初三暑假數(shù)學初三年級上冊全冊教案補習班教案

數(shù)學課教案

課題初三暑假數(shù)學教案組名教師

時間暑假班級年級新初三課型新授課

1.一元二次方程

教學

2.圓

目標

3.二次函數(shù)

課前作業(yè)完成情況優(yōu)口良口中口差口

檢查建議：

1.1一元二次方程

一'創(chuàng)設情境，導入新知

思考以下問題如何解決：

問題1：正方形的面積是2爺；，求它的邊長。

問題2:如圖矩形花圃一面靠墻，.另外三面所圍的柵欄的總長度是19m,如果花圃的面積是24加2,求花

教

圃的長和寬.

學

問題3:如.圖梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離是3m,如果梯子底端向右滑動的距離與梯子頂端向

下滑動的距離相等，求梯子滑.動的距離.

過

程

二、觀察歸納：

觀察上面所列的方程，討論它們與我們所學的一元一次方程有什么異同？

一元二次方程的概念：只含有_____未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是.______的______方程叫一元二

次方程。

注意：認識一元二次方程必須抓住下面幾個條件：

（1）方程是整式方程；（2）只含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)最高次數(shù)2；

（4）有的方程要整理后才能判斷是否是一元二次方程。

三、一元二次方程的一般形式

任何一個關于X的一元二次方程都可以化成如2+公+°=0(八b、C是常數(shù).)的形式，這種形式

叫一元二次方程的一般形式，其中如2、法、C分別叫、和,。、人分別叫做

和o

注意：(1)二次項系數(shù)ao()；

(2)方程化為一般形式后才能確定二次項.、一次項、常數(shù)項。指明一元二次方程各項系數(shù)時注意

不要漏掉前面的性質符號。

思考：(1)當〃=0,c=0時，方程ar?+bx+c=0(a#0)的形式為__-________；

(2)當b=0,c#0時，方程+bx+c=0(a#0)的形式為。

(3)當b*0，c=0時，方程戲一二：的形式為。

它們是一元二次方程嗎？

四、一元二次方程的解

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

注意：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程;

其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0,看是否具備另兩個條件：①一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高

次數(shù)為2.

對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數(shù)不為0.

五、典型例題

例1、辨別下列各式是否為一元二次方程？

x2+x+19x2-6x=0—y2-0

2

5x2-+4=0f+孫-3y2=0(x+l)(x-l)=x2

2x

例2、已知方程(加-&)￡'「-(m+3)x=4，n。

(1)當m為何值時，此方程為一元一次方程；

(2)當m為何值時，此方程為一元二次方程。

例3、把下列關于x的一元二次方程化為一般形式，寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項

2

(1)8/=3X+5(2)3x(x—2)=2(x—2)(3)Xx+1)=2x+1

23

例4、方程+x+a-2=0的一個解為1,求a的值.

例5、如果關于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x,=2,x2=1,那么p,q的值分別是()

A.-3,2B.3,-2C.2,-3D.2,3

延伸：如果非零實數(shù)a、b、。滿足a+b+c=。，則關于x的一元二次方程"2+"+c=。必有一根

如果非零實數(shù)a、b、C滿足a-6+c=0,則關于x的一元二次方程ar?+bx+c=O必有一根

如果非零實數(shù)a、b、c中滿足c=。，則關于X的一元二次方程辦2+以+C=()必有一根

六、課堂小結

1、判斷一個方程是否是一元二次方程的關鍵是什么？

2、要確定一元二次的項及系數(shù)，首先要把方程化成一元二次方程的一般形式是什么？；

七'鞏固復習

一、選擇題

1.若'2一3%+〃2一〃=0是關于X的一元二次方程，則()

A.p=#1B.pWO且pH10.p^OD.p#=0且p#=1

2.已知x=-1是關于x的方程x'-x+mR的一個根，則m的值為()

A.-2B.-1C.0D.2

二、填空題

3.方程(2x+1)(x-3)=x?+1化成一般形式為,二次項系數(shù)是.一次項系數(shù)是

常數(shù)項是一.

4.(1)關于x的方程(m2-4)x2-(m-2)x-1=°是一元二次方程，則m；

(2)關于x的方程(m2-4)x2-(m-2)x-l=°是一元一次方程，則m,

5.下列關于x的方程中是一元二次方程的是(只填序號).

