專題01 運算思維之解二元一次方程組難點專練（解析版）-【考點培優(yōu)尖子生專用】2021-2022學年七年級數(shù)學下冊專題訓練（浙教版）

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中浙教版數(shù)學第二學期研發(fā)，供中等及以上學生使用。思路設計：重在培優(yōu)訓練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎差的學生選做每種類型題的前4題；基礎中等的學生必做前4題、選做5-8題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題01運算思維之解二元一次方程組難點專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．（2021·浙江·七年級期中）已知關于x，y的二元一次方程．無論a取什么值時，方程都有一個公共的解，則這個公共解是（）A． B． C． D．【標準答案】A【思路指引】如果當a取一個確定的值時就得到一個方程，這些方程有一個公共解，說明無論a取何值，都不影響方程，即含a的項的系數(shù)相加為0．【詳解詳析】解：方程整理為ax﹣2x＋ay＋y＋8﹣a＝0，∴a（x＋y﹣1）﹣2x＋y＋8＝0．∵無論a取什么值時，方程都有一個公共的解，∴，解得：．故選：A．【名師指路】本題考查了二元一次方程的解，利用方程的解與a無關得出方程組是解題關鍵．2．（2021·浙江·七年級期中）已知關于的二元一次方程組給出下列結論：當時，此方程組無解；若此方程組的解也是方程的解，則；無論整數(shù)k取何值，此方程組一定無整數(shù)解（均為整數(shù)），其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【標準答案】D【思路指引】①將代入，得到方程組，求解即可做出判斷；②解方程組得：，把，代入，即可做出判斷；③解方程組得：，根據(jù)為整數(shù)即可作出判斷．【詳解詳析】解：當時，方程組為，此時方程組無解；故①正確；解方程組得：，把，代入，方程左右兩邊相等，故②正確；解方程組得：，又為整數(shù)，若是整數(shù)，則，，2，，1，此時不是整數(shù)，、不能均為整數(shù)，故③正確．故選：D．【名師指路】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．3．（2021·浙江·七年級期末）已知的解是，求的解為（）A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】把x=3，y=4代入第一個方程組，可得關于a1，b1方程組，兩方程同時乘5可得出，再結合第二個方程組即可得出結論．【詳解詳析】解：把代入方程組得：，方程同時×5，得：，∴方程組的解為，故選B．【名師指路】本題考查了二元一次方程組的解，發(fā)現(xiàn)兩方程組之間互相聯(lián)系是解題的關鍵．4．（2021·浙江·七年級期末）已知關于x，y的方程組，則下列結論中正確的有（）個①當時，方程組的解是；②當x，y的值互為相反數(shù)時，③不存在一個實數(shù)a使得；④若，則．A．1 B．2 C．3 D．4【標準答案】B【思路指引】①把a＝5代入方程組求出解，即可作出判斷；②由題意得x+y＝0，變形后代入方程組求出a的值，即可作出判斷；③若x＝y(tǒng)，代入方程組，變形得關于a的方程，即可作出判斷；④根據(jù)題中等式得2a﹣3y＝7，代入方程組求出a的值，即可作出判斷．【詳解詳析】解：①把a＝5代入方程組得：，由（2）得x＝2y，將x＝2y代入（1）得：y＝10，將y＝10代入x＝2y得：x＝20，解得：，故①錯誤；②當x，y的值互為相反數(shù)時，x+y＝0，即：y＝﹣x代入方程組得：，整理，得，由（3）得：，將代入（4），得：，解得：a＝20，故②正確；③若x＝y(tǒng)，則有，可得：a＝a﹣5，矛盾，∴不存在一個實數(shù)a使得x＝y(tǒng)，故③正確；④，（5）－（6）×3，得：，將代入（6），得：，∴原方程組的解為，∵，∴2a﹣3y＝7，把y＝15﹣a代入得：2a﹣45+3a＝7，解得：a＝，故④錯誤；∴正確的選項有②③兩個．故選：B．【名師指路】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．本題屬于基礎題型，難度不大．5．（2021·浙江·七年級期末）若是整數(shù)，關于的二元一次方程組的解是整數(shù)，則滿足條件的所有的值的和為（）A．6 B．0 C． D．【標準答案】D【思路指引】把m看做已知求得x=，由方程組的解為整數(shù)，確定出m的值即可．