2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 復(fù)數(shù)章末綜合提升 學(xué)案

第7章復(fù)數(shù)章末綜合提升類型1復(fù)數(shù)的概念1．復(fù)數(shù)的概念包括虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模等．理解復(fù)數(shù)的相關(guān)概念是解答相應(yīng)問(wèn)題的關(guān)鍵．2．掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．【例1】(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a＋6+2ii-1(a∈R)是純虛數(shù)，則aA．4 B．3C．2 D．1(2)(2022·北京高考)若復(fù)數(shù)z滿足i·z＝3－4i，則z＝()A．1 B．5C．7 D．25(3)若復(fù)數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，z是z的共軛復(fù)數(shù)，則z2＋z2的虛部為(A．0 B．－1C．1 D．－2(1)C(2)B(3)A[(1)∵a＋6+2ii-1＝a＋6+2i-1-i-1+∴a－2＝0，即a＝2．故選C．(2)由條件可知z＝3-4ii＝－4－3i，∴|(3)∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0．故選類型2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1．復(fù)數(shù)運(yùn)算包括復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法和除法，它是本章的重要內(nèi)容，是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)．2．借助復(fù)數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【例2】已知復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(－2＋i)－3+i(1)化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z；(2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求實(shí)數(shù)a，b的值．[解](1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－3+＝－4－3i－4-2i2＝－4－3i－(2－i)(2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0，∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0，∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0，∴22-12類型3復(fù)數(shù)的幾何意義1．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及向量OZ之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，另外復(fù)數(shù)加減法的幾何意義與向量加減法的幾何意義一致．2．通過(guò)復(fù)數(shù)幾何意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．【例3】(1)設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(多選)已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為OZ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，OZ與實(shí)軸正方向的夾角為120°，且復(fù)數(shù)z的模為2，則復(fù)數(shù)z為()A．1＋3i B．－1＋3iC．－1－3i D．1－3i(3)復(fù)數(shù)z滿足|z＋3－3i|＝3，則|z|的最大值是________，|z|的最小值是________．(1)C(2)BC(3)333[(1)由題意，得z＝－3－2i，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－3，－2)(2)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Z(a，b)．根據(jù)題意可畫圖形如圖所示．∵|z|＝2，且OZ與x軸正方向的夾角為120°，∴a＝－1，b＝±3，即點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(－1，3)或(－1，－3)．∴z＝－1＋3i或－1－3i．(3)|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P(－3，3)為圓心，以3為半徑的圓，如圖所示，則|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，顯然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝3．]章末綜合測(cè)評(píng)(二)復(fù)數(shù)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2022·全國(guó)乙卷)設(shè)(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b為實(shí)數(shù)，則()A．a(chǎn)＝1，b＝－1 B．a(chǎn)＝1，b＝1C．a(chǎn)＝－1，b＝1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1A[因?yàn)閍，b∈R，a+b＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝2，解得a＝1，b＝－1．故選A．]2．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，則z＋z＝()A．－2 B．－1C．1 D．2D[由題設(shè)有1－z＝1i＝ii2＝－i，故z＝1＋i，故z＋z＝(1＋i)＋(1－i)故選D．]3．已知i是虛數(shù)單位，則化簡(jiǎn)1+i1-iA．i B．－iC．－1 D．1B[因?yàn)?+i1-i＝1+i所以1+i1-i2023＝i20234．復(fù)數(shù)2-i1-A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A[2-i1-3i＝2-i5．如圖，若向量OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z＋4z表示的復(fù)數(shù)為(A．1＋3i B．－3－iC．3－i D．3＋iD[由題圖可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋4z＝1－i＋41-i＝1－i＋41+i1-i1+i＝1－i＋4+4i2＝6．(2022·廣西桂林中學(xué)月考)設(shè)z∈C，滿足2≤z+i≤3，其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，求點(diǎn)Z構(gòu)成的集合所表示的圖形面積(A．1 B．5C．π D．5πD[設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yix，y∈R，則z＋i＝x＋y+1i，則2≤x+y+1i≤3等價(jià)于2≤x2+y+12≤3，即有4≤所以復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(x，y)表示復(fù)平面上以(0，-1)為圓心，以2，3為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)(包括邊界)，故其面積為故選D．]7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有實(shí)根b，且z＝a＋bi，則復(fù)數(shù)z等于()A．2－2i B．2＋2iC．－2＋2i D．－2－2iA[由b是方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)的根可得b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，整理可得(b＋a)i＋(b2＋4b＋4)＝0，所以b+a=0，b2+4b+4=0，解得a=2，8．已知z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，則x＋3y的最大值為()A．1＋3 B．2C．1 D．3B[∵z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，∴x2＋y2＝1．設(shè)x＝cosθ，y＝sinθ，θ∈R，∴x＋3y＝cosθ＋3sinθ＝2sinθ+π∴x＋3y的最大值是2，故選B．]二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分)9．給出下列復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，這些點(diǎn)中對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)的為()A．(3，1) B．(－2，0)C．(0，4) D．(－1，－5)ACD[易知選項(xiàng)A、B、C、D中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3＋i，－2，4i，－1－5i，因此A、C、D中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)．]