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1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)2§4-1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)列的收斂性及其判別法二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法三、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑四Δ、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)第2頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天3一、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)列即有序的復(fù)數(shù)集稱收斂于,若記作1.
復(fù)數(shù)列第3頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天4復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系定理此定理說(shuō)明:
可將復(fù)數(shù)列的收斂性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的收斂性.
復(fù)數(shù)列的充要條件是收斂于a第4頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天51.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).前n
項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)的前n
項(xiàng)部分和.2.
復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法設(shè)為一復(fù)數(shù)列,第5頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天62.級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念說(shuō)明:與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是:第6頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天73.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系證因定理2說(shuō)明復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題第7頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天8級(jí)數(shù)收斂的必要條件(定理3)
第8頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天9非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù).如果
收斂,那末稱級(jí)數(shù)
為絕對(duì)收斂.類似于實(shí)數(shù)級(jí)數(shù),引入絕對(duì)收斂概念第9頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天10絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)(定理4)
且有不等式成立.第10頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天11而解
是否收斂?例1數(shù)列第11頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天12例2故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.因?yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知:解第12頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天13故原級(jí)數(shù)收斂.所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.例3解第13頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天141.冪級(jí)數(shù)的概念稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。
稱為該級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的部分和.級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和三.冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑第14頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天15稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那末它的和一定第15頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天16例求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).第16頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天17函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形或這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).第17頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天182.冪級(jí)數(shù)的斂散性Abel(阿貝爾)定理如果級(jí)數(shù)在收斂,那末對(duì)的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散,那末對(duì)滿足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足第18頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天19收斂半徑的計(jì)算方法方法1(比值法)那末收斂半徑即即第19頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天20方法2(根值法)那末收斂半徑即即第20頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天21解例試求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.第21頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天224.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)第22頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天23定理4
設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為則在收斂圓內(nèi)解析.(1)它的和函數(shù)(2)(3)第23頁(yè),共26頁(yè),2024年2月25日,星期天24例把函數(shù)表成形如的冪級(jí)數(shù),其中是不相等的復(fù)常數(shù).解把函數(shù)寫(xiě)成如下的形式:代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出第24頁(yè),共26頁(yè),2024年
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