對訓(xùn)練(2018·廣東五校診斷)某市為慶祝北京奪得2022年冬奧會舉辦權(quán)，圍繞“全民健身促健康、同心共筑中國夢”主題開展全民健身活動，組織方從參加活動的群眾中隨機(jī)抽取120名群眾，按他們的年齡分組：第1組[20,30)，第2組[30,40)，第3組[40,50)，第4組[50,60)，第5組[60,70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)若電視臺記者要從抽取的群眾中選人進(jìn)行采訪，估計被采訪人恰好在第1組或第4組的概率；(2)已知第1組群眾中男性有3名，組織方要從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊，求至少有1名女性群眾的概率．解(1)設(shè)第1組[20,30)的頻率為f1，則由題意可知，f1＝1－(0.010＋0.035＋0.030＋0.020)×10＝0.05.被采訪人恰好在第1組或第4組的頻率為0.05＋0.020×10＝0.25.∴估計被采訪人恰好在第1組或第4組的概率為0.25.(2)第1組[20,30)的人數(shù)為0.05×120＝6.∴第1組中共有6名群眾，其中女性群眾共3名．記第1組中的3名男性群眾分別為A，B，C,3名女性群眾分別為x，y，z，從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊包含(A，B)，(A，C)，(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，C)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共15個基本事件．至少有一名女性群眾包含(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共12個基本事件．∴從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊，至少有1名女性群眾的概率為eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).1．(2017·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D.2．(2017·山東高考)從分別標(biāo)有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.eq\f(5,18)B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9)D.eq\f(7,9)答案C解析∵9張卡片中有5張奇數(shù)卡片，4張偶數(shù)卡片，且為不放回地隨機(jī)抽取，∴抽取兩次共有9×8＝72種基本事件，其中滿足卡片上數(shù)字奇偶性不同共有4×5＋5×4＝40種基本事件，故抽取到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是eq\f(40,72)＝eq\f(5,9).故選C.3．(2017·天津高考)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)答案C解析從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故選C.4．(2018·洛陽統(tǒng)考)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________．答案eq\f(7,12)解析a＝1時，b＝1,2，…6，共6種情況；a＝2時，b＝2,3，…6，共5種情況；a＝3時，b＝3,4,5,6，共4種情況；a＝4時，b＝4,5,6，共3種情況；a＝5時，b＝5,6，共2種情況；a＝6時，b＝6，共1種情況．[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，則()A．P1＝P2＜P3B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3D．P3＝P2＜P1答案B解析先后拋擲兩枚骰子點數(shù)之和共有36種可能，而點數(shù)之和為12,11,10的概率分別為P1＝eq\f(1,36)，P2＝eq\f(1,18)，P3＝eq\f(1,12).故選B.2．(2017·浙江金麗衢十二校聯(lián)考)4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)答案B解析因為從四張卡片中任取出兩張的情況為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種．其中兩張卡片上數(shù)字和為偶數(shù)的情況為(1,3)，(2,4)，共2種，所以兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為eq\f(1,3).故選B.3．從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)答案B解析從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)有以下六種情況：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，滿足取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的(1,3)，(2,4)，故所求概率是eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選B.4．(2018·山西朔州模擬)某校食堂使用大小、手感完全一樣的餐票，小明口袋里有一元餐票2張，兩元餐票2張，五元餐票1張，若他從口袋中隨機(jī)地摸出2張，則其面值之和不少于四元的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)答案C解析小明口袋里共有5張餐票，隨機(jī)地摸出2張，基本事件總數(shù)n＝10，其面值之和不少于四元包含的基本事件數(shù)m＝5，故其面值之和不少于四元的概率為eq\f(m,n)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).故選C.5．(2018·保定模擬)甲、乙二人玩猜數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”，現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,9)C.eq\f(2,3)D.eq\f(7,9)答案D解析甲任想一數(shù)字有3種結(jié)果，乙猜數(shù)字有3種結(jié)果，基本條件總數(shù)為3×3＝9.設(shè)“甲、乙心有靈犀”為事件A，則A的對立事件B為“|a－b|＞1”，即|a－b|＝2，包含2∴P(B)＝eq\f(2,9).∴P(A)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).故選D.6．(2018·合肥模擬)從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,12)答案A解析設(shè)2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B112種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B24種情況，則發(fā)生的概率為P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，故選A.7．(2017·銀川模擬)連擲骰子兩次得到的點數(shù)分別記為a和b，則使直線3x－4y＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝4相切的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,9)D.eq\f(1,3)答案B解析連擲骰子兩次總的試驗結(jié)果有36種，要使直線3x－4y＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝4相切，則eq\f(|3a－4b|,5)＝2，即滿足|3a－4b|＝10，符合題意的(a，b)有(6,2)，(2,4)，共2種，由古典概型的概率計算公式可得所求概率為P＝eq\f(1,18).故選B.8．拋擲兩枚均勻的骰子，得到的點數(shù)分別為a，b，那么直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的斜率k≥－eq\f(1,2)的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)答案D解析記a，b的取值為數(shù)對(a，b)，由題意知(a，b)的所有可能取值有36種．由直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的斜率k＝－eq\f(b,a)≥－eq\f(1,2)，知eq\f(b,a)≤eq\f(1,2)，那么滿足題意的(a，b)可能的取值為(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9種，所以所求概率為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).故選D.9．