10．已知方程x2＋2x－a＝0，其中a<0，則在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于該方程的根的結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．該方程一定有一對(duì)共軛虛根B．該方程可能有兩個(gè)正實(shí)根C．該方程兩根的實(shí)部之和等于－2D．若該方程有虛根，則其虛根的模一定小于1ABD[方程x2＋2x－a＝0，a<0，則Δ＝4＋4a，當(dāng)Δ≥0，即a≥－1時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，故A錯(cuò)誤；由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知，兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和為－2，所以不可能有兩個(gè)正實(shí)根，故B錯(cuò)誤；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程有兩個(gè)虛數(shù)根，由求根公式可得x＝－1±-4+4a2i，所以兩個(gè)根的實(shí)部之和等于－2，故C正確；若該方程有虛根，則虛根的模為1+-4+4a211．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是()A．若|z1－z2|＝0，則z1＝B．若z1＝z2，則z1＝C．若|z1|＝|z2|，則z1·z1＝z2·D．若|z1|＝|z2|，則z12ABC[對(duì)于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?z1＝z對(duì)于B，若z1＝z2，則z1和z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以z1＝z對(duì)于C，設(shè)z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，則a12+b12＝a22+b22，z1·z1＝a12+b1對(duì)于D，若z1＝2，z2＝1＋3i，則|z1|＝|z2|，但z12＝4，z22＝－2＋212．(2022·山西呂梁模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足z-1+i＝3，則A．復(fù)數(shù)z虛部的最大值為2B．復(fù)數(shù)z實(shí)部的取值范圍是-C．z+1+i的最小值為D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一、三、四象限ABC[滿足z-1+i＝3的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以(1由圖可知，虛部最大的復(fù)數(shù)z＝1＋2i，即復(fù)數(shù)z虛部的最大值為2，A正確；實(shí)部最小的復(fù)數(shù)z＝－2－i，實(shí)部最大的復(fù)數(shù)z＝4－i，所以實(shí)部的取值范圍是-2，4z+1+i表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到(1，-1)的距離，所以z+1+i的最小值為3－2由圖可知，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一、二、三、四象限，故D錯(cuò)誤．故選ABC．]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．設(shè)復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)的模為3，則(a＋bi)(a－bi)＝________．3[∵|a＋bi|＝a2+b∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3．]14．復(fù)數(shù)z滿足方程zi＝1－i，則z＝________．－1＋i[∵zi＝1－i，∴z＝1-ii＝1-iii·i∴z＝－1＋i．]15．設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是z，若z＋z＝4，z·z＝8，則|z|＝________，zz＝________22±i[設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則z＝x－x+yi+x-y∴|z|＝22．∴zz＝x-yi16．對(duì)任意復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào))①|(zhì)z－z|＝2y；②z2＝x2＋y2；③|z－z|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|．④[對(duì)于①，z＝x－yi(x，y∈R)，|z－z|＝|x＋yi－四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)現(xiàn)有以下三個(gè)式子：①2+i1-2i；②-4+3(1)從三個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)復(fù)數(shù)恒等式，并證明你的結(jié)論．[解](1)選①，2+i1-2i＝2+選②，-4+3i3+4i＝-4+3選③，-1-i-1+i(2)根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及(1)的計(jì)算結(jié)果，可以得到，a+bib-ai＝i(a，b∈R，且a下面進(jìn)行證明：a+bib-ai＝a+bib+a18．(本小題滿分12分)四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A，B，C，D四點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i，2i，2＋i，z．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)z是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值．[解](1)由題意，復(fù)平面內(nèi)A，B，C的坐標(biāo)分別為(1，3)，(0，2)，(2，1)，設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y)，由于AD＝BC，∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝3＋2i．(2)∵3＋2i是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的一個(gè)根，∴3－2i是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的另一個(gè)根，則3＋2i＋3－2i＝p2，(3＋2i)·(3－2i)＝q即p＝12，q＝26．19．(本小題滿分12分)(2022·山東東營(yíng)期末)已知復(fù)數(shù)z1＝2m21-i，z2＝(2＋i)m－3(1＋2i)，m(1)若z1＋z2是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若z1＋z2＞0，求z1·z2的值．[解](1)z1＝2m21+i1-i1+i＝m2＋m2i，z2＝2所以z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，因?yàn)閦1＋z2是純虛數(shù)，所以m2+2m-3=0(2)由(1)知，z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，因?yàn)閦1＋z2＞0，所以m2+2m-3＞所以z1＝4＋4i，z2＝1－4i，所以z1·z2＝(4＋4i)(1－4i)＝20－12i．20．(本小題滿分12分)(2022·河北張家口月考)已知復(fù)數(shù)z1＝1-i2+31+i2-i，z2(1)求復(fù)數(shù)z1的共軛復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)z3＝z1＋i，復(fù)數(shù)z2z3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，且z2≥[解](1)z1＝1-i2+31+i2-i所以復(fù)數(shù)z1的共軛復(fù)數(shù)為1－i．(2)由(1)得z3＝1＋2i，z2z3＝m-3所以復(fù)數(shù)z2z3它在第三象限，則m-解得－32<m又z2＝m2+9≥5，解得m≤－4或m綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為4，21．(本小題滿分12分)(2022·江蘇泰州期末)已知復(fù)數(shù)z滿足z－1為純虛數(shù)，(1－2i)·z為實(shí)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若x·z＋y·z＝z·z，求實(shí)數(shù)x，y的值．[解](1)設(shè)z＝m＋ni(其中m，n∈R)，由z－1＝(m－1)＋ni為純虛數(shù)，得m＝1，且n≠0．由(1－2i)·z＝(1－2i)·(1＋ni)＝1＋2n＋(n－2)i為實(shí)數(shù)，得n＝2．所以z＝1＋2i．(2)由(1)知，z＝1＋2i．故由x·z＋y·z＝z·z，得x·(1＋2i)＋y·(1－2i)＝(1＋2i)·(1－2i)，即(x＋y)＋(2x－2因?yàn)閤，y∈R，由復(fù)數(shù)相等的充要條件得：x+y=5，2x22．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝2，z2的虛部為2．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)設(shè)z，z2，z－z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)