江蘇省沭陽縣南洋學(xué)校、實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期第二次月考聯(lián)考試題初三數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題有8小題，每小題3分，共24分．）1.一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是（）A.x1＝x2＝1 B.x1＝0，x2＝3 C.x1＝1，x2＝3 D.x＝0【答案】C【解析】【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：∵∴，∴，即或，解得，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程——因式分解法．能將看成整體提取公因式是解題關(guān)鍵．2.兩組數(shù)據(jù)：3，a，b，5與a，4，2b的平均數(shù)都是3，若將這兩組數(shù)據(jù)合并為一組新數(shù)據(jù)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.平均數(shù)仍是3 B.眾數(shù)是3C.中位數(shù)是3 D.方差是1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的意義，求出a、b的值，進(jìn)而確定兩組數(shù)據(jù)，再合并成一組，再根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義求解即可．詳解】解：由題意得，，解得，這兩組數(shù)據(jù)為：3、3、1、5和3、4、2，這兩組數(shù)合并成一組新數(shù)據(jù)，在這組新數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的是3，因此眾數(shù)是3，平均數(shù)不變，仍然是3；重新排列為1、2、3、3、3、4、5，其中位數(shù)是3，方差為×[（1﹣3）2＋（2﹣3）2＋3×（3﹣3）2＋（4﹣3）2＋（5﹣3）2]＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、眾數(shù)的意義和計(jì)算方法，二元一次方程組的應(yīng)用，理解平均數(shù)、眾數(shù)的意義和計(jì)算方法是得出正確答案的前提．3.下列語句中，錯(cuò)誤的有（）①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②等弦對(duì)等弧；③長度相等的兩條弧是等?。虎芊匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根之和為4．A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓、圓心角、弧、弦的相關(guān)知識(shí)以及一元二次方程根的判別式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)行解答即可．【詳解】①同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故①錯(cuò)誤；②同圓或等圓中，等弦所對(duì)的劣弧或優(yōu)弧相等，故②錯(cuò)誤；③等弧是能夠完全重合的弧是等弧,長度相等的弧不一定是等弧，故③錯(cuò)誤；④方程中，，故無實(shí)數(shù)根，故④錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的相關(guān)概念和圓心角，弧與弦的概念，一元二次方程根的判別式，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)和定理一元二次方程根的判別式．4.在四張反面無差別的卡片上，其正面分別印有線段、等邊三角形、平行四邊形和正六邊形．現(xiàn)將四張卡片的正面朝下放置，混合均勻后從中隨機(jī)抽取兩張，則抽到的卡片正面圖形都是軸對(duì)稱圖形的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷各圖形是否是軸對(duì)稱圖形，再根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與抽到卡片上印有的圖案都是軸對(duì)稱圖形的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：∵線段是軸對(duì)稱圖形，等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，正六邊形是軸對(duì)稱圖形，分別用A、B、C、D表示線段、等邊三角形、平行四邊形和正六邊形，∴隨機(jī)抽取兩張，則抽到的卡片正面圖形都是軸對(duì)稱圖形的概率為=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查概率公式、軸對(duì)稱圖形，解答本題的關(guān)鍵是寫出題目中的圖形是否為軸對(duì)稱圖形，明確兩張都是軸對(duì)稱圖形是同時(shí)發(fā)生的．5.若將半徑為12cm的半圓形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓半徑是（）A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm【答案】D【解析】【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為2π×12÷2=12π（cm），∴圓錐的底面半徑為12π÷2π=6（cm），故選D．6.面試時(shí)，某應(yīng)聘者的學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)和工作態(tài)度的得分分別是72分、86分、60分，若依次按照1：3：2的比例確定成績，則該應(yīng)聘者的最終成績是（）A.75 B.72 C.70 D.65【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法可以解答本題．【詳解】解：該應(yīng)聘者的最終成績?yōu)椋?12+43+20=75（分），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查加權(quán)平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法．7.