留數定理在定積分中的應用xin

1、學號:20105034040本科畢業(yè)論文學 院 數學與信息科學學院 專 業(yè) 信息與計算科學 年 級 2010級4班 姓 名 張松玲 論文題目 留數定理及其在積分中的應用 指導教師 馮志敏 職稱 講師 2014 年 03 月 28 日 目 錄摘 要1關鍵詞1ABSTRACT1KEY WORDS10前言11留數定義及留數定理21.1留數的定義21.2留數定理22留數定理在定積分中的應用32.1形如型的積分32.2形如型的積分42.3形如型的積分52.3.1留數公式52.4形如和型積分62.5 計算積分路徑上有奇點的積分 83通過留數定理推出其他重要公式 93.1 留數定理推出柯西-古薩定理 93.

2、2 留數定理推出高階導數公式10參考文獻12留數定理及其在定積分中的應用 姓名:張松玲 學號:20105034040 學院:數學學院 專業(yè):信息與計算科學 指導教師:馮志敏 職稱:講師 摘 要:本文首先介紹留數定義及留數定理,然后針對具體不同的積分類型舉例說明幾類特殊函數的定積分.可以看出有使用實積分理論計算很困難甚至無法計算時,利用留數定理能收到很好的效果.關鍵詞: 留數定理；定積分；應用Theorem of Residues and its applicationsAbstract: In thesis, we introduce the definition of residue and

3、 obtain the theorem of residues. By using some examples, we explain the computation of definite integrals of some kind of special functions. From these, we know that the theorem of residues is a good method to compute some definite integrals which are difficult or unable to be computed in real integ

4、ral theory.Key words: theorem of residues; definite integral; application0前 言留數,也稱殘數,是指函數在其孤立奇點處的積分. 綜觀復分析理論的早期發(fā)展,這一概念的提出對認識孤立奇點的分類及各類奇點之間的關系具有十分重要的意義. 同時,它將求解定積分的值的方法推進到一個新的階段,通過函數的選取,積分路徑的選取等等,求解出了許多被積函數的原函數解不出來的情況,為積分理論的發(fā)展奠定了充分的基礎1.1825 年,柯西(Cauchy) 在其關于積分限為虛數的定積分的報告中,基于與計算實積分問題的情形的類比,處理了復積分的相關問題

5、,并給出了關于留數的定義. 隨后,柯西進一步發(fā)展和完善留數的概念,形成了如下定義:若函數在上全純,其中. 為的孤立奇點, 在的留數定義為.柯西所給的這一定義一直沿用到了現在,推廣到了微分方程,級數理論及其他一些學科, 并在相關學科中產生了深遠影響, 成為一個極其重要的概念. 因而很自然地產生了這樣一個問題:柯西為什么要定義這一概念或者說,什么因素促使柯西提出了留數的定義顯然這一問題對于全面再現柯西的數學思想,揭示柯西積分理論乃至整個復分析研究的深層動機等具有極為重要的理論意義和歷史意義. 具體思路: 留數理論是復積分和復級數理論相結合的產物,利用留數定理可以把沿閉路的積分轉化為計算孤立點處的留

6、數.此外,在數學分析及實際問題中,往往一些被積函數的原函數不能用初等函數表示,有時即便可以,計算也非常復雜.我們利用留數定理可以把要求的積分轉化為復變函數沿閉曲線的積分,從而把待求積分轉化為留數計算. 1留數定義及留數定理1.1留數的定義設函數以有限點為孤立點,即在點的某個去心鄰域內解析,則積分為在點的留數,記為: .1.2留數定理介紹留數定理之前,我們先來介紹復周線的柯西積分定理:設是由復周線所圍成的有界連通區(qū)域,函數在內解析,在上連續(xù),則.定理1 （留數定理） 設在周線或復周線所范圍的區(qū)域內,除外解析,在閉域上除外連續(xù),則（“大范圍”積分） （1）證明 以為心,充分小的正數為半徑畫圓周（）

