2022-2023學(xué)年山東省臨沂市六縣高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2山東省臨沂市六縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）．A.15 B.30 C.45 D.60〖答案〗C〖解析〗，故選：C．2.已知離散型隨機變量X的分布列如下表：X0123Pa若離散型隨機變量，則（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由分布列的性質(zhì)可知：解得，由，等價于，由表可知；故選：A.3.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）．A.， B.，C. D.〖答案〗C〖解析〗，函數(shù)定義域為，，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.4.在的展開式中，含項的系數(shù)是（）．A.110 B.112 C.114 D.116〖答案〗D〖解析〗在的展開式中，含項的系數(shù)為.故選：D5.“哥德巴赫猜想”被譽為數(shù)學(xué)皇冠上的一顆明珠，是數(shù)學(xué)界尚未解決的三大難題之一．其內(nèi)容是：“任意一一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)（質(zhì)數(shù)）之和．”若我們將10拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，在加數(shù)都大于2的條件下，兩個加數(shù)均為素數(shù)的概率是（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗記“兩個加數(shù)都大于2”為事件A，“兩個加數(shù)都為素數(shù)”為事件B，在加數(shù)都大于2的條件下則事件A有這5種情況事件B有這3種情況，故.故選：B.6.函數(shù)在時有極小值0，則（）A.7 B.6 C.11 D.4〖答案〗C〖解析〗由已知可得，.因為在時有極小值0，所以有，即，解得或.當(dāng)時，恒成立，所以，在R上單調(diào)遞增，此時沒有極值點，舍去；當(dāng)時，.由可得，或.由可得，，所以在上單調(diào)遞減；由可得，或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.所以，在處取得極大值，在處取得極小值，滿足題意.所以，，.故選：C.7.五一國際勞動節(jié)，學(xué)校團委舉辦“我勞動，我快樂”的演講比賽．某班有甲、乙、丙等5名同學(xué)參加，抽簽確定出場順序．在“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”的前提下，學(xué)生甲、乙相鄰出場的概率為（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)“學(xué)生甲、乙相鄰出場”為事件，“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”為事件，共有種情況，學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場的情況有種，所以，甲乙同學(xué)按出場順序一定，且相鄰出場的情況共有種，所以，則，故選：B．8.已知不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由不等式，可得，設(shè)，，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取極大值1.又，且時，，直線恒過點，當(dāng)時，作出與的圖像如下所示，恰有1個整數(shù)解，只需要滿足，解得，當(dāng)時，顯然有無窮多個整數(shù)解，不滿足條件，所以的取值范圍為.故選:D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題中，正確的是（）．A.隨機變量X服從二項分布，若，，則B.某投擲類游戲闖關(guān)規(guī)則是游戲者最多投擲5次，只要有一次投中，游戲者即闖關(guān)成功，并停止投擲，已知每次投中的概率為，則游戲者闖關(guān)成功的概率為C.從3個紅球2個白球中，一次摸出3個球，則摸出紅球的個數(shù)X服從超幾何分布，D.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，，則當(dāng)且僅當(dāng)時概率最大〖答案〗BCD〖解析〗A：，可得，A錯；B：利用間接法有，B對；C：，，，，則期望,故C正確；D：，所以，當(dāng)時概率最大，所以D對.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）．A.有兩個極值點B.點是曲線的對稱中心C.有三個零點D.若方程有兩個不同的根，則或5〖答案〗ABD〖解析〗由，則或時，時，所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以分別是的極大值點、極小值點，A對；，則，故點是曲線的對稱中心，B對；由，，，結(jié)合單調(diào)性知：在存在一個零點，其它位置無零點，C錯；若方程有兩個不同的根，由上分析知：或5，D對.故選：ABD11.已知，是兩個事件，且，，則下列結(jié)論一定成立的是（）．A.B.若，則與獨立C.若與獨立，且，則D.若與獨立，且，，則〖答案〗BC〖解析〗對于A：因為，當(dāng)與相互獨立時，此時，由于無法確定，的大小關(guān)系，故無法確定與的大小關(guān)系，故A錯誤；對于B：因為，則，所以，即，所以與獨立，故B正確；對于C：若與獨立，則，又，所以，則，即，故C正確；對于D：因為與獨立，且，，所以，則，所以，故D錯誤；故選：BC12.已知函數(shù)，是函數(shù)的極值點，以下幾個結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗函數(shù),,∵是函數(shù)的極值點，∴，即，

,當(dāng)時，

,,即A選項正確,B選項不正確;

,即D正確,C不正確.