(1)x2+1=0；(3)x2+y+l=0；

(4)x3-x2-x+1=0；(5)2x(3x-5)=6犬+4；(6)(x-2)(x-3)=5.

6.下列哪些數(shù)是方程》2一6》+8=0的根?答案：.

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

7.方程2x-4:0的解也是關于x的方程r+nix+ZR的一個解，則m的值為.

三'解答題

8.教材或資料會出現(xiàn)這樣的題目：把方程1/_x=2化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項

系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.現(xiàn)把上面的題目改編為下面的兩個小題，請解答：

⑴下列式子中，有哪幾個是方程-x=2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只寫序

2

?-x2-x-2=0；③f-2x=4；

2

@-x2+2x+4=0；⑤底2一2瓜-46二0.

⑵方程L/-x=2化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項之間

2

具有什么關系？

9,若關于x的一元二次方程4/一2公-利-2?-6=0常數(shù)項為4,則一次項系數(shù).

10、已知3+2行是關于x的方程/一6x=機的一個根，則加=。

11、根據(jù)題意，列出方程：

(1)剪出一張面積是240。/的長方形彩紙，使它的長比寬多8c帆，這張彩紙的長是多少？

(2)某廠經(jīng)過兩年時間將某種產(chǎn)品的產(chǎn)量從每年14400臺提高到16900臺，平均每年增長的百分率是多

少？

9、關于x的方程q2x2-2x(2x-l)=ax+l,在什么條件下它是一元二次方程？在什么條件下它是一元

一次方程？

1.2一元二次方程的解法

(1)直接開平方法

一、知識回顧，復習導入

1、把下列方程化為一般形式，并說出各項及其系數(shù)。

(1)5=4x-x2(2)5=3/(3)j；2-(y+1)2=(j+2Xy-2)

2、我們曾學習過平方根的意義及其性質，現(xiàn)在來回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質？

平方根有下列性質：(1)一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根是互為相反數(shù)的；

(2)零的平方根是零；

(3)負數(shù)沒有平方根。

3、填空：4的平方根是25的平方根是100的平方根是

二、提出問題，探索歸納

思考：如何解方程X2=2呢？

根據(jù)平方根的意義，—是—的平方根，所以，X=。即這個一元二次方程的兩個根為

結論：1、根據(jù)平方根的意義，X就是2的平方根，.*=±行，這種直接通過求平方根來解一元二次方程

的方法叫做直接開平方法。

2、形如方程/-左=°僅2°)可變形為/=燈左3°)的形式，用直接開平方法求解。

三,例題講解

例1.解方程(1)/一4=0；(2)4X2-1=0；

例2.解方程(x+1)2—2=0(這兩題和上面兩題有什么異同點？解法上有什么聯(lián)系？)

分析：如果把(x+1)看成是一個整體，就可以用直接開平方法求解。

例3.已知直角三角形兩邊長是方程9-(x-8)2=0的兩根，求直角三角形第三邊長。

小結：如果一個一元二次方程具有(x+h)Jk(h、k為常數(shù)，k》0)的形式，那么就可以用直接開平方

法求解。

三'拓展延伸：

1、若=36,求/+>2的值。

2、已知a=1+V20

(1)寫一個一元二次方程，使得x=a是該方程的一個解；

(2)試證明x=a是方程x2—2%—1=0的一個解；

(3)求a?-4a2+3&+11的值。

四、課堂小結

1、用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟

2、任意一個一元二次方程都可以用直接開平方法解嗎？

形如(x+6)2=k(h、k為常數(shù)k，0)的方程。

說明：G)解形如J+力)2=火(h、k為常數(shù)k'O)的方程時，可把(x+力)看成整體，然后直接開平方

(2)注意對方程進行變形，方程左邊變?yōu)橐淮问降钠椒剑疫吺欠秦摮?shù)，

(3)如果變形后形如G+M'=人中的K是負數(shù)，不能直接開平方，說明方程無實數(shù)根。

(4)如果變形后形如(l+=&中的k=0這時可得方程兩根』相等。

五'鞏固復習

1、方程x?-36=0的解為；方程(X+4)?-2=0的解為o

2、用直接開平方法解方程(x+2>=機-4,方程必須滿足的條件是。

r2-3

3、當*=_______時，分式:一的值為0.

