眾數(shù)中位數(shù)和平均數(shù)

關(guān)于眾數(shù)中位數(shù)和平均數(shù)問題提出在前面幾節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了用圖、表來(lái)組織樣本數(shù)據(jù)，用樣本的分布情況估計(jì)總體的分布情況。為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們還應(yīng)從哪些方面來(lái)對(duì)總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究？一、用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)來(lái)反映總體的平均狀況二、用方差和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)反映總體的波動(dòng)狀況第2頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天目標(biāo)導(dǎo)學(xué)1、正確理解眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念，能夠計(jì)算和估計(jì)樣本的數(shù)字特征。2、通過對(duì)樣本數(shù)據(jù)提取的基本數(shù)字特征進(jìn)行合理的解釋，進(jìn)一步體會(huì)統(tǒng)計(jì)的思想，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和能力。第3頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、了解眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛.第4頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天平均數(shù):

一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即

x=

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．第5頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天

練習(xí)1:在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆悍謩e求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)。二、學(xué)會(huì)求眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)第6頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75．上面表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

答：17名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.第7頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天

練習(xí)2:在某賽季中，甲運(yùn)動(dòng)員在15場(chǎng)比賽的得分如下：

12，15，24，25，31，31，31，36，37，44，49，50，53，53，62分別求甲運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)。問：如果上面的數(shù)據(jù)改為：12，15，24，25，31，31，31，36，37，44，49，50，53，53，102眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)的結(jié)果有何改變？第8頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天

練習(xí)3:已知100位居民月均用水量的頻率分布表和頻率分布直方圖（課本67頁(yè)），試求出該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)

下面，讓我們看看從原始數(shù)據(jù)中得到的三個(gè)量的值分別是多少。思考：你能解釋為什么結(jié)果不同嗎？第9頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天

歸納：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系

1.眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。第10頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)第11頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.在樣本中，有50％的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。第12頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)第13頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點(diǎn)。等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積（即落在該組中的頻率）乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（組中值）之和。第14頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)第15頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)4.某校學(xué)生日睡眠時(shí)間的抽樣頻率分布見下表:試估計(jì)該校學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間第16頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)5.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機(jī)抽查了50名學(xué)生,得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù),結(jié)果用如圖所示的條形圖表示,根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為()A.0.6hB.0.9hC.1.0hD.1.5h時(shí)間(h)人數(shù)5102000.51.01.52.0B第17頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)6：”八.一”前夕,某中學(xué)舉行國(guó)防知識(shí)競(jìng)賽:滿分為100分,80分以上為優(yōu)秀,現(xiàn)將高一的兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的第一、第二、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.3,0.4,0.15,0.1,0.05506070809010000.0050.0100.0150.030.04

求：（1）成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)；（2）平均成績(jī)頻率/組距第18頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天三三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)1.眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對(duì)其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)法客觀地反映總體特征.如前面例中眾數(shù)是2.25t,它告訴我們,月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其它數(shù)值的居民數(shù)多,但它并沒有告訴我們多多少.第19頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天

2.中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)。如上例中假設(shè)有某一用戶月均用水量為10t，那么它所占頻率為0.01,幾乎不影響中位數(shù),但顯然這一極端值是不能忽視的。第20頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3.由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)。也正因如此，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)時(shí)可靠性降低。第21頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)7某工廠人員及工資構(gòu)成如下：（1）指出這個(gè)問題中周工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（2）這個(gè)問題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？第22頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天

