分母有理化組卷

分母有理化組卷第12頁（共20頁）2016年02月01日王俊燕的初中數(shù)學(xué)組卷一．選擇題（共3小題）1．（2005春?涪陵區(qū)校級(jí)期中）把分母有理化得（）A． B． C． D．12．（2002?金華）把分母有理化的結(jié)果是（）A． B． C．1﹣ D．﹣1﹣3．（1997?河北）化簡的結(jié)果是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣二．填空題（共13小題）4．（2013秋?上海校級(jí)期中）分母有理化=．5．（2013秋?新沂市期中）化去分母中的根號(hào)：=．6．（2012秋?甘井子區(qū)期末）化簡：=．7．（2012?南京）計(jì)算的結(jié)果是．8．（2010秋?柳南區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：=，=，=．9．（2010秋?建陽市校級(jí)月考）化簡的結(jié)果是．10．（2007?廈門）計(jì)算=．11．（2007秋?招遠(yuǎn)市期末）觀察下列等式：；…請(qǐng)用含有自然數(shù)n（n≥1）的式子將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來．12．將分母中的根號(hào)去掉：（1）=，（2）=．13．計(jì)算：==；==；==．按照以上的規(guī)律，寫出接下來的一個(gè)式子，并計(jì)算：．14．計(jì)算：=．15．寫出一個(gè)無理數(shù)，使它與3的積是有理數(shù)．16．分母有理化：=；=（a＞0）．三．解答題（共14小題）17．（2015春?崆峒區(qū)期末）閱讀下列解題過程：，，請(qǐng)回答下列回題：（1）觀察上面的解答過程，請(qǐng)直接寫出=；（2）根據(jù)上面的解法，請(qǐng)化簡：．18．（2015春?泰興市期末）閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如、這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：；．以上這種化簡過程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：．（1）請(qǐng)用其中一種方法化簡；（2）化簡：．19．（2015春?東城區(qū)期末）在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，如遇到，，這樣的式子，還需做進(jìn)一步的化簡：==．①==．②===﹣1．③以上化簡的步驟叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：====﹣1．④（Ⅰ）請(qǐng)用不同的方法化簡（1）參照③式化簡=（2）參照④式化簡（Ⅱ）化簡：+++…+．20．（2015春?新泰市期中）閱讀下面的問題：==；==；==2﹣…（1）求的值；（2）已知m是正整數(shù)，求的值；（3）計(jì)算++…++．21．（2015秋?泗縣期中）觀察下列一組等式的化簡．然后解答后面的問題：==；==；==2﹣…（1）在計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律=（n表示大于0的自然數(shù)）（2）通過上述化簡過程，可知（天“＞”、“＜”或“=”）；（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算下列式子的值：（…+）（）22．（2013秋?古田縣校級(jí)期末）先閱讀，后解答：像上述解題過程中，相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個(gè)式子稱為互為有理化因式，上述解題過程也稱為分母有理化，（1）的有理化因式是；的有理化因式是．（2）將下列式子進(jìn)行分母有理化：（1）=；（2）=．（3）已知，比較a與b的大小關(guān)系．23．（2014春?袁州區(qū)校級(jí)期中）先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a、b使a+b=m，ab=n，這樣（）2+（）2=m，?=，那么便有==±（a＞b）例如：化簡解：首先把化為，這里m=7，n=12；由于4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，?=，∴===2+由上述例題的方法化簡：（1）；（2）；（3）．24．（2013秋?涉縣校級(jí)月考）學(xué)完“二次根式”這一章后，老師給茗茗布置了一道題，你幫幫茗茗做一下．（1）根據(jù)以前學(xué)過的知識(shí)我們知道，兩個(gè)有理數(shù)的積是1，則你這兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)．同樣，當(dāng)兩個(gè)實(shí)數(shù)a+與a﹣的積是1時(shí)，我們?nèi)匀环Q這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)互為倒數(shù)．計(jì)算下列各式，并判斷哪些式中的實(shí)數(shù)是互為倒數(shù)的．①（2+）（2﹣）；②（2+）（2﹣）；③（3+2）（3﹣2）④（4+）（4﹣）⑤（5+）（5﹣）（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算和判斷，請(qǐng)你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出當(dāng)實(shí)數(shù)a+與a﹣互為倒數(shù)時(shí)，a與b之間的數(shù)量關(guān)系；（3）若x=8+3，y=8﹣3，則（xy）2003的值是多少？25．（2014春?趙縣期末）（1）（2）（3）．26．（2014春?孝義市期末）（1）計(jì)算：?（÷）；（2）已知實(shí)數(shù)x、y滿足：+（y﹣）2=0，求的值．27．（2012春?西城區(qū)校級(jí)期中）①②．28．（2010秋?浦東新區(qū)期中）計(jì)算：÷×（a＞0）．29．（2010秋?宿豫區(qū)期中）計(jì)算：．30．（2009秋?信州區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：①（+）×②（4﹣3）÷2③（+）（﹣）④（5+2）2．