W-3

4、若最簡二次根式J"+28與J7/??+4是同類二次根式,則加=。

5、關于x的方程2/+36-2。=0有一根是2,則關于)，的方程V+。=7的解為。

6、若--12y2=0,則x:y=。

7、某小店今年七月份營業(yè)額為500元，九月份上升到7200元，平均每月增長的百分率為?

8、解下列方程:

(1)》=169；(2)45-x=0；(3)12y-25=0；(4)4?+16=0；

(5)(2x+l)2-3=0(6)i(3x+l)2-15=0(7)4(%+3)2=25(%-2)2

4

9、已知y>x>0,x+y-2y/xy=2,求五-4的值。

配方法

一、知識回顧，復習導入

、請寫出完全平方公式：(a+6)2='

?、用直接開平方法解下列方程：(1)(X+3)2=5(2)(x—5-+4=13

人將下列各式進行配方：

2z、2

(l)x-+2x+=(X+)

2/、2

_(2)片8x+_____=(A)_________________________________________________

2

(3)J+5J+——=(y+丫

.21Z\2

(5)x2+bx+=(x+)

、提出問題，探索歸納

思考：想一想如何解方程Y+6X+9=5?

想一想如何解方程X2+6X+4=0?

兩個方程之間有什么聯(lián)系？

提示：能否將方程/+6“+4=()轉化為(x+%三〃的形式呢？

定義：把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式,然后用開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫

做配方法.

目的：把左邊轉化成()Jk的形式，右邊的k是一個非負數(shù)。

思考：觀察方程，+2x—8=0和2%2+4%-16=0,請比較這兩個方程的區(qū)別與聯(lián)系。

提示：對于二次項系數(shù)不為1的一元二次議程，可以先將兩邊同時除以二次項系數(shù)，再利用配方法將方乘

2》2+4x-16=0轉化為(x+萬)三〃的形式。

歸納總結：將關于x的方程々/+bx+c=0(aw0)化為=〃的形式，再利用直接開平方法求解,

這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為=°)的形式；

②移項:把常數(shù)項移到方程的右邊；

③二次項系數(shù)化為1：方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，將二次項系數(shù)化為1;

④配方:方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

⑤把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑥開方:根據(jù)平方根意義，若方程右邊是非負數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負數(shù),

則判定此方程無實數(shù)解。

注意：

(1)配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；

(2)配方法關鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.

(3)配方法的理論依據(jù)是完全平方公式/±2ab+/=(〃±勿2.

例1、解下列方程：

(1)，_4X+3=0(2)/+3x=l(3)x2=O

63

口答：

(1)X2-2X+=(x--)2(2)x2+8x+=(x+—)2

3

(3)x2-5x+=(x-___)2(4)X2+~x+=(x+___)2

板演練習：

(1)X2+2X-3=0(2)x2+10x+20=0(3)x2-x=l(4)x2+2A/2X-4=0

例2、(1)利用配方法證明：無論x為何值，二次三項式-/—2x—2恒為負；

(2)根據(jù)(1)中配方結果，二次三項式-1一2%一2有最大值還是最小值？最值是多少？

練習：求代數(shù)式6x+10的最值。

例3、用配方法解方程：

(1)2x2-5x+2=0(2)-3x2+4%+1=0

小結：二次項系數(shù)不為1的一元二次方程的解法步驟為：(1)(2)

(3)(4)(5)

板演練習：

(1)2%2-8%+1=0(2)-x2+2x-l=0(3)2x2+3x=0(4)3x2-l=6x

2

例4、體會轉化思想：解方程2)=5

2

例5、你能用配方法求代數(shù)式3/+6x—5的最小值嗎？

三、拓展與延伸

1、如圖，在aABC中，AB=AC=4,NA=36°,BD平分NABC,求BC的長。

2、把關于x的方程a/+法+。=0（。工0）化為（x+Q2=/?的形式，當〃、8、c滿足什么關系時，方

程有實數(shù)根？你能解出這個方程嗎？

三、課堂小結

用配方法解一元二次方程的一般步驟

、鞏固復習

22

填空：（1）X+6X+（）=（）(2)x—8x+()=()