分析：眾數(shù)為200，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300。因平均數(shù)為300，由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平。評(píng)注:平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大,妨礙了對(duì)總體估計(jì)的可靠性,這時(shí)平均數(shù)反而不如眾數(shù)、中位數(shù)更客觀。第23頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)8.從甲、乙、丙三個(gè)產(chǎn)品中，各抽出8件產(chǎn)品，對(duì)其使用壽命進(jìn)行跟蹤調(diào)查，結(jié)果如下（單位：年）甲：3，4，5，6，8，8，8，10乙：4，6，6，6，8，9，12，13丙：3，3，4，7，9，10，11，12三家廣告中都稱該種產(chǎn)品的使用壽命是8年，請(qǐng)根據(jù)調(diào)查結(jié)果判斷廠家在廣告中分別運(yùn)用了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中哪一種集中趨勢(shì)的特征數(shù)。第24頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天小結(jié)：1、正確理解眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念；2、能夠計(jì)算和估計(jì)樣本的數(shù)字特征（尤其是利用頻率分布表和直方圖）。3、通過對(duì)樣本數(shù)據(jù)提取的基本數(shù)字特征進(jìn)行合理的解釋，體會(huì)三個(gè)特征的優(yōu)缺點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)統(tǒng)計(jì)的思想，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和能力。第25頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二課時(shí)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布第26頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天目標(biāo)導(dǎo)學(xué)1、通過實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用。學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn)。2、會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。第27頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天統(tǒng)計(jì)的基本思想方法

用樣本估計(jì)總體，即通常不直接去研究總體，而是通過從總體中抽取一個(gè)樣本，根據(jù)樣本的情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況.第28頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天統(tǒng)計(jì)的核心問題

如何根據(jù)樣本的情況對(duì)總體的情況作出一種推斷.這里包括兩類問題：一類是如何從總體中抽取樣本?另一類是如何根據(jù)對(duì)樣本的整理、計(jì)算、分析,對(duì)總體的情況作出推斷.第29頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天

用樣本的有關(guān)情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況,這種估計(jì)大體分為兩類，一類是用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，一類是用樣本的某種數(shù)字特征（例如平均數(shù)、方差等）去估計(jì)總體的相應(yīng)數(shù)字特征。

整體介紹第30頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天

將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個(gè)組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，叫做該組的頻數(shù)。頻率：每組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)除以全體數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的商叫做該組的頻率。根據(jù)隨機(jī)抽取樣本的大小，分別計(jì)算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的分布規(guī)律（取值狀況），就叫做樣本的頻率分布。第31頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天說(shuō)明：樣本頻率分布與總體頻率分布有什么關(guān)系？通過樣本的頻數(shù)分布、頻率分布可以估計(jì)總體的頻率分布.第32頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天如何用樣本的頻率分布

估計(jì)總體分布？第33頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一

城市缺水問題較為突出。第34頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天1：某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a,用水量不超過a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過a的部分按議價(jià)收費(fèi)。第35頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天①如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理呢？②為了較合理地確定這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，你認(rèn)為需要做哪些工作？提出問題第36頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天

思考：由上表，大家可以得到什么信息？

第37頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天

1.求極差：

步驟：

頻率分布直方圖

2.決定組距與組數(shù)：組數(shù)=4.3-0.2=4.14.10.5=8.2組距極差=3.將數(shù)據(jù)分組［0，0.5)，［0.5，1)，…，［4，4.5］

第38頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.列頻率分布表第39頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天100位居民月平均用水量的頻率分布表第40頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天頻率/組距月平均用水量/t0.500.400.300.200.100

0.511.522.533.544.5

5.畫頻率分布直方圖第41頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、求極差，即數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差二、決定組距與組數(shù)：組距=極差/組數(shù)三、分組,通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間，取左閉右開區(qū)間

,最后一組取閉區(qū)間四、登記頻數(shù),計(jì)算頻率,列出頻率分布表畫一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,可以按以下的步驟進(jìn)行:五、畫出頻率分布直方圖（縱軸表示頻率／組距）第42頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)1.有一個(gè)容量為50的樣本數(shù)據(jù)的分組的頻數(shù)如下：［12.5,15.5）3［15.5,18.5）8［18.5,21.5）9［21.5,24.5）11［24.5,27.5）10［27.5,30.5）5［30.5,33.5）4(1)列出樣本的頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì),數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5）的百分比是多少?第43頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天解:組距為3

分組頻數(shù)頻率頻率/組距［12.5,15.5）3［15.5,18.5）8［18.5,21.5）9［21.5,24.5）11［24.5,27.5）10［27.5,30.5）5［30.5,33.5）40.060.160.180.220.200.100.080.0200.0530.0600.0730.0670.0330.027第44頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天頻率分布直方圖如下：頻率組距0.0100.0200.0300.04