二次函數(shù)的應(yīng)用

關(guān)于二次函數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用，日常生活中，工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及商業(yè)活動(dòng)中，方案的最優(yōu)化、最值問(wèn)題，如盈利最大、用料最省、設(shè)計(jì)最佳、距離最近等都與二次函數(shù)有關(guān)。第2頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天學(xué)習(xí)目標(biāo)1、能根據(jù)實(shí)際情景學(xué)會(huì)建立二次函數(shù)模型；2、運(yùn)用二次函數(shù)的配方法或公式法求出最大值或最小值；3、學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。第3頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天想一想如何求下列函數(shù)的最值：

(1)y＝√２x2＋４x＋５第4頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2：

如圖，Ｂ船位于Ａ船正東２６ＫＭ處，現(xiàn)在Ａ，Ｂ兩船同時(shí)出發(fā)，A船以１２Km/h的速度朝正北方向行駛，B船以５Km/h的速度朝正西方向行駛，何時(shí)兩船相距最近？最近距離是多少？①設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)后，Ａ、Ｂ兩船分別到達(dá)A’、B’如圖），則兩船的距離Ｓ（A’B’）應(yīng)為多少

?

②如何求出S的最小值？AB東北實(shí)際生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題A,B,第5頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天如何運(yùn)用二次函數(shù)求實(shí)際問(wèn)題中的最大值或最小值?

復(fù)習(xí)小結(jié)首先應(yīng)當(dāng)求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍，然后通過(guò)配方法變形，或利用公式法求它的最大值或最小值。注意：在此求得的最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi)

.第6頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天某飲料經(jīng)營(yíng)部每天的固定成本為200元，其銷(xiāo)售的飲料每瓶進(jìn)價(jià)為5元。銷(xiāo)售單價(jià)與日均銷(xiāo)售量的關(guān)系如下：例3：①若記銷(xiāo)售單價(jià)比每瓶進(jìn)價(jià)多X元，日均毛利潤(rùn)（毛利潤(rùn)=日均銷(xiāo)售量×單件利潤(rùn)-固定成本）為y元，求y關(guān)于X的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；②若要使日均毛利潤(rùn)達(dá)到最大，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元（精確到０.１元）？最大日均毛利潤(rùn)為多少元？銷(xiāo)售單價(jià)（元）6789101112日均銷(xiāo)售量（瓶）480440400360320280240第7頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天問(wèn)題4：某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)40元一個(gè)的某種商品按50元一個(gè)售出時(shí)，能賣(mài)出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)一元，銷(xiāo)量減少10個(gè)，為賺得最大利潤(rùn)，售價(jià)定為多少？最大利潤(rùn)是多少？分析：利潤(rùn)=（每件商品所獲利潤(rùn)）×

（銷(xiāo)售件數(shù)）設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元，那么（3）銷(xiāo)售量可以表示為（1）銷(xiāo)售價(jià)可以表示為（50+x）元（x≥0，且為整數(shù)）(500-10x)

個(gè)（2）一件商品所獲利潤(rùn)可以表示為（50+x-40）元（4）共獲利潤(rùn)y可以表示為(50+x-40)(500-10x)元第8頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天答：定價(jià)為70元/個(gè)，此時(shí)利潤(rùn)最高為9000元.

解：

y=(50+x-40)(500-10x)

=-10x2+400x+5000(0≤x≤50,且為整數(shù))

=-10（x-20）2+9000第9頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)：

2、有一種大棚種植的西紅柿，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)，其單位面積的產(chǎn)量與這個(gè)單位面積種植的株數(shù)成構(gòu)成一種函數(shù)關(guān)系。每平方米種植4株時(shí)，平均單株產(chǎn)量為2kg；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少kg。問(wèn)每平方米種植多少株時(shí)，能獲得最大的產(chǎn)量？最大的產(chǎn)量為多少？第10頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天作業(yè)xyoA

如圖，有一次,籃球運(yùn)動(dòng)員姚明在距籃下4m處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)運(yùn)行的水平距離2.5m時(shí)，達(dá)到最大高度然后準(zhǔn)確落入籃圈。已知籃圈中心面的距離為3.05m.3.05

m2.5m3.5m4m（1）籃球運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)解析式和自變量取值范圍（2）球在空中運(yùn)動(dòng)離地的最大高度第11頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天完成課本P：48作業(yè)題5一次足球訓(xùn)練中，一球員從球門(mén)正前方10m處將球射向球門(mén).當(dāng)球飛行的水平距離為6時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3m.已知球門(mén)高度為2.44m，問(wèn)球能否射入球門(mén)?10m3m6m2.44m第12頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天

