8.3.2-第一課時-圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積第一課時圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.知道圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積的計算公式.2.能用公式解決簡單的實際問題.在計算圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積的過程中，要把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并進行計算，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).教材知識探究如圖是工廠生產(chǎn)的各種金屬零件，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域的各個方面.問題(1)如果已知制作零件的金屬的密度，如何求出這些零件的質(zhì)量？(2)如圖所示的零件都是旋轉(zhuǎn)體，其側(cè)面都是曲面，如何求其表面積？提示(1)先求出金屬零件的體積，再求其質(zhì)量.(2)求其側(cè)面展開圖的面積，再加上底面面積就是其表面積.1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積圖形表面積和體積圓柱S圓柱＝2πr(r＋l)(r是底面半徑，l是母線長)V圓柱＝πr2h(r是底面半徑，h是高)圓錐S圓錐＝πr(r＋l)(r是底面半徑，l是母線長)V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半徑，h是高)圓臺S圓臺＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分別是上、下底面半徑，l是母線長)V圓臺＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分別是上、下底面半徑，h是高)2.柱體、錐體、臺體的體積公式V柱體＝Sh(S為底面面積，h為柱體高)；V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為錐體高)；V臺體＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S分別為上、下底面面積，h為臺體高).教材拓展補遺[微判斷]1.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其中扇形的弧長為圓錐底面圓的周長.(√)2.若圓柱的底面圓的直徑與圓柱的高相等，則圓柱的側(cè)面展開圖是正方形.(×)3.求圓臺的表面積和體積時，常用“還臺為錐”的思想方法.(√)提示2.設(shè)圓柱的底面圓的半徑為r，所以圓柱的側(cè)面展開圖的兩邊分別為2πr，2r，二者不相等，故側(cè)面展開圖不是正方形.[微訓(xùn)練]1.若圓錐的底面半徑為eq\r(3)，高為1，則圓錐的體積為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2) C.π D.2π解析V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×3×1＝π.答案C2.一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是()A.eq\f(1＋2π,2π) B.eq\f(1＋2π,4π)C.eq\f(1＋2π,π) D.eq\f(1＋4π,2π)解析設(shè)底面圓半徑為r，母線長為h，∴h＝2πr，則eq\f(S表,S側(cè))＝eq\f(2πr2＋2πrh,2πrh)＝eq\f(r＋h,h)＝eq\f(r＋2πr,2πr)＝eq\f(1＋2π,2π).答案A[微思考]求圓柱、圓錐、圓臺的表面積時，關(guān)鍵是什么？提示求圓柱、圓錐的表面積時，關(guān)鍵是求其母線長與底面的半徑；求圓臺的表面積時，關(guān)鍵是求其母線長與上、下底面的半徑.題型一求圓柱、圓錐、圓臺的表面積【例1】圓錐的高和底面半徑相等，它的一個內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等.求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比.解如圖所示，設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑分別為r，R，則有eq\f(r,R)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(r,R)＝eq\f(1,2)，∴R＝2r，圓錐的母線長l＝eq\r(2)R，∴eq\f(S圓柱表,S圓錐表)＝eq\f(2πr2＋2πr2,πR·\r(2)R＋πR2)＝eq\f(4πr2,（\r(2)＋1）πR2)＝eq\f(4r2,（\r(2)＋1）4r2)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.規(guī)律方法求旋轉(zhuǎn)體表面積的要點(1)因為軸截面聯(lián)系著母線、底面半徑、高等元素，因此處理好軸截面中邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵；(2)對于圓臺問題，要重視“還臺為錐”的思想方法；(3)在計算圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積或表面積時，應(yīng)根據(jù)已知條件先計算出它們的母線和底面圓半徑的長，而求解這些未知量常常需要列方程.【訓(xùn)練1】圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的表面積為574π，則圓臺較小的底面半徑為________.解析設(shè)圓臺較小的底面半徑為r，那么較大的底面半徑為3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.答案7題型二求圓柱、圓錐、圓臺的體積eq\a\vs4\al(求底面半徑和高是關(guān)鍵)【例2】(1)設(shè)圓臺的高為3，如圖，在軸截面中母線AA1與底面直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對角線垂直于腰，則圓臺的體積為________.解析設(shè)上、下底面半徑，母線長分別為r，R，l.