如圖，點(diǎn)和分別是的內(nèi)心和外心，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓周角定義，以及內(nèi)心的定義，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到兩個(gè)角的關(guān)系可進(jìn)一步得出結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠IAB=∠CAB，∠IBA=∠CBA，∴∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA）=180°-（∠CAB+∠CBA），=180°-（180°-∠C）=90°+∠C，∵∴∠C=70°，∵點(diǎn)O是△ABC的外心，∴∠AOB=2∠C=140°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理以及三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，正確利用∠C表示∠AIB的度數(shù)是關(guān)鍵．8.將等腰直角三角板與量角器按如圖方式放置，其中為半圓形量角器的刻度線，直角邊與量角器相切于點(diǎn)，斜邊與量角器相交于點(diǎn)，若量角器在點(diǎn)的讀數(shù)為120°，則量角器在點(diǎn)的讀數(shù)是（）A.130° B.135° C.150° D.160°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及三角板的特點(diǎn)求出，再求出，得到，再得到，故可求解．【詳解】如圖，連接、，由為切點(diǎn)可知：，∵，∴，由題意可得：，則，∴，∴，∴，即量角器在點(diǎn)的讀數(shù)為．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查切線的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟知切線的性質(zhì)、三角板的特點(diǎn)及圓周角與圓心角的性質(zhì)．二、填空題（本大題有10小題，每小題3分，共30分．）9.一組數(shù)據(jù)：2,5,3,1,6，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________.【答案】3【解析】【詳解】【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可得出答案.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列：1，2，3，5，6，處于最中間的數(shù)是3，∴中位數(shù)為3，故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)的定義，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列，處于最中間（中間兩數(shù)的平均數(shù)）的數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).10.關(guān)于x的方程是一元二次方程，則k的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的定義．只含有1個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程是一元二次方程，根據(jù)二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0解答即可．【詳解】解：關(guān)于x的方程是一元二次方程，k的取值范圍是．故答案為：．11.扇形的弧長是扇形的的半徑為6，圓心角為_______．【答案】##度【解析】【分析】本題考查了圓心角的計(jì)算，熟練掌握弧長公式：是解題的關(guān)鍵．把已知數(shù)據(jù)代入弧長公式：，計(jì)算即可得到答案．【詳解】解；設(shè)圓心角的度數(shù)為，根據(jù)題意可得：，解得．故答案為：．12.甲、乙兩個(gè)籃球隊(duì)隊(duì)員身高的平均數(shù)都為2.07米，方差分別是s甲2、s乙2，且s甲2＞s乙2，則隊(duì)員身高比較整齊的球隊(duì)是_____．【答案】乙隊(duì)【解析】【分析】根據(jù)方差的意義可作出判斷．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．【詳解】∵s甲2＞s乙2，平均數(shù)相同，∴隊(duì)員身高比較整齊的球隊(duì)是乙隊(duì)，故答案為：乙隊(duì)．【點(diǎn)睛】此題考查方差的意義．解題關(guān)鍵在于掌握方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．13.直角三角形的兩條直角邊分別是5和12，則它的內(nèi)切圓半徑為_____．【答案】2【解析】【分析】先利用勾股定理計(jì)算出斜邊的長，然后利用直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為（其中、為直角邊，為斜邊）求解．【詳解】直角三角形的斜邊，所以它的內(nèi)切圓半徑.故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角；直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為（其中、為直角邊，為斜邊）．14.使得方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，則k的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次根的情況得到關(guān)于k的不等式，解不等式即可得到答案．【詳解】解：∵方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，∴，∴，故答案為：15.如圖，兩個(gè)同心圓，大圓半徑為5cm，小圓半徑為3cm，若大圓的弦AB與小圓相交，則弦AB的取值范圍是_____．【答案】8＜AB≤10．【解析】【分析】首先要弄清楚AB在什么時(shí)候最大，什么時(shí)候最?。?dāng)AB與小圓相切時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)可知AB最??；當(dāng)AB經(jīng)過同心圓的圓心時(shí)，弦AB最大且與小圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)AB最大，由此可以確定所以AB的取值范圍．【詳解】解：如圖，當(dāng)AB與小圓相切時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)D，連接OA，OD，可得OD⊥AB，∴D為AB的中點(diǎn)，即AD＝BD．在Rt△ADO中，OD＝3，OA＝5，∴AD＝4．∴AB＝2AD＝8．當(dāng)AB經(jīng)過同心圓的圓心時(shí)，弦AB最大且與小圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)AB＝10．