222

(3)V+x+()=()~(4)4X—6x+()=4()

2、用配方法解下列方程：

22

(1)*+2x=5；(2)x—4x+3=0；(3)%+8x-2=0；

2

(4)x+7=-6x.(5)x2-x=1；(6)X2-7X+12=0

(.7)lx2-5%+2=0.(8)-3/+4X+1=0(9)2/-8x+l=0

(10)-x2+2x-l=0(11)2/+3X=O(12)3/-1=6X

2

3、若代數(shù)式M=10/+〃一7a+8,N=a2+b2+5a+l,則M-N的值()

A.一定是負數(shù)B.一定是正數(shù)C.一定不是負數(shù)D.一定不是正數(shù)

4,用配方法證明：二次三項式-8x?+12x-5的值一定小于0.

5.已知直角三角形的三邊a、b、c,且兩直角邊。、人滿足等式(1+〃＞一2(/+〃)-15=0,求

斜邊，的值。

6.把方程—一3x+p=0配方，得到(x+根丫=g。

(1)求常數(shù)〃與加的值；(2)求此方程的解。

公式法

—?知識回顧，復習導入

1、用配方法解一元二次方程的步驟是什么？

2、用配方法解下例方程(1)2X2-7X-2=0(2)2X2-4X+5=0

二、提出問題，探索歸納

請嘗試用配方法解一元二次方程：a^+bx+c=0(a/0)

示范：ax2+bx+c=0

因為甘于0,所以方程兩邊都除以a,得

aa

移項，得

2,

x+—bx=—c—

aa

配方，得

/+紇+(A)2=，+(2)2

a2aa2a

,b.b--4ac

x+——)2=-------

2a4a

因為a^O,所以4aA

當t/-4ac，O時，

.bylb2-4ac

X+———±---------

2a2a

—b±ylb2-4ac

x=----------------

2a

歸納總結：一般地，對于一元二次方程a/+6x+c=0(a豐0)的根是由方程的各項系數(shù)a,b,c確定的

當時，它的實數(shù)根是o這個公式叫做一元二次方程的,利月

這個公式解一元二次方程的方法叫做。

三'例題講解

例1、請你利用求根公式解下列方程：

F+3X+2=0(2)2x-7x=4(3)0.2x2-1.2x+0.55=0

板演練習：

(1)2x2+x-l=0(2)x(x-6)=6(3)-2x2+3x-4=0

例2、用公式法解關于x的方程：x2-3/m+(2m2-mn-n2)=0o

拓展延伸:

用公式法解關于x的方程：x2+px+q=0(p2—4acN0)。設此方程的兩根為玉、x2,

試求：(1)/+/；(2)尤「々。你有什么發(fā)現(xiàn)？

、課堂小結

1、用公式法解一元二次方程時要注意什么？

2、任何一個一元二次方程都能用公式法求解嗎？

3、若解一個一元二次方程時，d2-4ac<0,那么方程有實數(shù)根嗎？為什么？

五'鞏固復習

1、把方程4-X2=3X化為ax，bx+c=O(a手0)形式為,b2-4ac=

2、把關于x的方程(2x-l)(x+3)=/+1化成"2+云+。=。的形式，b2-4ac=,

方程的根是o

3、關于x的方程-+4x—m=0的一個根是否一2,則機=方程的另一個根是

4、當工=時，H2一二與二！相等。

324

5、根據(jù)“拓展于延伸“中你探究的結論，方程1=0的兩根之積為,兩根之和為

Q

6、用公式法解下列方程：

(1)x-2x-8=0(2)X2+2X-4=0(3)2x-3x-2=0

2

(4)3x(3x-2)+1=0(5)2x+x-6=0⑹+4x=2

7、已知等腰三角形的底邊長為9,腰是方程/一10了+24=0的一個根，求這個三角形的周長。

8.兩個連續(xù)正偶數(shù)的積等于168,求這兩個偶數(shù)。

9,用公式法解關于x的方程mox?-(/7i2+n2)x+mn=0(/w?豐0,m2>n2)