(2018·太原模擬)記連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角為α，則α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))的概率為()A.eq\f(5,18)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,12)答案B解析解法一：依題意，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(個)，其中滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，即n<m的(m，n)可根據(jù)n的具體取值：第一類，當(dāng)n＝1時，m有5個不同的取值；第二類，當(dāng)n＝2時，m有4個不同的取值；第三類，當(dāng)n＝3時，m有3個不同的取值；第四類，當(dāng)n＝4時，m有2個不同的取值；第五類，當(dāng)n＝5時，m有1個取值，因此滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(個)，所以所求概率為eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).故選B.解法二：依題意可得向量a＝(m，n)共有6×6＝36(個)，其中滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，即n<m的向量a＝(m，n)有eq\f(36－6,2)＝15(個)，所以所求概率為eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).故選B.10．(2018·淄博模擬)將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使兩條不重合直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率為P1，相交的概率為P2，若點(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝eq\f(137,144)的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,18)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,18)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,18)，\f(5,18))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,18)，\f(7,18)))答案D解析對于a與b各有6種情形，故總數(shù)為36種．兩條直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，故概率為P1＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).兩條直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行與重合(a＝1，b＝2)即可，∴P2＝eq\f(33,36)＝eq\f(11,12).∵點(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝eq\f(137,144)的內(nèi)部，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,18)－m))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,12)))2<eq\f(137,144)，解得－eq\f(5,18)<m<eq\f(7,18)，故選D.二、填空題11．(2017·海淀模擬)現(xiàn)有7名數(shù)理化成績優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，B1，B2的物理成績優(yōu)秀，C1，C2的化學(xué)成績優(yōu)秀．從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績優(yōu)秀者各1名，組成一個小組代表學(xué)校參加競賽，則A1和B1不全被選中的概率為________．答案eq\f(5,6)解析從這7人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績優(yōu)秀者各1名，所有可能的結(jié)果組成的12個基本事件為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．設(shè)“A1和B1不全被選中”為事件N，則其對立事件eq\o(N,\s\up14(－))表示“A1和B1全被選中”，由于eq\o(N,\s\up14(－))＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，P(eq\o(N,\s\up14(－)))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由對立事件的概率計算公式得P(N)＝1－P(eq\o(N,\s\up14(－)))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).12．(2018·武漢調(diào)研)某同學(xué)同時擲兩顆骰子，得到點數(shù)分別為a，b，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e>eq\r(5)的概率是________．答案eq\f(1,6)解析由e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(5)，得b>2a.當(dāng)a＝1時，b＝3,4,5,6四種情況；當(dāng)a＝2時，b＝5,6兩種情況，總共有6種情況．又同時擲兩顆骰子，得到的點數(shù)(a，b)共有36種結(jié)果．∴所求事件的概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).13．(2018·湖南長沙模擬)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，得到的點數(shù)分別為a，b，則使得直線bx＋ay＝1與圓x2＋y2＝1相交且所得弦長不超過eq\f(4\r(2),3)的概率為________．答案eq\f(1,9)解析根據(jù)題意，得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)共有6×6＝36種，其中滿足直線bx＋ay＝1與圓x2＋y2＝1相交且所得弦長不超過eq\f(4\r(2),3)，則圓心到直線的距離不小于eq\f(1,3)，即1＞eq\f(1,\r(a2＋b2))≥eq\f(1,3)，即1＜a2＋b2≤9的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)四種，故直線bx＋ay＝1與圓x2＋y2＝1相交且所得弦長不超過eq\f(4\r(2),3)的概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).14．(2017·宿遷模擬)已知k∈Z，eq\o(AB,\s\up14(→))＝(k,1)，eq\o(AC,\s\up14(→))＝(2,4)，若|eq\o(AB,\s\up14(→))|≤4，則△ABC是直角三角形的概率是________．答案eq\f(3,7)解析因為|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝eq\r(k2＋1)≤4，所以－eq\r(15)≤k≤eq\r(15)，因為k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，當(dāng)△ABC為直角三角形時，應(yīng)有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2，因為eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))＝(2－k,3)，由eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3，由eq\o(AC,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝0，得2(2－k)＋12＝0，所以k＝8(舍去)，故使△ABC為直角三角形的k值為－2，－1或3，所以所求概率P＝eq\f(3,7).三、解答題15．為了解收購的每只小龍蝦的重量，某批發(fā)商在剛從甲、乙兩個水產(chǎn)養(yǎng)殖場收購的小龍蝦中分別隨機(jī)抽取了40只，得到小龍蝦的重量的頻數(shù)分布表如下．從甲水產(chǎn)養(yǎng)殖場中抽取的40只小龍蝦的重量的頻數(shù)分布表重量/克[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]頻數(shù)2816104從乙水產(chǎn)養(yǎng)殖場中抽取的40只小龍蝦的重量的頻數(shù)分布表重量/克[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]頻數(shù)2618104(1)試根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)，完成從甲水產(chǎn)養(yǎng)殖場中抽取的40只小龍蝦的重量的頻率分布直方圖；(2)依據(jù)小龍蝦的重量，將小龍蝦劃分為三個等級：重量/克[5,25)[25,45)[45,55]等級三級二級一級若規(guī)定二級以上(包括二級)的小龍蝦為優(yōu)質(zhì)小龍蝦，估計甲、乙兩個水產(chǎn)養(yǎng)殖場的小龍蝦哪個的“優(yōu)質(zhì)率”高？并說明理由．(3)從乙水產(chǎn)養(yǎng)殖場抽取的重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]內(nèi)的小龍蝦中利用分層抽樣的方法抽取6只，再從這6只中隨機(jī)抽取2只，求至少有1只的重量在[15,25)內(nèi)的概率．解(1)(2)若把頻率看作相應(yīng)的概率，則“甲水產(chǎn)養(yǎng)殖