【詳解詳析】解：，兩式相加得（m+3）x=10，解得x=，∵m+3能被10整除，∴整數(shù)m=-13，-8，-5，-4，-2，-1，2，7，當m=-13，-5，-1，7時，y不是整數(shù)，則滿足條件的所有m的值的和為-8-4-2+2=-12．故選：D．【名師指路】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．6．（2021·浙江·杭州市采荷中學七年級期中）若關于x，y的二元一次方程組的解是，則關于a，b的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．【標準答案】A【思路指引】先求出m，n的值，再代入新的二元一次方程組即可得出答案．【詳解詳析】解：關于，的二元一次方程組的解是，，，，，關于，的二元一次方程組是，，，，，，，關于，的二元一次方程組的解為：．故選：A．【名師指路】本題考查了解二元一次方程組，本題的解題關鍵是先求出m，n的值，再代入新的二元一次方程組即可得出答案．7．（2021·浙江·七年級期末）已知關于x，y的二元一次方程組，給出下列結論中正確的是（）①當這個方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時，；②當時，方程組的解也是方程的解；③無論a取什么實數(shù)，的值始終不變；④若用x表示y，則；A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【標準答案】C【思路指引】根據(jù)方程組的解法可以得到x+y＝2+a，①令x+y＝0，即可求出a的值，驗證即可，②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再與a＝1比較得出答案，③解方程組可求出方程組的解，再代入x+2y求值即可，④用含有x、y的代數(shù)式表示a，進而得出x、y的關系，【詳解詳析】解：關于x，y的二元一次方程組，①+②得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a，（1）①當方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時，即x+y＝0時，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正確，（2）②原方程組的解滿足x+y＝2+a，當a＝1時，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解滿足x+y＝6，因此②不正確，（3）方程組，解得，，∴x+2y＝2a+1+2-2a＝3，因此③是正確的，（4）方程組，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x-y＝3（4-x-3y），即；，因此④是正確的，故選：C．【名師指路】本題考查二元一次方程組的解法和應用，正確的解出方程組的解是解決問題的關鍵．8．（2021·浙江省余姚市實驗學校七年級期中）若關于，的方程組，則的值為（）A．3 B．14 C．2 D．1【標準答案】D【思路指引】方程組兩方程分別相加，求出的值即可．【詳解詳析】解：，①+②得：4（a+b）=4，則a+b=1．故選：D．【名師指路】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減法是解本題的關鍵．9．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團（總校）七年級期中）已知關于x，y的方程組，則下列結論中正確的是：①當a＝0時方程組的解是方程x+y＝1的解；②當x＝y(tǒng)時，a＝﹣；③當xy＝1，則a的值為3或﹣3；④不論a取什么實數(shù)3x﹣y的值始終不變．（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【標準答案】B【思路指引】①把a看做已知數(shù)表示出方程組的解，把a＝0代入求出x與y的值，代入方程檢驗即可；②令x＝y(tǒng)求出a的值，即可作出判斷；③把x與y代入3x﹣y中計算得到結果，判斷即可；④令2x＝3y求出a的值，判斷即可．【詳解詳析】解：，據(jù)題意得：3x＝3a﹣6，解得：x＝a﹣2，把x＝a﹣2代入方程x+y＝1+4a得：y＝3a+3，當a＝0時，x＝﹣2，y＝3，把x＝﹣2，y＝3代入x+y＝1得：左邊＝﹣2+3＝1，右邊＝1，是方程的解，故①正確；當x＝y(tǒng)時，a﹣2＝3a+3，即a＝﹣，故②正確；當xy＝1時，（a﹣2）3a+3＝1，即a＝﹣1，或或故③錯誤3x﹣y＝3a﹣6﹣3a﹣3＝﹣9，無論a為什么實數(shù)，3x﹣y的值始終不變?yōu)椹?，故④正確．∴正確的結論是：①②④，故選：B．【名師指路】此題考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．