根的判別式

一、知識回顧，復習導入

1、運用公式法解下例方程：

(1)X2-4x+4=0(2)2x2-3x-4=0(3)x2+3x+5=0

一、提出問題，探究新知

思考：對于a-+bx+c=0的根=-〃土歷二4ac中,若出現(xiàn)〃一4。0<0怎么辦呢？

2a

例如：解方程3x2-4X+4=0

舉例：判斷下列方程根的情況(1)3x2-4x+1=0(2)X2-4x+4=0(3)3x2-4x+7=0

解：(1)4ac=16-12=4>0

此方程有兩個不相等的實數(shù)根

(2)VZ?2-4ac=16-16=0

，此方程有兩個相等的實數(shù)根

(3)VZJ2-4?C=16-84=-68<0

，此方程沒有實數(shù)根

歸納總結：

(1)一元二次方程根的判別式：L=b^-Aac-

①當A=/一4數(shù)>0時，原方程有兩個不等的實數(shù)根再，%=一。工"一皿

2a

②當△=/-4明=0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根須=馬=-色；

2a

③當&=/-4加<0時，原方程沒有實數(shù)根.

(2)用公式法解x的一元二次方程+8x+c=0(。W0)的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；

②確定a、b、c的值(要注意符號)；

③求出/一4四的值；

④若/-4的之0,則利用公式x=一8±'2一4奴求出原方程的解;若/一4ac<0,則原方

2a

程無實根.

注意：

(1)雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選

擇.

b-A/7<,

(2)一元二次方程0?+裊+。=0(。70),用配方法將其變形為：(》+二)2=：^_；

2a4礦

—卜+J

①當△=〃-4改>()時，右端是正數(shù).因此，方程有兩個不相等的實根：石2=4^------

2a

卜

②當A=〃—4。。=0時，右端是零.因此，方程有兩個相等的實根：x19=-—

③當^=尸一44。<0時，右端是負數(shù).因此，方程沒有實根.

三'課堂小結

如何利用根的判別式來判斷一元二次方程根的情況？

例1、不解方程，判別方程根的情況：

(1)F+3x7=0(2)x2-6x+9=0(3)2y2-3y+4=0(4)x?+5=2瓜

變式：求證：不論x取何值時，關于x的一元二次方程，一點—1=0總有兩個不相等的實數(shù)根。

例2、女取什么值時，關于x的方程2/一伏+2)%+2左-2=0有兩個相等的實數(shù)根？有兩個不等的實

數(shù)根？無實數(shù)根？

變式1：已知關于了2-3%+左一2=0有實數(shù)根，求k的取值范圍。

例3、已知關于x的方程質2+Ji=八-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍。

四、拓展延伸

關于x的方程(A-2)/一2(女一1?+4+1=0有實數(shù)根，求k的取值范圍。

(友情提示：此方程不一定是一元二次方程哦！)

四、鞏固復習

1、不解方程，判斷方程根的情況

X2+3x-4=02x2-^x+7=05x2-6x-4=0x2-2j^x+5=0

2、已知方程x2+kx-4=0有兩個相等的實數(shù)根，求k的值。

變式1、有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍；

變式2、沒有實數(shù)根，求k的取值范圍；

變式3、有實數(shù)根，求k的取值范圍；

變式4、若方程變?yōu)閗x2+3x-4=0有實數(shù)根，求k的取值范圍。

提公因式法

一、知識回顧，復習導入

到目前為此，我們已經(jīng)學習了一元二次方程的幾種解法？

1、直接開平方法x2=a(a'O)

2、配方法(x+h)2=k(k>0)

r______

c八3、*.______、-h±\h2-4ac/.、八、

3、公式法'------Yr-(/?24ac>0)

2a

J

練習：解方程X2=3X.

解法1：配方法解法2：公式法

二'探求新知，歸納總結

(建模)我們知道，若aXb=O,則有a=0或b=0

(應用)解方程:X2=3X

由d=3x.可知，x(x—3)=0

x=0或x—3=0

.1.x,=0或x2=3.

