向量及其線性運算

關(guān)于向量及其線性運算四、利用坐標作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運算

第八章第2頁,共43頁，2024年2月25日，星期天向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或或第3頁,共43頁，2024年2月25日，星期天自由向量：不考慮起點位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標系中任一點

與原點構(gòu)成的向量.第4頁,共43頁，2024年2月25日，星期天規(guī)定:零向量與任何向量平行

;平行向量：若向量

a與

b方向相同或相反,a與

b平行,

a∥b;記作則稱

向量共線：當兩個平行向量的起點放在同一

點時，它們的終點和公共起點應在一條直線上

.因此，兩向量平行又稱兩向量共線.時，如果個終點和公共起點在一個平面上

.

就稱這個向量共面.向量共面：當把個向量的起點放在同一

點第5頁,共43頁，2024年2月25日，星期天二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律

:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加

.第6頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第7頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.向量的減法三角不等式一般地，任給向量及點第8頁,共43頁，2024年2月25日，星期天3、向量與數(shù)的乘法數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：第9頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例1.

設(shè)M

為解:ABCD對角線的交點,第10頁,共43頁，2024年2月25日，星期天按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量.兩個向量的平行關(guān)系第11頁,共43頁，2024年2月25日，星期天證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得第12頁,共43頁，2024年2月25日，星期天ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念Ⅰ第13頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,沿三個坐標軸方向的分向量.此式稱為向量

r

的坐標分解式

,任意向量

r

可用向徑

OM

表示.第14頁,共43頁，2024年2月25日，星期天向徑在直角坐標系下坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點

A,B,C點

M特殊點的坐標

:有序數(shù)組(稱為點

M

的坐標)原點

O(0,0,0);第15頁,共43頁，2024年2月25日，星期天坐標軸:

坐標面:第16頁,共43頁，2024年2月25日，星期天四、利用坐標作向量的線性運算設(shè)則平行向量對應坐標成比例:第17頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例2.已知兩點在AB直線上求一點

M,

使解:

設(shè)

M

的坐標為如圖所示及實數(shù)得即第18頁,共43頁，2024年2月25日，星期天說明:由得定比分點公式:點

M為

AB

的中點

,于是得中點公式:第19頁,共43頁，2024年2月25日，星期天五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與第20頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例3.在

z

軸上求與兩點等距解:

設(shè)該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?離的點

.第21頁,共43頁，2024年2月25日，星期天提示:(1)設(shè)動點為利用得(2)設(shè)動點為利用得且例4.已知兩點和解:求第22頁,共43頁，2024年2月25日，星期天解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向或第23頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量

任取空間一點

O,稱

=∠AOB(0≤

≤

)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角

.與三坐標軸方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.的夾角

,

,

為其方向角.第24頁,共43頁，2024年2月25日，星期天方向余弦的性質(zhì):第25頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例6.已知兩點和的模、方向余弦和方向角

.解:計算向量第26頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例7.設(shè)點

A

位于第一卦限,解:已知角依次為求點

A

的坐標

.則因點

A

在第一卦限

,故于是故點

A

的坐標為

向徑

OA

與

x

軸

y軸的夾

第27頁,共43頁，2024年2月25日，星期天解第28頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第29頁,共43頁，2024年2月25日，星期天3.向量在軸上的投影空間一點在軸上的投影第30頁,共43頁，2024年2月25日，星期天空間向量在軸上的投影

稱為向量在軸上的分向量.設(shè)數(shù)稱為向量在軸上的投影，記作或第31頁,共43頁，2024年2月25日，星期天設(shè)則或記作向量投影的性質(zhì)性質(zhì)1其中為向量與軸的夾角性質(zhì)2性質(zhì)3第32頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例8一向量的終點在點，它在軸、

軸、軸上的投影依次為.求這向量的起點的坐標.解

設(shè)

的坐標為由已知可得所以即解例9已知，它與的夾角為，求.第33頁,共43頁，2024年2月25日，星期天解第34頁,共43頁，2024年2月25日，星期天向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與標量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）四、小結(jié)向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標.（注意分向量與向量的坐標的區(qū)別）向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標.向量在軸上的投影與投影定理.第35頁,共43頁，2024年2月25日，星期天思考題1已知平行四邊形ABCD的對角線試用表示平行四邊形四邊上對應的向量.解答第36頁,共43頁，2024年2月25日，星期天思考題2解答對角線的長為第37頁,共43頁，2024年2月25日，星期天練習題1第38頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第39頁