10．（2021·浙江越城·七年級期末）已知關于，的方程組，則下列結論中正確的是()①當＝5時，方程組的解是；②當，的值互為相反數(shù)時，＝20；③當＝16時，＝18；④不存在一個實數(shù)使得＝．A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③【標準答案】C【思路指引】①把a＝5代入方程組求出解，即可做出判斷；②根據(jù)題意得到x+y＝0，代入方程組求出a的值，即可做出判斷；③當＝16時，得到x+y=4，即y=4﹣x，代入方程組求出a的值，即可做出判斷；④假如x＝y(tǒng)，得到a無解，本選項正確；．【詳解詳析】解：①把a＝5代入方程組得：，解得：，本選項錯誤；②由x與y互為相反數(shù)，得到x+y＝0，即y＝﹣x，代入方程組得：，解得：a＝20，本選項正確；③當＝16時，得到x+y=4，即y=4﹣x代入方程組得：，解得：a＝18，本選項正確；④若x＝y(tǒng)，則有，可得a＝a﹣5，矛盾，故不存在一個實數(shù)a使得x＝y(tǒng)，本選項正確；故選：C．【名師指路】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．二、填空題11．（2021·浙江·七年級期末）已知關于x，y的二元一次方程組，①當方程組的解是時，m，n的值滿足；②當時，無論n取何值，的值始終不變；③當方程組的解是時，方程組解為；④當時，滿足x，y都是非負整數(shù)的解最多有2組．以上說法：正確的是_____________（填寫序號）．【標準答案】①②【思路指引】將代入原方程組，求出m和n的值，可判斷①；將代入原方程組，可判斷②；根據(jù)原方程組的解為，可得新方程組滿足，求出x和y的值，可判斷③；將代入原方程組，求出x和y的值，再找到當方程組的解為非負整數(shù)時n的部分值，可判斷④．【詳解詳析】解：①將代入中，得：，解得：，則，故①正確；②當時，有，則，故②正確；③當方程組的解是時，則，∵新方程組為，整理，得，∴，解得：，故③錯誤；④當時，方程組為，（1）×3－（2），得：，解得：，將代入（1）得：，∴原方程組的解為，∵x，y都是非負整數(shù)，∴當n＝2時，；當n＝時，；當n＝時，；故④錯誤，故答案為：①②．【名師指路】本題考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，解題的關鍵是理解題意，掌握方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．12．（2021·浙江杭州·七年級期末）已知關于的方程組，為常數(shù)，給出下列結論：①是方程組的解；②當時，方程組的解也是方程的解；③無論取何值，和的值都不可能互為相反數(shù)．其中正確的是_______．（填序號）【標準答案】②③【思路指引】①將m=6，n=-1代入檢驗即可做出判斷；②將a=2代入方程組求出方程組的解，代入方程中檢驗即可；③將m和n分別用a表示出來，然后求出m+n=3來判斷．【詳解詳析】解：①將，代入方程組得：，由①得，由②得，故①不正確．②將代入方程組得：，解此方程得：，將，代入方程，方程左邊右邊，是方程的解，故②正確．③解方程①②得：解得：將的值代入①得：所以，故無論取何值，、的值都不可能互為相反數(shù)故③正確．則正確的選項有②③．故答案為：②③．【名師指路】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．13．（2021·浙江奉化·七年級期末）對，定義一種新運算，規(guī)定：（其中，均為非零常數(shù)）．例如：，．當，，則__________；當時，對任意有理數(shù)，都成立，則，滿足的關系式是__________．【標準答案】【思路指引】根據(jù)定義的新運算F，將，代入，得到關于m、n的二元一次方程組，求出m、n的值，代回原式即可求得；由列出關系式，整理后即可確定出m、n的關系式．【詳解詳析】解：①根據(jù)題意得，，，整理得：，解得：，則，②由得，整理得：，當時，對任意有理數(shù)，都成立，即；故答案為：；．【名師指路】本題考查了多項式乘以多項式，二元一次方程組的應用等知識點，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．14．（2021·浙江拱墅·七年級期末）若關于x，y的方程組的解是，則關于x，y的方程組的解是___．（用含m，n的代數(shù)式表示）．【標準答案】【思路指引】將待求方程組整理為，由原方程組的解將看作整體可得關于x、y的方程組，解之可得．【詳解詳析】解：將方程組整理，得：，根據(jù)題意，得：解得：，故答案為：．【名師指路】本題主要考查二元一次方程組的解，解題的關鍵是由原方程組的解將將看作整體可得關于x、y的新方程組．