故〖答案〗為:AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則__________．〖答案〗0.4〖解析〗因隨機變量服從正態(tài)分布，故該正態(tài)曲線關(guān)于對稱，因，所以，所以，，故〖答案〗為：0.4.14.某大學(xué)四名學(xué)生利用暑期到學(xué)校的實踐基地進行實習(xí)，每人從，，，四個基地中任選一個，不考慮其他條件，則不同的選法有__________．〖答案〗〖解析〗依題意每位同學(xué)均有種選擇，按照分步乘法計數(shù)原理可得不同的選法有種.故〖答案〗為：15.假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有10件，其中有3件次品；第二箱內(nèi)裝有20件，其中有2件次品．現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機取1個零件，已知取出的是次品，則它是從第一箱取出的概率為__________．〖答案〗0.75〖解析〗設(shè)事件表示從第箱中取一個零件，事件表示取出的零件是次品，則,所以已知取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率為.故〖答案〗為：.16.函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為__________．〖答案〗〖解析〗令，，則，化簡得到，故在上增函數(shù)，而由可得，即，故即，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.甲、乙兩種品牌手表，它們的日走時誤差分別為X和Y（單位：s），其分布列為（1）求和；（2）求和，并比較兩種品牌手表的性能．解：（1）由已知可得，，.（2）由（1）知，，所以，.又，所以.所以，，，所以，兩品牌手表的誤差平均水平相當(dāng)，但是甲品牌的手表走時更穩(wěn)定.18.已知函數(shù).（1）若在處取得極小值，求實數(shù)的值；（2）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，所以，得，此時，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，符合題意，故實數(shù)的值為.（2）由（1）知，，因在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立.因為，所以在上恒成立，即在上恒成立.因為在上單調(diào)遞減，所以，故實數(shù)的取值范圍為.19.已知展開式的前三項的二項式系數(shù)之和為22，所有項的系數(shù)之和為1．（1）求n和a的值；（2）展開式中是否存在常數(shù)項？若有，求出常數(shù)項；若沒有，請說明理由．解：（1）由題意，，即．解得或（舍去），所以．因為所有項的系數(shù)之和為1，所以，解得（舍去）或．所以.（2）展開式中存在常數(shù)項，因為，所以．令，解得，所以展開式中常數(shù)項為．20.甲、乙兩箱各有6個大小相同的小球，其中甲箱2個紅球，4個藍(lán)球，乙箱3個紅球，3個藍(lán)球．先從甲箱隨機摸出2個球放入乙箱，再從乙箱隨機摸出1個球．（1）從甲箱摸出的2個球至少有一個藍(lán)球的概率；（2）從乙箱摸出的小球是藍(lán)球的概率．解：（1）設(shè)事件“從甲箱摸出的藍(lán)球個數(shù)”，（，，），事件“從甲箱摸出的個球至少有一個藍(lán)球”，則且與互斥，所以，所以從甲箱摸出的個球至少有一個藍(lán)球的概率為．（2）記事件“從乙箱中摸出的是藍(lán)球”，則，，所以從乙箱摸出的是藍(lán)球概率為．21.基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點，也稱強基計劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．強基計劃的校考由試點高校自主命題，某試點高校校考過程中筆試通過后才能進入面試環(huán)節(jié)．2022年報考該試點高校的學(xué)生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布．其中，近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．已知的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計總體．（1）假設(shè)有84.135%學(xué)生的筆試成績高于該校預(yù)期的平均成績，求該校預(yù)期的平均成績大約是多少？（2）若筆試成績高于76.5進入面試，若從報考該試點高校的學(xué)生中隨機抽取10人，設(shè)其中進入面試學(xué)生數(shù)為，求隨機變量的期望．（3）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、．設(shè)這4名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則：；；．解：（1）由.又，，，所以該校預(yù)期的平均成績大約是.（2）由得，，即從所有參加筆試的學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生，該生筆試成績76.5以上的概率為.所以隨機變量服從二項分布，所以.（3）X的可能取值為0，1，2，3，4，由題意可知，，，，，.所以，的分布列為X01234所以.22.已知函數(shù)，函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若與的圖象在區(qū)間上有兩個不同的交點，求k的取值范圍．解：（1）由題意可得的定義域為，且．①當(dāng)時，由，得；由，得．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．②當(dāng)時，由，得；由，得．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）當(dāng)時，令，得，即，則與的圖象在上有兩個不同的交點，等價于在上有兩個不同的實根．