(拓展延伸)用上面的方法解下列方程

5x2+3x=0x2-25=0(x+2)(x-5)=02(x-4)+x(x-4)=0

歸納總結：

(1)當一個一元二次方程的一邊是0,另一邊能分解成兩個一次因式的乘積時，就可以把解這樣的一元

二次方程轉化為解兩個一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

(2)用因式分解法解一元二次方程的步驟：

①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個一次式的積；

③令這兩個一次式分別為0,得到兩個一元一次方程；

④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

(3)常用的因式分解法

提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等.

注意：

①能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0,另一邊可以分解成兩個一次因

式的積；

②用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0,那么這兩個因式中至少有一個等

于0；

③用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以

含有未知數(shù)的代數(shù)式.

三、例題講解

用因式分解法解下列方程：

(1)x2--4x(2)x+3—x(x+3)=O(3)(2x-1)2-x2=0

板演練習：

(1)(x+2)(x—l)=0(2)3x2=x(3)4x(2x—l)=3(2x—l)(4)(2x-1)2=(3x+2)2

3、觀察與思考:

小明解方程(x+2)2=4(x+2)方程兩邊都除以(x+2),得x+2=4,于是解得x=2。小明的解法

正確嗎？為什么？

4、思考:

請你觀察下列方程的特征，說出用什么方法解方程比較簡便，并解答。

(1)(21)2=5(2)x2+2x^0(3)x(x-3)=4

(4)x(x—4)=165(5)(2x-1)=x2

注：在選用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠虝r，先觀察方程的特征，看能否用因式分解法或用直接開平方法

求解，若不能再考慮用公式法或配方法求解。

板演練習：用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>

(1)A:2-5X-6=0(2)(X+2)2=3X+6(3)X(X—3)=1O

(4)2(x-2)2=x2-4(5)(2x—l)(x+3)=4(6)x2-4V2x+8=0

四、課堂小結

什么情況下會選擇因式分解法來解一元二次方程？

五、鞏固復習

1、解下列一元二次方程：

(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0(2)(3x-l)(x-1)=(4x+

(3)(x+8)Z-5(X+8)+6=0(4)3x(2x+l)=4x4-2

2、探究下表中的奧秘，并完成填空:

一元二次方程兩個根二次三項式因式分解

X2-2X+1=0Xi=1,X2=1X2-2X+1=(x-1)(x-1)

x2-3x+2=0Xi=1,X2=2x2-3x+2=(x-1)(x-2)

2

3X+X-2=0XI=2,X=-12

23X+X-2=3(x-2)(x+1)

33

2

2X+5X+2=0X1=-A,X2=-22x?+5x+2=2(x+1)(x+2)

22

2

4X+13X+3=0Xi-_____,X2—4x?+13x+3=4(x+____)(x+____)

將你發(fā)現(xiàn)的結論一般化，并寫出來.

1.3一元二次方程的根與系數(shù)的關系

一、探索發(fā)現(xiàn)

探索發(fā)現(xiàn)：觀一察下表，你能發(fā)現(xiàn)下列一元二次方程的根與系數(shù)有什么關系嗎？

XlX2

ax2+法+c=0

12

X2-3X+2=0

-1-2

x2+3X+2=0

23

x2-5x+6=0

-2-3

x2+5x+6=0

03

X2-3X=0

解釋規(guī)律：你能解釋剛才的發(fā)現(xiàn)嗎？一元二次方程aF+6x+c=0（a豐0）,若6—4〃20,它的兩個根

分別是必、*2.

總結發(fā)現(xiàn)：一元二次方程3X+bx+0=0（日于0）,如果4ac?0,它的兩個根分別是必、x2.則有

bC

=

+%2=-------9Xj,一.

a-a

二、例題講解

例1、求下列方程兩根的和與兩根的積：（1），+2*—5=0；（2）2f+x=1.需要解方程.嗎？

例2、小明在一本課外讀物中讀到如下一段文字：

“一元二次方程X?一**°的兩根是2+6和2—百”，你能寫出這個方程中被墨

跡.污染的一次項系數(shù)和常數(shù)項嗎？

三、歸納總結

1)一元二次方程的根與系數(shù)的關系：

如果一元二次方程ax?+Ax+c=O(awO)的兩個實數(shù)根是X],x,那么內(nèi)+/=——，xx=—.

2Clt2Cl

注意：它的使用條件為a*0,△》0.也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于

方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的

商.