作A1D⊥AB于點D，則A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴AD＝eq\f(A1D,tan60°)＝eq\r(3)，∴R－r＝eq\r(3).BD＝A1D·tan60°＝3eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3)，而h＝3.∴V圓臺＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(1,3)π×3×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]＝21π.∴圓臺的體積為21π.答案21π(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC繞其斜邊AC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周后，所形成的幾何體的體積是多少？解由題意，所形成的幾何體為兩個圓錐的組合體，如圖所示，兩個圓錐的底面半徑為斜邊上的高BD，且BD＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(12,5)，兩個圓錐的高分別為AD和DC，所以V＝V1＋V2＝eq\f(1,3)πBD2·AD＋eq\f(1,3)πBD2·CD＝eq\f(1,3)πBD2·(AD＋CD)＝eq\f(1,3)πBD2·AC＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))eq\s\up12(2)×5＝eq\f(48,5)π.故所形成的幾何體的體積是eq\f(48,5)π.規(guī)律方法求圓柱、圓錐、圓臺的體積的關(guān)鍵是求其底面面積和高，其中高一般利用幾何體的軸截面求得，一般是由母線、高、半徑組成的直角三角形中列出方程并求解.【訓(xùn)練2】若一個圓柱與圓錐的高相等，且軸截面面積也相等，那么圓柱與圓錐的體積之比是()A.1 B.1∶2C.eq\r(3)∶2 D.3∶4解析設(shè)圓柱、圓錐的高都為h，底面半徑分別為r，R，則有eq\f(1,2)·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2h＝eq\f(4,3)πr2h，V圓柱＝πr2h，故V圓柱∶V圓錐＝3∶4.答案D題型三求組合體的表面積和體積eq\a\vs4\al(分割為規(guī)則的幾何體求其表面積、體積之和，保證不重不漏)【例3】如圖所示，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)依次是AB，AC的中點，AD⊥BC，EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，D，H，G為垂足，若將正三角形ABC繞AD旋轉(zhuǎn)180°，求陰影部分形成的幾何體的表面積和體積.解由題意知，旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個圓錐，從下面挖去一個圓柱，且圓錐的底面半徑為2，高為2eq\r(3)，圓柱的底面半徑為1，高為eq\r(3).所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成：圓錐的底面、側(cè)面，圓柱的側(cè)面.S圓錐底面＝4π，S圓錐側(cè)＝8π，S圓柱側(cè)＝2eq\r(3)π，故所求幾何體的表面積為：4π＋8π＋2eq\r(3)π＝12π＋2eq\r(3)π.所求旋轉(zhuǎn)體的體積為大圓錐的體積減去里面小圓柱的體積，即V旋轉(zhuǎn)體＝eq\f(1,3)×π×22×2eq\r(3)－π×12×eq\r(3)＝eq\f(5\r(3),3)π，故所求旋轉(zhuǎn)體的體積為eq\f(5\r(3),3)π.規(guī)律方法組合體體積與表面積的求解策略：(1)首先應(yīng)弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面應(yīng)怎樣求其面積，然后把這些面的面積相加或相減；求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，然后再相加或相減.(2)在求組合體的表面積、體積時要注意“表面(和外界直接接觸的面)”與“體積(幾何體所占空間的大小)”的定義，以確保不重復(fù)、不遺漏.【訓(xùn)練3】如圖所示，在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(5,3)π B.eq\f(4,3)π C.eq\f(2,3)π D.2π解析由題意，旋轉(zhuǎn)而成的幾何體是圓柱，挖去一個圓錐(如圖)，該幾何體的體積為π×12×2－eq\f(1,3)×π×12×1＝eq\f(5,3)π.答案A一、素養(yǎng)落地1.通過了解幾何體的結(jié)構(gòu)特征，從而計算圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，提升直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.若圓錐的底面半徑為1，高為eq\r(3)，則圓錐的表面積為()A.π B.2π C.3π D.4π解析設(shè)圓錐的母線長為l，則l＝eq\r(3＋1)＝2，所以圓錐的表面積為S＝π×1×(1＋2)＝3π.答案C2.圓臺的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為()A.3 B.4 C.5 D.6解析由題意知V＝eq\f(1,3)(π＋2π＋4π)h＝7π，故h＝3.答案A3.設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________.解析設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2.由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πreq\o\al(2,1),πreq\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，∴eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1)h1,πreq\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)4.圓柱有一個內(nèi)接長方體AC1，長方體體對角線長是10eq\r(2)cm，圓柱的側(cè)面展開平面圖為矩形，此矩形的面積是100πcm2，求圓柱的體積.解設(shè)圓柱底面半徑為rcm，高為hcm.如圖所示，則圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內(nèi)接長方體的體對角線長，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2r）2＋h2＝（10\r(2)）2，,2πrh＝100π，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝5，,h＝10.))