設(shè)，則．由，得；由，得．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故．因為，，且，所以要使在上有兩個不同的實根，則，即k的取值范圍為．山東省臨沂市六縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）．A.15 B.30 C.45 D.60〖答案〗C〖解析〗，故選：C．2.已知離散型隨機變量X的分布列如下表：X0123Pa若離散型隨機變量，則（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由分布列的性質(zhì)可知：解得，由，等價于，由表可知；故選：A.3.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）．A.， B.，C. D.〖答案〗C〖解析〗，函數(shù)定義域為，，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.4.在的展開式中，含項的系數(shù)是（）．A.110 B.112 C.114 D.116〖答案〗D〖解析〗在的展開式中，含項的系數(shù)為.故選：D5.“哥德巴赫猜想”被譽為數(shù)學(xué)皇冠上的一顆明珠，是數(shù)學(xué)界尚未解決的三大難題之一．其內(nèi)容是：“任意一一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)（質(zhì)數(shù)）之和．”若我們將10拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，在加數(shù)都大于2的條件下，兩個加數(shù)均為素數(shù)的概率是（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗記“兩個加數(shù)都大于2”為事件A，“兩個加數(shù)都為素數(shù)”為事件B，在加數(shù)都大于2的條件下則事件A有這5種情況事件B有這3種情況，故.故選：B.6.函數(shù)在時有極小值0，則（）A.7 B.6 C.11 D.4〖答案〗C〖解析〗由已知可得，.因為在時有極小值0，所以有，即，解得或.當(dāng)時，恒成立，所以，在R上單調(diào)遞增，此時沒有極值點，舍去；當(dāng)時，.由可得，或.由可得，，所以在上單調(diào)遞減；由可得，或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.所以，在處取得極大值，在處取得極小值，滿足題意.所以，，.故選：C.7.五一國際勞動節(jié)，學(xué)校團委舉辦“我勞動，我快樂”的演講比賽．某班有甲、乙、丙等5名同學(xué)參加，抽簽確定出場順序．在“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”的前提下，學(xué)生甲、乙相鄰出場的概率為（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)“學(xué)生甲、乙相鄰出場”為事件，“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”為事件，共有種情況，學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場的情況有種，所以，甲乙同學(xué)按出場順序一定，且相鄰出場的情況共有種，所以，則，故選：B．8.已知不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由不等式，可得，設(shè)，，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取極大值1.又，且時，，直線恒過點，當(dāng)時，作出與的圖像如下所示，恰有1個整數(shù)解，只需要滿足，解得，當(dāng)時，顯然有無窮多個整數(shù)解，不滿足條件，所以的取值范圍為.故選:D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題中，正確的是（）．A.隨機變量X服從二項分布，若，，則B.某投擲類游戲闖關(guān)規(guī)則是游戲者最多投擲5次，只要有一次投中，游戲者即闖關(guān)成功，并停止投擲，已知每次投中的概率為，則游戲者闖關(guān)成功的概率為C.從3個紅球2個白球中，一次摸出3個球，則摸出紅球的個數(shù)X服從超幾何分布，D.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，，則當(dāng)且僅當(dāng)時概率最大〖答案〗BCD〖解析〗A：，可得，A錯；B：利用間接法有，B對；C：，，，，則期望,故C正確；D：，所以，當(dāng)時概率最大，所以D對.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）．A.有兩個極值點B.點是曲線的對稱中心C.有三個零點D.若方程有兩個不同的根，則或5〖答案〗ABD〖解析〗由，則或時，時，所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以分別是的極大值點、極小值點，A對；，則，故點是曲線的對稱中心，B對；由，，，結(jié)合單調(diào)性知：在存在一個零點，其它位置無零點，C錯；若方程有兩個不同的根，由上分析知：或5，D對.故選：ABD11.已知，是兩個事件，且，，則下列結(jié)論一定成立的是（）．A.B.若，則與獨立C.若與獨立，且，則D.若與獨立，且，，則〖答案〗BC〖解析〗對于A：因為，當(dāng)與相互獨立時，此時，由于無法確定，的大小關(guān)系，故無法確定與的大小關(guān)系，故A錯誤；對于B：因為，則，所以，即，所以與獨立，故B正確；對于C：若與獨立，則，又，所以，則，即，故C正確；對于D：因為與獨立，且，，所以，則，所以，故D錯誤；故選：BC12.已知函數(shù)，是函數(shù)的極值點，以下幾個結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗函數(shù),,∵是函數(shù)的極值點，∴，即，