7、使這些圓周及內部均含于,并且彼此相互隔離,應用復周線的柯西定理得,由留數的定義,有特別地,由定義得 ,代入（1）式得 .2 留數定理在定積分中的應用利用留數計算定積分或反常積分沒有普遍的實用通法,我們只考慮幾種特殊類型的積分.2.1形如型的積分這里表示的有理函數,并且在上連續(xù),把握此類積分要注意,第一:積分上下限之差為,這樣當作定積分時從經歷變到,對應的復變函數積分正好沿閉曲線繞行一周.第二:被積函數是以正弦和余弦函數為自變量。當滿足這兩個特點之后,我們可設,則, 得 .例1 計算.解 令,則 = = .例2 計算.解 由于分母有兩個根,其中,因此 .2.2形如型的積分把握此類積分要注意,首先

8、分析其函數特點,函數必須滿足一下兩條才能適用.第一: ,其中P(z), Q(z)均為關于的多項式,且分母的次數至少比分子的次數高兩次；第二:在半平面上的極點為（1,2,3,）,在實軸上的極點為（1,2,3,）則有.例3 計算.解 取,孤立點為,其中落在上半平面的為,故.例4 計算.解 由于,且上半平面只有一個極點,因此 .2.3形如型的積分2.3.1留數公式定理2 （若爾當引理）設函數沿半徑圓周（）上連續(xù),且在上一致成立,則.證明 ,使當時,有 于是 （2）這里利用了 以及于是由若爾當不等式（）將（2）化為 ,即 .例5 計算.解 不難驗證,函數滿足若爾當引理條件.這里,函數有兩個一階極點及,

9、于是 .2.4形如和型積分定理3 設,其中和是互質多項式,并且符合條件:（1）的次數比的次數高；（2）在實軸上Q(x)0；（3）.則有 . （3）特別地,將（3）式分開實虛部,就可用得到形如及的積分.例6 計算.解 利用以及若爾當引理,且分母在上半圓只有兩個孤立奇點和,得到 例7 計算（）.解 被積函數為偶函數,所以設函數關系式為,它共有四個一階極點,即（）得 ,因為,所以在上半面只有兩個一階極點及,于是 ,故 .2.5 計算積分路徑上有奇點的積分在數學分析中,對于瑕積分,也可以類似的定義它的柯西主值,又在定理31中假定Q（X）無實零點,現在我們可以把條件方寬一點,允許Q（X）有多個一階零點,

10、即允許函數在實軸上有有限個一階極點,為了估計挖去這種極點后沿輔助路徑的積分,除了上面兩個引理外,再引進一個與引理6.1相似的引理.引理41 . 設沿圓弧 (,r充分小)上連續(xù),且 于上一致成立,則有.證明 因為.=,于是有.得知上式在r充分小時,其值不超過任意給定的正數.例8 計算積分解 存在,且 = .考慮函數沿圖所示之閉曲線路徑C的積分根據柯西積分定理得 或寫成 （8.1）這里及分別表示圓周及 由引理2 知 .由引理41 知在（8.1）中,令的主值.所以 = =3通過留數定理推出其他的重要公式3.1 留數定理推出柯西-古薩定理柯西-古薩定理陳述為: 如果函數在單連域B內處處解析, 那么函數

11、沿B內的任一條封閉曲線 的積分為零:證明 是簡單閉曲線,若曲線 是簡單閉曲線, 由于在單連域 內處處解析, 所以 在曲線 內的各點處的洛朗展開式就是泰勒展開式, 由留數的定義得,所以 若不是簡單閉曲線的時候,可以把分成若干個簡單閉曲線,利用復積分的性質。很快得出柯西-古薩定理3.2 留數定理推出高階導數公式高階導數公式可敘述為: ) ,其中是環(huán)繞的任何一條正向簡單閉曲線,在所圍成的閉區(qū)域上處處解析。證明 分兩種情況討論若,則是函數的階極點,則, .若在為的階零點,則 其中在處解析,且 .當時 ()當時,上式為0; 當時上式為從而,為的可去奇點,.所以 .又因為為的階零點,所以 ,因為,所以故 當時為的階極點,我們可以認為為的階極點,則所以就有.所以,留數定理也可以推出解析函數的高階導數公式。參考文獻1 鐘玉泉.復變函數論M.高等教