2016年02月01日王俊燕的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共3小題）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分母有理化的計(jì)算方法，解法的關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷分母的有理化因式．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．即一項(xiàng)符號(hào)和絕對(duì)值相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反絕對(duì)值相同．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化的知識(shí)，一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．二．填空題（共13小題）4．（2013秋?上海校級(jí)期中）分母有理化=．【考點(diǎn)】分母有理化．【分析】根據(jù)分母有理化的定義先分子、分母同乘以，去掉分母中的根號(hào)，從而得出答案．【解答】解：==；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分母有理化，分母有理化就是指通過分子分母同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)，來消去分母中的根號(hào)，從而使分母變?yōu)橛欣頂?shù)．完成分母有理化，常要用到平方差公式．5．（2013秋?新沂市期中）化去分母中的根號(hào)：=．【考點(diǎn)】分母有理化．【分析】分子分母同時(shí)乘以即可得出結(jié)論．【解答】解：原式==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式是解答此題的關(guān)鍵．6．（2012秋?甘井子區(qū)期末）化簡：=．【考點(diǎn)】分母有理化．【分析】分子、分母同乘，計(jì)算即可求出結(jié)果．【解答】解：==．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的分母有理化，一般地，將分子、分母同乘分母的有理化因式，可將分母中的根號(hào)化去．本題還可將分子寫成（）2，再約分即可．7．（2012?南京）計(jì)算的結(jié)果是+1．【考點(diǎn)】分母有理化．【專題】計(jì)算題．【分析】分子分母同時(shí)乘以即可進(jìn)行分母有理化．【解答】解：原式===+1．故答案為：+1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分母有理化的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握分母有理化的法則．8．（2010秋?柳南區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：=2，=，=||．【考點(diǎn)】分母有理化．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【解答】解：===2，=，=||．故答案為：2，，||．【點(diǎn)評(píng)】考查了分母有理化和二次根式的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題型，比較簡單．9．（2010秋?建陽市校級(jí)月考）化簡的結(jié)果是﹣．【考點(diǎn)】分母有理化．【專題】常規(guī)題型．【分析】分子、分母同乘以有理化因式，即可分母有理化使式子最簡．【解答】解；=﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查分母有理化，關(guān)鍵是確定有理化因式．10．（2007?廈門）計(jì)算=．【考點(diǎn)】分母有理化．【專題】計(jì)算題．【分析】運(yùn)用二次根式的乘法法則，將分子的二次根式化為積的形式，約分，比較簡便．【解答】解：原式==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次根式的化簡和二次根式的運(yùn)算法則．注意最簡二次根式的條件是：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)因式．上述兩個(gè)條件同時(shí)具備（缺一不可）的二次根式叫最簡二次根式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．12．將分母中的根號(hào)去掉：（1）=，（2）=．【考點(diǎn)】分母有理化．【分析】（1）分子分母都乘以，可分母有理化；（2）分子分母都乘以，可分母有理化．【解答】解：（1）原式==；（2）原式===2，故答案為：，2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化，利用了二次根式的乘法．13．計(jì)算：==﹣；==2﹣；==﹣2．按照以上的規(guī)律，寫出接下來的一個(gè)式子，并計(jì)算：﹣3．【考點(diǎn)】分母有理化．【分析】根據(jù)分子分母同乘以有理化因式進(jìn)行分析整理．【解答】解：===﹣；===2﹣；===﹣2．===﹣3．故答案是：﹣；2﹣；﹣2；﹣3．【點(diǎn)評(píng)】主要考查二次根式的有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．