∴V圓柱＝Sh＝πr2h＝π×52×10＝250π(cm3).∴圓柱體積為250πcm3.基礎(chǔ)達標(biāo)一、選擇題1.一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長為()A.2 B.2eq\r(2) C.4 D.8解析圓臺的軸截面如圖，由題意知，l＝eq\f(1,2)(r＋R)，S圓臺側(cè)＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l(xiāng)＝4.答案C2.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A.4π B.3π C.2π D.π解析底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故選C.答案C3.如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為()A.5π B.6π C.20π D.10π解析用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.答案D4.若一個圓臺如圖所示，則其側(cè)面積等于()A.6 B.6πC.3eq\r(5)π D.6eq\r(5)π解析∵圓臺的母線長為eq\r(（2－1）2＋22)＝eq\r(5)，∴S圓臺側(cè)＝π(1＋2)·eq\r(5)＝3eq\r(5)π.答案C5.半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為()A.eq\f(\r(3),24)πR3 B.eq\f(\r(3),8)πR3C.eq\f(\r(5),24)πR3 D.eq\f(\r(5),8)πR3解析設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，則有2πr＝πR，則r＝eq\f(1,2)R.又由已知，得圓錐母線長為R，所以圓錐的高h＝eq\r(R2－r2)＝eq\f(\r(3),2)R，故體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(3),24)πR3.答案A二、填空題6.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________.解析設(shè)新的底面半徑為r，則有eq\f(1,3)×πr2×4＋πr2×8＝eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).答案eq\r(7)7.一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形，則它們的表面積之比為________.解析S圓柱＝2·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋2π·eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))·a＝eq\f(3,2)πa2，S圓錐＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(3,4)πa2，∴S圓柱∶S圓錐＝2∶1.答案2∶18.圓臺上、下底面的面積分別為π，4π，側(cè)面積為6π，則這個圓臺的體積是________.解析由已知得兩底面半徑分別為r＝1，R＝2，又S側(cè)＝6π，所以π(1＋2)·l＝6π，所以l＝2，則h＝eq\r(l2－（R－r）2)＝eq\r(3)，所以體積V＝eq\f(1,3)π×eq\r(3)×(12＋1×2＋22)＝eq\f(7\r(3),3)π.答案eq\f(7\r(3),3)π三、解答題9.已知底面半徑為eq\r(3)cm，母線長為eq\r(6)cm的圓柱，挖去一個以圓柱上底面圓心為頂點、下底面為底面的圓錐，求所得幾何體的表面積.解如圖所示，所得幾何體的表面積為S＝S底＋S柱側(cè)＋S錐側(cè)＝π(eq\r(3))2＋2π×eq\r(3)×eq\r(6)＋π×eq\r(3)×3＝(3＋6eq\r(2)＋3eq\r(3))π(cm2).10.已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H，在其內(nèi)部有一個高為x的內(nèi)接圓柱.(1)求圓柱的側(cè)面積；(2)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？解(1)作圓錐的軸截面，如圖所示.因為eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，所以r＝R－eq\f(R,H)x，所以S圓柱側(cè)＝2πrx＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2(0<x<H).(2)因為－eq\f(2πR,H)<0，所以當(dāng)x＝eq\f(2πR,\f(4πR,H))＝eq\f(H,2)時，S圓柱側(cè)最大.故當(dāng)x＝eq\f(H,2)時，即圓柱的高為圓錐高的一半時，圓柱的側(cè)面積最大.能力提升11.體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積是()A.54 B.54π C.58 D.58π解析設(shè)上底面半徑為r，則由題意求得下底面半徑為3r，設(shè)圓臺高為h1，則52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圓錐的高為h，由相似知識得eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h(huán)1,h)，∴h＝eq\f(3,2)h1，∴V原圓錐＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54.答案A12.圓臺的母線長為8cm，母線與底面成60°角，軸截面的兩條對角線互相垂直，求圓臺的表面積.解如圖所示的是圓臺的軸截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，過A1作A1H⊥AB于H，則O1O＝A1H＝A1A·sin60°＝4eq\r(3)(cm)，AH＝A1A·cos60°＝4(cm).設(shè)O1A1＝r1，OA＝r2，則r2－r1＝AH＝4.①設(shè)A1B與AB1的交點為M，則A1M＝B1M.又∵A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