(2)一元二次方程的根與系數(shù)的關系的應用

(1)驗根.不解方程，利用根與系數(shù)的關系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；

(2)已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數(shù)；

(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關系求關于X”xz的對稱式的值.此時，常常涉及代數(shù)式的一些重

要變形；如：

①X；+X；=(玉+々)2；＜2)—+—-=A'+A?；③玉々？+￥%2=玉%2(芯+%2)；

X[x2X1?x2

2

④”+2二3Ltd=(內(nèi)+//―2?/；⑤(王一々)2=(X,+X2)-4x,x2；

x}x2x}x2x}x2

22

⑥(3+攵)(工2+攵)=x]x2+w)+/；⑦I%—x2|=A/(XJ-X2)+X2)-4XJX2；

@-T+-4="*=(%、,2~~；⑨％-X,=±?x「xj2=±J('+-2)2―4百工2；

玉X2Xjx2(x1x2)

⑩|x/+1%21=J(lx|+|%21)2=舊+考+2|%?Ei=J(X|+々)2-2X/2+21X|.9I?

(4)已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；以兩個數(shù)勺'為為根的一元二次方程是

32_區(qū)+叼〃+*2=0.

(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；

(6)利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可以進一步討論根的符號.

設一元二次方程ax?+bx+c=O(a7O)的兩根為*、x2,則

①當△》()且不々時，兩根同號.

當△》()且王々＞0，%+々＞0時，兩根同為正數(shù)；

當△》()且與々＞0，%+々＜0時，兩根同為負數(shù).

②當△＞()且斗々＜0時，兩根異號.

當△>?且玉々<0，%+工2〉0時，兩根異號且正根的絕對值較大；

當△>0且X/2<0，玉+々<0時，兩根異號且負根的絕對值較大.

注意：

(1)利用根與系數(shù)的關系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的△.一些考試中，往往

利用這一點設置陷阱；

(2)若有理系數(shù)一元二次方程有一根〃+惠，則必有一根。-筋(*6為有理數(shù)).

四、課堂小結

1.一元二次方程根與系數(shù)的關系是什么.？

2.應用一元二次方程的根與系數(shù)關系時，要特別注意，方程有實.根的條件，即當且僅當6-4ac20

時，才能應用根與系數(shù)的關系.

五'鞏固復習

1、不解方程，判別方程根的情況：x2-ox+a2+1=0

2、不解方程，求方程2/+3x-l=0的兩個根的(1)平方和；(2)倒數(shù)和.

3、已知方程5f+履—6=0的一個根是2,求另一個根及k的值.

4、已知關于x的一元二次方程mx、(m+2)x+2=0.

(1)證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；

(2)m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根.

1.4用一元二次方程解決問題

一、復習

二、知識點梳理

1.構建一元二次方程數(shù)學模型,常見的模型如下:

⑴與幾何圖形有關的應用：如幾何圖形面積模型、勾股定理等；

⑵有關增長率的應用：此類問題是在某個數(shù)據(jù)的基礎上連續(xù)增長（降低兩次得到新數(shù)據(jù),常見的

等量關系是a（1±x2=b,其中a表示增長（降低前的數(shù)據(jù)，x表示增長率（降低率，b表示

后來的數(shù)據(jù)。注意:所得解中，增長率不為負,降低率不超過1o

⑶經(jīng)濟利潤問題:總利潤=（單件銷售顫-單件成本③銷售數(shù)量;或者,總利潤=總銷售額-總成本。

題干中已知量為進價a元，原售價b元，銷量m件，銷量隨售價每提高（B每低）d元而減少（增加）c件，獲

得利潤n元.

①若設售價x元，則列式為②若設提（降）價x元，則列式為:

「提價減銷量:（提價減銷量:

x—dex

(x-a)m-c-n+x—a)m

降價提銷量:降價提銷量:

b-x

(x-a)m+c(.b-x-a)tn+—

（4）動點問題:此類問題是一般幾何問題的延伸,根據(jù)條件設出未知數(shù)后,要想辦法把圖中變化的線

段用未知數(shù)表示出來,再根據(jù)題目中的等量關系列出方程。

5）用列一元二次方程的方法解決有關贈賀卡、握手問題.