,當(dāng)時，

,,即A選項正確,B選項不正確;

,即D正確,C不正確.

故〖答案〗為:AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則__________．〖答案〗0.4〖解析〗因隨機變量服從正態(tài)分布，故該正態(tài)曲線關(guān)于對稱，因，所以，所以，，故〖答案〗為：0.4.14.某大學(xué)四名學(xué)生利用暑期到學(xué)校的實踐基地進行實習(xí)，每人從，，，四個基地中任選一個，不考慮其他條件，則不同的選法有__________．〖答案〗〖解析〗依題意每位同學(xué)均有種選擇，按照分步乘法計數(shù)原理可得不同的選法有種.故〖答案〗為：15.假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有10件，其中有3件次品；第二箱內(nèi)裝有20件，其中有2件次品．現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機取1個零件，已知取出的是次品，則它是從第一箱取出的概率為__________．〖答案〗0.75〖解析〗設(shè)事件表示從第箱中取一個零件，事件表示取出的零件是次品，則,所以已知取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率為.故〖答案〗為：.16.函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為__________．〖答案〗〖解析〗令，，則，化簡得到，故在上增函數(shù)，而由可得，即，故即，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.甲、乙兩種品牌手表，它們的日走時誤差分別為X和Y（單位：s），其分布列為（1）求和；（2）求和，并比較兩種品牌手表的性能．解：（1）由已知可得，，.（2）由（1）知，，所以，.又，所以.所以，，，所以，兩品牌手表的誤差平均水平相當(dāng)，但是甲品牌的手表走時更穩(wěn)定.18.已知函數(shù).（1）若在處取得極小值，求實數(shù)的值；（2）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，所以，得，此時，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，符合題意，故實數(shù)的值為.（2）由（1）知，，因在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立.因為，所以在上恒成立，即在上恒成立.因為在上單調(diào)遞減，所以，故實數(shù)的取值范圍為.19.已知展開式的前三項的二項式系數(shù)之和為22，所有項的系數(shù)之和為1．（1）求n和a的值；（2）展開式中是否存在常數(shù)項？若有，求出常數(shù)項；若沒有，請說明理由．解：（1）由題意，，即．解得或（舍去），所以．因為所有項的系數(shù)之和為1，所以，解得（舍去）或．所以.（2）展開式中存在常數(shù)項，因為，所以．令，解得，所以展開式中常數(shù)項為．20.甲、乙兩箱各有6個大小相同的小球，其中甲箱2個紅球，4個藍(lán)球，乙箱3個紅球，3個藍(lán)球．先從甲箱隨機摸出2個球放入乙箱，再從乙箱隨機摸出1個球．（1）從甲箱摸出的2個球至少有一個藍(lán)球的概率；（2）從乙箱摸出的小球是藍(lán)球的概率．解：（1）設(shè)事件“從甲箱摸出的藍(lán)球個數(shù)”，（，，），事件“從甲箱摸出的個球至少有一個藍(lán)球”，則且與互斥，所以，所以從甲箱摸出的個球至少有一個藍(lán)球的概率為．（2）記事件“從乙箱中摸出的是藍(lán)球”