即一項(xiàng)符號(hào)和絕對(duì)值相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反絕對(duì)值相同．14．計(jì)算：=．【考點(diǎn)】分母有理化．【分析】分子分母同乘以，再化簡即可．【解答】解：==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】主要考查二次根式的有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化是解題的關(guān)鍵．15．寫出一個(gè)無理數(shù)，使它與3的積是有理數(shù)．【考點(diǎn)】分母有理化．【專題】開放型．【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要寫出一個(gè)符合條件的數(shù)即可．【解答】解：如：，∵×3=6，∴故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理數(shù)的應(yīng)用，注意：3的有理化因式是n（n為非零整數(shù)）．16．分母有理化：=；=（a＞0）．【考點(diǎn)】分母有理化．【分析】利用二次根式的性質(zhì)，即可將各二次根式化簡，注意分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．【解答】解：==；=．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分母有理化的知識(shí)．此題比較簡單，注意將各二次根式化為最簡二次根式是解此題的關(guān)鍵．三．解答題（共14小題）17．（2015春?崆峒區(qū)期末）閱讀下列解題過程：，，請(qǐng)回答下列回題：（1）觀察上面的解答過程，請(qǐng)直接寫出=﹣；（2）根據(jù)上面的解法，請(qǐng)化簡：．【考點(diǎn)】分母有理化．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）根據(jù)題目提供的信息，最后結(jié)果等于分母的有理化因式；（2）先把每一項(xiàng)都分母有理化，然后相加減即可得解．【解答】解：（1）=﹣；（2）+++…++，=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，=﹣1，=10﹣1，=9．故答案為：（1）﹣，（2）9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化，讀懂題目信息，得出每一個(gè)分式化簡的最后結(jié)果等于分母的有理化因式是解題的關(guān)鍵．18．（2015春?泰興市期末）閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如、這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：；．以上這種化簡過程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：．（1）請(qǐng)用其中一種方法化簡；（2）化簡：．【考點(diǎn)】分母有理化．【專題】閱讀型．【分析】（1）運(yùn)用第二種方法求解，（2）先把每一個(gè)加數(shù)進(jìn)行分母有理化，再找出規(guī)律后面的第二項(xiàng)和前面的第一項(xiàng)抵消，得出答案，【解答】解：（1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)有理化因式．19．（2015春?東城區(qū)期末）在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，如遇到，，這樣的式子，還需做進(jìn)一步的化簡：==．①==．②===﹣1．③以上化簡的步驟叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：====﹣1．④（Ⅰ）請(qǐng)用不同的方法化簡（1）參照③式化簡=﹣（2）參照④式化簡=﹣（Ⅱ）化簡：+++…+．【考點(diǎn)】分母有理化．【專題】閱讀型．【分析】（Ⅰ）中，通過觀察，發(fā)現(xiàn)：分母有理化的兩種方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解達(dá)到約分的目的；（Ⅱ）中，注意找規(guī)律：分母的兩個(gè)被開方數(shù)相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出現(xiàn)抵消的情況．【解答】解：（1）參照③式化簡==﹣．故答案是：﹣．（2）參照④式化簡====﹣．故答案是：=﹣．（Ⅱ）原式=（+++…+）=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．即一項(xiàng)符號(hào)和絕對(duì)值相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反絕對(duì)值相同．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用分母有理化，利用平方差公式，找出有理化因式是解答此題的關(guān)鍵．21．（2015秋?泗縣期中）觀察下列一組等式的化簡．然后解答后面的問題：==；==；==2﹣…（1）在計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律=﹣（n表示大于0的自然數(shù)）（2）通過上述化簡過程，可知＞（天“＞”、“＜”或“=”）；（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算下列式子的值：（…+）（）【考點(diǎn)】分母有理化．【專題】閱讀型．【分析】（1）根據(jù)平方差公式，可得答案；（2）根據(jù)分母有理化，可得答案；（3）根據(jù)分母有理化，可得平方差公式，根據(jù)平方差公式，可得答案．