握手總次數(shù)、單循環(huán)賽的場次=門加-1）/2；送禮物總份數(shù)=n（n—1）.

★2.注重解法的選擇與驗根:在具體問題中要注意恰當?shù)倪x擇解法，以保證解題過程簡潔流暢,特別要對

方程的解注意檢驗,根據(jù)實際做出正確取舍，以保證結論的準確性.

三、典型例題（重點）

考點一、與幾何圖形有關的應用

例1某旅行社的一則廣告如下：我社組團去龍灣風景區(qū)旅游，收費標準為：如果人數(shù)不超過30人，人

均旅游費用為800元；如果人數(shù)多于30人，那么每增加1人，人均旅游費用降低10元，但人均旅游費

用不得低于500元，甲公司分批組織員工到龍灣風景區(qū)旅游，現(xiàn)計劃用28000元組織第一批員工去旅游,

問這次旅游可以安排多少人參加？

變式訓練：某旅行社的一則廣告如下：我社組團去龍灣風景區(qū)旅游，收費標準為：如果人數(shù)不超過30人,

人均旅游費用為800元；如果人數(shù)多于30人，那么每增加1人，人均旅游費用降低10元，但人均旅游

費用不得低于500元，甲公司組織員工到龍灣風景區(qū)旅游，并支付給旅行社29250元。求該公司第二批

參加旅游的員工人數(shù)。

例2如圖，一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個正方形，制成高是5cm,容積是500cm3的

無蓋長方體容器。求這塊鐵皮的長和寬。

變式訓練1:一塊邊長為10cm的正方形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折成一個無蓋的

長方體盒子，若要求長方體的底面積為81cm?,則剪去的正方形邊長為多少？

變式訓練2:一塊正方形鐵皮的4個角各剪去一個邊長為4cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子。已知盒

子的容積是400cm3,求原鐵皮的邊長。

練習：(1)一塊長方形菜地的面積是150cm2。如果它的長減少5m,那么菜地就變成正方形，求原菜地的

長和寬。

(2)在一塊長70m、寬50m的長方形綠地的四周有一條寬度相等的人行道，這條人行道的面積是130(^,

求這條人行道的寬度。

考點二：列一元二次方程解“數(shù)字問題”和“平均增長率”

例1一個三位數(shù)，十位上的數(shù)字比它個位上的數(shù)字大3,百位上的數(shù)字等于個位上的數(shù)字的平方。已知這

個三位數(shù)比它的個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的積的25倍大202,求這個三位數(shù)。

練習：(1)有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大6,把這個兩位數(shù)個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào),

再與原數(shù)相乘，積為3627,求這個兩位數(shù)。

(2)一個直角三角形的三邊長是連續(xù)整數(shù)，求這三邊長。

例2某商店6月份的利潤是2500元，要使8月份的利潤達到3600元，平均每月增長的百分率是多少？

練習：(1)兩個數(shù)的和為16,積為48。求這兩個數(shù)。

(2)有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大6,把這個兩位數(shù)個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，再與

原數(shù)相乘，積為3627,求這個兩位數(shù)。

(3)一個直角三角形的三邊長是連續(xù)整數(shù)，求這三邊長。

考點三：列一元二次方程解“動態(tài)”問題

例1、一根長22cm的鐵絲。（1）能否圍成面積是30cmz的矩形？（2）能否圍成面積是32cm?的矩形？

并說明理由。

分析：如果設這根鐵絲圍成的矩形的長是xcm,那么矩形的寬是o

根據(jù)相等關系：矩形的長X矩形的寬;矩形的面積，可以列出方程求解。

解：

例2、如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=3cm。點P沿邊AB從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點

Q沿邊DA從點D開始向點A以1cm/s的速度移動。如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0W

tW3）。那么，當t為何值時，△QAP的面積等于2cm?!

練習：1、用長為100cm的金屬絲制作一個矩形框子?？蜃痈鬟叾嚅L時，框子的面積是600cm2?能制成

面積是800cm?的矩形框子嗎？

2、如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,點P從點A沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動；同時,

點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，問幾秒后△PBQ的面積等于8cm2?

考點四：用列方程的方法解決有關商品的銷售問題

例1、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴大銷售，增加盈利，

商場決定采取適當?shù)慕?/p>