心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：一般情況下，學(xué)生的注意力隨著教師講課時(shí)間的變化而變化，講課開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的注意力y隨時(shí)間t的變化規(guī)律有如下關(guān)系式：（1）講課開(kāi)始后第5分鐘時(shí)與講課開(kāi)始后第25分鐘時(shí)比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？知識(shí)拓展第13頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）講課開(kāi)始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？（3）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力最低達(dá)到180，那么經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？第14頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天ＡＢ現(xiàn)在有一條寬為２米的小船上平放著一些長(zhǎng)３米，寬２米且厚度均勻的木箱，要通過(guò)這個(gè)最大高度ＡＢ＝３米，水面跨度ＣＤ＝６米的橋洞，請(qǐng)問(wèn)這條船最高可堆放的多高？CD第15頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天x0y

h

ABD

河北省趙縣的趙州橋的橋拱是拋物線型，建立如圖所示的坐標(biāo)系，其函數(shù)的表達(dá)式為y=x2，

當(dāng)水位線在AB位置時(shí)，水面寬AB=30米，這時(shí)水面離橋頂?shù)母叨萮是（）A、5米B、6米；C、8米；D、9米125解：當(dāng)x=15時(shí)，Y=-×152=-9問(wèn)題1：第16頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天問(wèn)題2：炮彈從炮口射出后，飛行的高度h(m)與飛行時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系式是h=V0t－5t2，其中v0是炮彈發(fā)射的初速度，α是炮彈的發(fā)射角，當(dāng)V0=300（m/s）,時(shí),炮彈飛行的最大高度是m1125第17頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天問(wèn)題3：

如圖是某公園一圓形噴水池，水流在各方向沿形狀相同的拋物線落下。建立如圖所示的坐標(biāo)系，如果噴頭所在處A（0，1.25），水流路線最高處B（1，2.25），則該拋物線的表達(dá)式為。如果不考慮其他因素，那么水池的半徑至少要____米，才能使噴出的水流不致落到池外。y=－(x-1)2+2.252.5Y

OxB(1,2.25)．(0,1.25)

A第18頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天第19頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天如圖,兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照?qǐng)D中的直角坐標(biāo)系,左面的一條拋物線可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示,而且左右兩條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．⑴鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是⑵兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是

(3)右邊的拋物線解析式是Y/m

x/m

橋面

-50510小練習(xí)11米40米第20頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天問(wèn)題4:如圖，在一面靠墻的空地上用長(zhǎng)為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平米。(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；(2)當(dāng)x取何值時(shí)所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？(3)若墻的最大可用長(zhǎng)度為8米，則求圍成花圃的最大面積。ABCD第21頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天(3)∵墻的可用長(zhǎng)度為8米

∴0<24－4x≤84≤x<6∴當(dāng)x＝4m時(shí)，S最大值＝32平方米解：(1)∵AB為x米、籬笆長(zhǎng)為24米∴花圃寬為（24－4x）米(2)當(dāng)x＝時(shí)，S最大值＝＝36（平方米）∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0<x<6）第22頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天如圖，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以2cm／s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以1cm／s的速度移動(dòng)，如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā)，幾秒后ΔPBQ的面積最大？最大面積是多少？ABCPQ第23頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：根據(jù)題意，設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后ΔPBQ的面積y最大,則：AP=2xcmPB=（8-2x

）cm

QB=xcm則y=1/2x（8-2x）=-x2+4x=-（x2-4x+4

-4）=-（x-2）2

+4所以，當(dāng)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)2秒后ΔPBQ的面積y最大最大面積是4cm2（0<x<4）ABCPQ第24頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天拓展提高問(wèn)題5:如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB＝２，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相等的速度作直線運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線相交于點(diǎn)D。(1)設(shè)AP的長(zhǎng)為x，△PCQ的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)AP的長(zhǎng)為何值時(shí)，

S△PCQ=S△ABC

第25頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天即S＝(0<x<2）

∴AP=CQ=x當(dāng)P在線段AB上時(shí)S△PCQ＝CQ?PB=AP?PB解：（１）∵P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度相等第26頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)

S△PCQ＝即S＝(x>2）第27頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)當(dāng)S△PCQ＝S△ABC時(shí)，有＝２此方程無(wú)解②＝２

∴x1=1+,x2=1－(舍去)∴當(dāng)AP長(zhǎng)為1+時(shí)，S△PCQ＝S△ABC

第28頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6:某企業(yè)投資100萬(wàn)元引進(jìn)一條產(chǎn)品加工生產(chǎn)線，若不計(jì)維修、保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)計(jì)投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬(wàn)。該生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)為y(萬(wàn)元)，且y=ax2+bx,若第1年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用為2萬(wàn)元，第2年為6萬(wàn)元。（1）求y的解析式；（2）投產(chǎn)后，這個(gè)企業(yè)在第幾年就能收回投資？(五)實(shí)踐與探索題第29頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天解:（1）由題意，x=1時(shí)，y=2；x=2時(shí)，y=2+4=6,分別代入y=ax2+bx,得

a+b=2,4a+2b=6,解得:a=1,b=1,∴y=x2+x.

（2）設(shè)w＝33x-100-x2-x,則

w=-x2+32x-100=-(x-16)2+156.由于當(dāng)1≤x≤16時(shí)，w隨x的增大而增大，故當(dāng)x=4時(shí)，即第4年可收回投資。第30頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天

1、如圖所示，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于兩點(diǎn)A（x1，0）B（x2，0）（x1<x2