【解答】解：（1）=﹣；（2）﹣=，﹣=，﹣＞﹣；（3）原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣1）（+1）=2016﹣1=2015．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的關(guān)鍵．22．（2013秋?古田縣校級(jí)期末）先閱讀，后解答：像上述解題過程中，相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個(gè)式子稱為互為有理化因式，上述解題過程也稱為分母有理化，（1）的有理化因式是；的有理化因式是﹣2．（2）將下列式子進(jìn)行分母有理化：（1）=；（2）=3﹣．（3）已知，比較a與b的大小關(guān)系．【考點(diǎn)】分母有理化．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）的有理化因式是它本身，的有理化因式符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．據(jù)此作答；（2）①分子、分母同乘以最簡公分母即可；②分子、分母同乘以最簡公分母3﹣，再化簡即可；（3）把a(bǔ)的值通過分母有理化化簡，再比較．【解答】解：（1）的有理化因式是；的有理化因式是﹣2．（2）（1）==；（2）==3﹣；（3）∵a=，b=2﹣，∴a=b．【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次根式的分母有理化，確定最簡公分母是關(guān)鍵．23．（2014春?袁州區(qū)校級(jí)期中）先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a、b使a+b=m，ab=n，這樣（）2+（）2=m，?=，那么便有==±（a＞b）例如：化簡解：首先把化為，這里m=7，n=12；由于4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，?=，∴===2+由上述例題的方法化簡：（1）；（2）；（3）．【考點(diǎn)】分母有理化．【專題】計(jì)算題．【分析】先把各題中的無理式變成的形式，再根據(jù)范例分別求出各題中的a、b，即可求解．【解答】解：（1）==﹣；（2）===﹣；（3）==．【點(diǎn)評(píng)】主要考查二次根式根號(hào)內(nèi)含有根號(hào)的式子化簡．根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式根號(hào)內(nèi)含有根號(hào)的式子化簡．二次根式根號(hào)內(nèi)含有根號(hào)的式子化簡主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根號(hào)內(nèi)含有根號(hào)的式子化簡是符合完全平方公式的特點(diǎn)的式子．24．（2013秋?涉縣校級(jí)月考）學(xué)完“二次根式”這一章后，老師給茗茗布置了一道題，你幫幫茗茗做一下．（1）根據(jù)以前學(xué)過的知識(shí)我們知道，兩個(gè)有理數(shù)的積是1，則你這兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)．同樣，當(dāng)兩個(gè)實(shí)數(shù)a+與a﹣的積是1時(shí)，我們?nèi)匀环Q這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)互為倒數(shù)．計(jì)算下列各式，并判斷哪些式中的實(shí)數(shù)是互為倒數(shù)的．①（2+）（2﹣）；②（2+）（2﹣）；③（3+2）（3﹣2）④（4+）（4﹣）⑤（5+）（5﹣）（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算和判斷，請(qǐng)你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出當(dāng)實(shí)數(shù)a+與a﹣互為倒數(shù)時(shí)，a與b之間的數(shù)量關(guān)系；（3）若x=8+3，y=8﹣3，則（xy）2003的值是多少？【考點(diǎn)】分母有理化．【專題】閱讀型．【分析】（1）先計(jì)算，再根據(jù)定義判定哪些式中的實(shí)數(shù)是互為倒數(shù)，（2）由實(shí)數(shù)是互為倒數(shù)的定義求解即可，（3）先求出xy，再求（xy）2003的值即可．【解答】解：（1）①（2+）?（2﹣）=1；②（2+）?（2﹣）=﹣1；③（3+2）?（3﹣2）=1；④（4+）?（4﹣）=1；⑤（5+）?（5﹣）=﹣1；所以①③④中的實(shí)數(shù)是互為倒數(shù)的．（2）由（a+）?（a﹣）=a2﹣b，可得a2﹣b=1時(shí)，實(shí)數(shù)a+與a﹣互為倒數(shù)．（3）∵x=8+3，y=8﹣3，∴xy=1∴（xy）2003=1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是理解題中的概念．25．（2014春?趙縣期末）（1）（2）（3）．【考點(diǎn)】二次根式的乘除法；完全平方公式．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）先將各二次根式化為最簡，再運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行運(yùn)算，然后再進(jìn)行二次根式的加減．（2）運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．（3）直接進(jìn)行開方運(yùn)算即可得出答案．【解答】解：（1）原式=6×（3﹣5﹣2）=18﹣60﹣12，=6﹣60，=12﹣60；（2）原式=﹣，=18﹣75，=﹣57；（3）==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的乘除運(yùn)算，難度不大，注意在運(yùn)算時(shí)公式的運(yùn)用，更要細(xì)心．26．（2014春?孝義