15．（2021·浙江·淳安縣教育發(fā)展研究中心七年級期末）若是方程組的解，則a與c的關系是________．【標準答案】9a－4c＝23【思路指引】把解代入方程組中，得關于a、b、c的方程組，消去b即得a與c的關系式．【詳解詳析】把代入方程組中，得：，得：9a－4c＝23故答案為：9a－4c＝23【名師指路】本題考查了二元一次方程組的解以及消元法的應用，關鍵是應用消元法消去b．16．（2021·浙江·七年級期末）已知x，y滿足方程組．給出下列結論：①若方程組的解也是的解，則；②若方程組的解滿足，則；③無論k為何值，；④若，則．正確的是________．（填序號）【標準答案】②③【思路指引】利用二元一次一次方程組的解法表示出方程組的解，進而分別分析得出答案．【詳解詳析】解：，①×3-②得，∵方程組的解也是x+2y=3的解，∴，解得：，∴k=3，故①錯誤；∵方程組的解滿足，∴，∴，故②正確；∵由①可得：，∴，故③正確；∵，∴x+y=0或x-y=0，∴y=-x或x=y，則或，解得：或，故④錯誤；故答案為：②③．【名師指路】本題主要考查解二元一次方程組的能力，熟練掌握解二元一次方程組的方法和二元一次方程的解的定義．17．（2021·浙江南潯·七年級期末）定義一種新的運算：，例如：．若，且關于x，y的二元一次方程，當a，b取不同值時，方程都有一個公共解，那么這個公共解為______．【標準答案】【思路指引】根據(jù)公式求得，將方程轉(zhuǎn)化得到，由當a，b取不同值時，方程都有一個公共解，得到，解方程組即可．【詳解詳析】解：∵，∴，∴，則方程可轉(zhuǎn)化為，∴，∵當a，b取不同值時，方程都有一個公共解，∴，解得，故答案為：．【名師指路】此題考查解二元一次方程組，正確理解由當a，b取不同值時，方程都有一個公共解是解題的關鍵．18．（2021·浙江江干·七年級期末）已知關于x，y的方程組，給出下列結論：①；②當k＝時，x，y的值互為相反數(shù)；③2x÷8y＝2z，則z＝1；④若方程組的解也是方程x+y＝2﹣k的解，則k＝0．其中正確的是___．（填寫正確結論的序號）【標準答案】①②③④【思路指引】直接利用二元一次一次方程組的解法表示出方程組的解進而分別分析得出答案．【詳解詳析】解：①把代入得：，解兩方程得：k=2，故①結論正確；②當k＝時，原方程組變?yōu)?，解得：，故x，y的值互為相反數(shù)，故②結論正確；③∵2x÷8y=2z，∴2x÷23y=2z，則x-3y=z，∵，解得：，∴3k-2-3(k-1)=z，解得：z=1，故此③結論正確；④若方程組的解也是方程x+y=2-k的解，解方程組，得，∵x+y＝2﹣k∴3k-2+k-1=2-k，解得：k=1，故④結論正確，綜上所述，正確的是①②③④．故答案為：①②③④．【名師指路】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，以及解二元一次方程組的能力，熟練掌握解二元一次方程組的技能和二元一次方程解的定義是解答本題的關鍵．19．（2021·浙江蕭山·七年級期中）已知的解是，求的解為_____．【標準答案】【思路指引】首先將代入，方程同時×5，與方程相比較，即可得出方程組的解．【詳解詳析】把代入方程組得：，方程同時×5，得：，∴方程組的解為．故答案為：．【名師指路】本題考查二元一次方程組的解以及特殊解法，解題關鍵是熟練掌握二元一次方程組的解的含義．20．（2021·浙江越城·七年級期末）若方程組的解是，則方程組的解為__________________【標準答案】x=5.3，y=0.3【思路指引】通過觀察兩個方程組之間的關系，可得到，即可求解．【詳解詳析】方程組的解是，中，，解得，方程組的解為，故答案為：x=5.3，y=0.3．【名師指路】本題考查二元一次方程組的解，要比較兩個方程組的結構相似處，得出是解題的關鍵．三、解答題21．（2021·浙江·七年級月考）閱讀探索：解：設，原方程組變?yōu)榻獾?，即此種解方程組的方法叫換元法．（1）拓展提高：運用上述方法解方程組（2）能力運用，已知關于的方程組的解為求關于的方程組的解．【標準答案】（1）；（2）【思路指引】（1）設，，根據(jù)（1）中的結論確定出關于與方程組，求出解得到與的值，即可求出與的值；（2）設，根據(jù)已知方程組的解確定出與的值即可．【詳解詳析】解：（1）設，，方程組變形得：，解得：，即，解得：；（2）設，可得，解得：．【名師指路】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．22．（2021·浙江杭州·七年級期中）關于的二元一次方程組的解是正整數(shù)，求整數(shù)的值．【標準答案】?4，0，2【思路指引】表示出方程組的解，由方程組的解為正整數(shù)確定出整數(shù)k的值即可．【詳解詳析】解：方程組，①×2?