∴AB的取值范圍是8＜AB≤10．故答案為：8＜AB≤10．【點(diǎn)睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理，以及切線的性質(zhì)，其中解題的關(guān)鍵是抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：1、當(dāng)弦AB與小圓相切時(shí)最短；2、當(dāng)AB過圓心O時(shí)最長．16.P在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為3的與x軸相切時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_____．【答案】或##或【解析】【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，與x軸相切時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值等于半徑，由此列式求解即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，與x軸相切，，解得或，點(diǎn)P坐標(biāo)為或，故答案為：或．17.如圖，五個(gè)半徑為2的圓，圓心分別是點(diǎn)A，B，C，D，E，則圖中陰影部分的面積和是___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式，可得出圓心角之和等于五邊形的內(nèi)角和，由于半徑相同，根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．本題考查了扇形的面積計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是將陰影部分當(dāng)成一個(gè)扇形的面積來求，圓心角為五邊形的內(nèi)角和．【詳解】解：由圖可得，5個(gè)扇形的圓心角之和為：則五個(gè)陰影部分的面積之和．故答案為：．18.如圖，在矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，則D，M兩點(diǎn)之間的最小距離為____．【答案】##【解析】【分析】取的中點(diǎn)T，連接．求出，，根據(jù)即可得到答案．【詳解】解：取的中點(diǎn)T，連接．∵四邊形是矩形，，∴，∴∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴DM的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形中線的性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊的關(guān)系，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)正確做出輔助線．三、解答題（本大題有10小題，共96分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明或演算步驟．）19.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題考查解一元二次方程：（1）利用因式分解法求解；（2）將原式變形為，再利用因式分解法求解．【小問1詳解】解：，，或，解得，；【小問2詳解】解：，，，或，解得，．20.國慶節(jié)前，某校經(jīng)過層層選拔，初步選定5名學(xué)生作為參加全縣舉辦的“中國夢(mèng)，青春夢(mèng)”演講比賽候選人，其中女生3名男生2名，假設(shè)每個(gè)選手的被選中機(jī)會(huì)均是等可能的．（1）若派一人參加比賽，則選派女生參加比賽的概率是；（2）若選派兩人參加比賽，用樹狀圖或表格求恰好選中一男一女的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖展示所有20種可能的結(jié)果數(shù)，再找出選中一男一女的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：（1）若派一人參加比賽，則選派女生參加比賽的概率是，故答案為：；（2）畫樹狀圖：共20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中選中一男一女的結(jié)果數(shù)為12，∴恰好選中一男一女的概率是＝．【點(diǎn)睛】本題考查了樹狀圖法，利用樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．21.如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，完成下列問題：（1）在圖中標(biāo)出圓心D，則圓心D點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）連接AD、CD，則∠ADC的度數(shù)為；（3）若扇形DAC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐底面半徑．【答案】（1）(2，0)（2）90°（3）r=【解析】【分析】（1）利用垂徑定理可作AB和BC的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)即為D點(diǎn)，可得出D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在△AOD中AO和OD可由坐標(biāo)得出，利用勾股定理可求得AD和CD，過C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則可證得△OAD≌△EDC，可得∠ADO=∠DCE，可得∠ADO+∠CDE=90°，可得到∠ADC的度數(shù)；（3）先求得扇形DAC的面積，設(shè)圓錐底面半徑為r，利用圓錐側(cè)面展開圖的面積=πr?AD，可求得r．【詳解】（1）如圖，分別作AB、BC的垂直平分線，兩線交于點(diǎn)D，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），故答案為（2，0）；（2）如圖2，連接AD、CD，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2，即⊙D的半徑為2，且CE=2，DE=4，∴AO=DE，OD=CE，在△AOD和△DEC中，，∴△AOD≌△DEC（SAS），∴∠OAD=∠CDE，∴∠CDE+∠ADO=90°，∴∠ADC=90°，故答案為90°；（3）弧AC的長=π×2=π，設(shè)圓錐底面半徑為r則有2πr=π，解得：r=，所以圓錐底面半徑為．故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理和全等三角形的判定和性質(zhì)、扇形和圓錐的有關(guān)計(jì)算等知識(shí)的綜合應(yīng)用，掌握確定圓心的方法，即確定出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在求圓錐底面半徑時(shí)注意圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式利用．22.八年級(jí)（4）班組織了一次經(jīng)典朗讀比賽，甲、乙兩隊(duì)各有10人，比賽成績?nèi)缦卤恚杭?89710109101010乙10879810109109（1）甲隊(duì)成績的中位數(shù)是______分，乙隊(duì)成績的眾數(shù)是______分；（2）計(jì)算乙隊(duì)的平均成績和方差；（3）已知甲隊(duì)成績的方差是，則成績較為整齊的是______隊(duì)．【答案】（1），（2）平均成績分，方差（3）乙【解析】【分析】（1）本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)的概念，掌握概念即可解題．（2）本題考查平均數(shù)和方差的運(yùn)算公式，掌握運(yùn)算公式即可解題．（3）本題考查方差的概念，根據(jù)方差越大，波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定即可解題．【小問1詳解】解：將甲隊(duì)成績從小到大進(jìn)行排列，有7、7、8、9、9、10、10、10、10、10，第5、6位成績是9、10，所以甲隊(duì)成績的中位數(shù)是，由題知乙隊(duì)成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是10，所以乙隊(duì)成績的眾數(shù)是10，故答案為：，．【小問2詳解】解：由題知，乙隊(duì)的平均成績（分），乙隊(duì)的方差，答：乙隊(duì)的平均成績?yōu)榉?，乙?duì)的方差為．【小問3詳解】解：，甲隊(duì)波動(dòng)較大，乙隊(duì)比較穩(wěn)定，故答案為：乙．【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差和根據(jù)方差判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)概念和公式．23.在中，．（1）如圖①，點(diǎn)O在斜邊上，以點(diǎn)O為圓心，長為半徑的圓交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，與邊相切于點(diǎn)F．求證：；（2）在圖②中作，使它滿足以下條件：①圓心在邊上；②經(jīng)過點(diǎn)B；③與邊相切．（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查圓和切線的性質(zhì)和基本作圖的綜合應(yīng)用．掌握連接圓心和切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵．（1）由切線的性質(zhì)可得，推出，由平行線的性質(zhì)可得，由等邊對(duì)等角可得，等量代換可得；（2）先作的角平分線，與交于點(diǎn)F，再作的垂直平分線，與交于點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心，為半徑作圓即可．【小問1詳解】證明：如圖①，連接，與相切于點(diǎn)F，，，，，，；【小問2詳解】解：如圖②，即為所求．證明：∵M(jìn)在的垂直平分線上，∴，∴，又∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴與邊相切．24.已知△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB、AC的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求證：無論為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．（2）為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．（3）為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；（3）或，周長為14或16.【解析】【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=1＞0，由此即可得出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）利由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得：，，根據(jù)BC=5利用勾股定理即可得出關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；（3）根據(jù)（1）結(jié)論可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分兩種情況，分AB=BC、AC=BC兩種情況考慮，根據(jù)兩邊相等找出關(guān)于k的一元一次方程，解方程求出k值，進(jìn)而可得出三角形的三邊長，再根據(jù)三角形的周長公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)∵，∴無論為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)∵AB、AC的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得：，，又∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，由勾股定理，得：，即，∴，整理，得：，解得：，，∵AB、AC是△ABC的兩條邊，∴AB＞0，AC＞0，∴AB+AC＞0而當(dāng)時(shí)，AB+AC＝2×（-5）＋3＝-7＜0，∴不合題意，舍去，故，∴當(dāng)時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；（3）由（1）的結(jié)論可知，，∴BC邊只能是腰，∴AB、AC中必有一邊長為5，不妨設(shè)AB＝5，也就是說關(guān)于的一元二次方程必有一根為5，∴，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，原方程為，兩根為：，，這時(shí)有AB＝5，AC＝4，BC＝5能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，其周長為14，當(dāng)時(shí)，原方程為，兩根為：，，這時(shí)有AB＝5，AC＝6，BC＝5能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，其周長為16.