②得：（4?k）y＝8，解得：y＝，把y＝代入①得：x＝，由方程組的解為正整數(shù)，得到4?k＝1，2，4，8，解得：k＝3，2，0，?4，代入x＝，檢驗得：k＝2，?4，0，則整數(shù)k的值為?4，0，2．【名師指路】此題考查了解二元一次方程組及方程組的特殊解，表示出方程組的解是本題的關鍵．23．（2021·浙江·七年級期中）解方程組：（1）；（2）．【標準答案】（1）；（2）【思路指引】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．【詳解詳析】解：（1），①②得：，解得：，把代入①得：，則原方程組的解為；（2）方程組整理得：，①②得：，解得：，①②得：，解得：，則方程組的解為．【名師指路】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．24．（2021·浙江·杭州市公益中學七年級期中）已知關于，的方程組，其中是實數(shù)．（1）若，求的值；（2）若方程組的解也是方程的一個解，求的值；（3）求為何值時，代數(shù)式的值與的取值無關，始終是一個定值，求出這個定值．【標準答案】（1）；（2）-1；（3）k=6；定值為25．【思路指引】（1）把a看做已知數(shù)，利用加減消元法求出解即可；（2）把方程組的解代入方程計算求出a的值，代入原式計算即可求出值；（3）將代數(shù)式x2-kxy+9y2的配方=（x-3y）2+6xy-kxy=25+（6-k）xy，即可求解．【詳解詳析】解：（1）方程組，①②得：，解得：，把代入①得：，則方程組的解為，令，解得；（2）把方程組代入方程得：，解得：，則；（3），且代數(shù)式的值與的取值無關，當時，代數(shù)式的值與的取值無關，定值為25．【名師指路】此題考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．25．（2021·浙江·七年級期末）如果關于x、y的二元一次方程組解是求關于x、y的方程組的解,（1）；（2）【標準答案】（1）；（2）【思路指引】（1）仿照已知方程組的解，列出關于、的方程組，求出方程組的解即可得到、的值即可；（2）仿照已知方程組的解，列出關于、的方程組，求出方程組的解即可得到、的值即可．【詳解詳析】解：關于、的二元一次方程組的解是，（1）由可得：，解得；（2）由可得：，解得．【名師指路】此題考查了二元一次方程組的解，利用了類比的方法，弄清題中方程組解的特征是解本題的關鍵．26．（2021·浙江蕭山·七年級期中）解下列方程組：（1）；（2）．【標準答案】（1）；（2）．【思路指引】（1）利用加減消元法求解即可；（2）先對原方程進行化簡，再利用加減消元法求解即可；【詳解詳析】解：（1），①×2+②得，7a＝21，解得a＝3，將a＝3代入①，得b＝﹣2，故原方程組的解是；（2）化簡①得，3x+2y＝7③，②×2﹣③得，﹣x＝1，解得，x＝﹣1，將x＝3代入②得，y＝5，故原方程組的解是．【名師指路】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握消元法解方程組的步驟是解題的關鍵．27．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學七年級開學考試）解關于x，y的方程組時，甲正確地解出，乙因為把c抄錯了，誤解為，求2a+b-c的平方根．【標準答案】2a+b-c的平方根是±2．【思路指引】把代入方程求出c的值，把，分別代入方程求出a和b的值，然后可求出求2a+b-c的平方根．【詳解詳析】把代入方程，得：，解得：．把，分別代入方程，得：，解得，∴，∴2a+b-c=4，∴2a+b-c的平方根是±2．【名師指路】本題考查了二元一次方程組的解，以及二元一次方程組的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加減消元法和代入消元法兩種，靈活選擇合適的方法是解答本題的關鍵．28．（2021·浙江金華·八年級期中）對，定義一種新運算（中，均為非零常數(shù)）．例如：；已知，．（1）求，的值；（2）若關于的不等式組恰好只有個整數(shù)解，求的取值范圍．【標準答案】（1）a=1，b=-3；（2）【思路指引】（1）根據(jù)題中的新定義列出關于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值；（2）根據(jù)題中的新定義列出不等式組，根據(jù)不等式組恰好只有個整數(shù)解，確定出k的范圍即可．【詳解詳析】解：（1）∵，，∴，解得：；（2）∵a=1，b=-3，∴，∴可變形為，化簡得：，解得：，∵不等式組恰好只有個整數(shù)解，∴，解得：．【名師指路】此題考查了解一元一次不等式組及解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．29．（2021·浙江·杭