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟練掌握“當(dāng)根的判別式△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根．”是解題的關(guān)鍵．25.如圖，分別是⊙O的直徑和弦，于點(diǎn)D．過點(diǎn)A作的切線與的延長線交于點(diǎn)P，的延長線交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求線段的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得垂直平分，進(jìn)而得出，再證，可得，即可證明是的切線；（2）先證是等邊三角形，推出，再利用銳角三角函數(shù)解即可求出的長．【小問1詳解】證明：是的切線，．如圖，連接，，經(jīng)過圓心O，，垂直平分，，在和中，，，，即，∵為半徑，是的切線；【小問2詳解】解：，，是等邊三角形，，，，由（1）知，，．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)等，綜合應(yīng)用上述性質(zhì)或定理是解題的關(guān)鍵．26.芯片目前是全球緊缺資源，合肥市政府通過資本招商引進(jìn)“芯屏汽合、集終生智”等優(yōu)勢(shì)產(chǎn)業(yè)，發(fā)展新興產(chǎn)業(yè)．合肥某芯片公司，引進(jìn)了一條內(nèi)存芯片生產(chǎn)線．開工第一季度生產(chǎn)200萬個(gè)，第三季度生產(chǎn)288萬個(gè)．試回答下列問題：（1）求前三季度生產(chǎn)量的平均增長率；（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是600萬個(gè)/季度，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少20萬個(gè)/季度．①現(xiàn)該公司要保證每季度生產(chǎn)內(nèi)存芯片2600萬個(gè)，在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入成本的條件下（生產(chǎn)線越多，投入成本越大），應(yīng)該再增加幾條生產(chǎn)線？②是否能增加生產(chǎn)線，使得每季度生產(chǎn)內(nèi)存芯片4820萬個(gè)，若能，應(yīng)該再增加幾條生產(chǎn)線？若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）前三季度生產(chǎn)量的平均增長率20%（2）①應(yīng)該增加4條生產(chǎn)線；②不能增加生產(chǎn)線，使得每季度生產(chǎn)內(nèi)存芯片4820萬個(gè)，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)前三季度生產(chǎn)量的平均增長率為x，利用第三季度的產(chǎn)量＝第一季度的產(chǎn)量×（1＋增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；（2）①設(shè)應(yīng)增加m條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（600?20m）萬個(gè)/季度，利用總產(chǎn)量＝每條生產(chǎn)線的產(chǎn)量×生產(chǎn)線的數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再結(jié)合在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入，即可確定m的值；②設(shè)增加a條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（600?20a）萬個(gè)/季度，利用總產(chǎn)量＝每條生產(chǎn)線的產(chǎn)量×生產(chǎn)線的數(shù)量，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，由根的判別式Δ＝?3＜0，可得出該方程無實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出不能增加生產(chǎn)線，使得每季度生產(chǎn)內(nèi)存芯片4820萬個(gè)．【小問1詳解】解：設(shè)前三季度生產(chǎn)量的平均增長率為x，依題意得：200（1＋x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝?2.2（不合題意，舍去），答：前三季度生產(chǎn)量的平均增長率20%；【小問2詳解】解：①設(shè)增加m條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（600?20m）萬個(gè)/季度，依題意得：（1＋m）（600?20m）＝2600，整理得：m2?29m＋100＝0，解得：m1＝4，m2＝25，∵在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入，∴m＝4，答：應(yīng)該增加4條生產(chǎn)線；②不能．理由如下：設(shè)增加a條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（600?20a）萬個(gè)/季度，依題意得：（1＋a）（600?20a）＝4820，整理得：a2＋29a＋211＝0，∵b2?4ac＝292?4×1×211＝?3＜0，∴該方程無實(shí)數(shù)根，∴不能增加生產(chǎn)線，使得每季度生產(chǎn)內(nèi)存芯片4820萬個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）①找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；②牢記對(duì)于一元二次方程“當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根”．27.如圖，在正方形中，，E是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)E落在延長線上的點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處；再將線段繞點(diǎn)F按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）求證：；（2）求點(diǎn)C、A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的弧、弧與線段所圍成的陰影部分的面積．