2024屆北京市東城區(qū)高三下學(xué)期綜合練習(xí)（一）（一模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2北京市東城區(qū)2024屆高三下學(xué)期綜合練習(xí)（一）（一模）數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.如圖所示，是全集，是的子集，則陰影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.〖答案〗D 〖解析〗由韋恩圖可知陰影部分所表示的集合是.故選：D.2.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時，，故AD錯誤；當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，因為，所以，因為，所以且，則，所以，故C正確.故選：C.3.已知雙曲線的離心率為2，則（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由雙曲線可得：，，所以，故選：B.4.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的定義域為，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于CD，當(dāng)時，，故CD錯誤.故選：A.5.已知函數(shù)的最小正周期為，最大值為，則函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于直線對稱B.關(guān)于點對稱C.關(guān)于直線對稱D.關(guān)于點對稱〖答案〗C〖解析〗，其中，因為函數(shù)的最小正周期為，所以，解得，因為函數(shù)的最大值為，所以，解得（舍去），所以，因為，所以函數(shù)圖象不關(guān)于直線對稱，也不關(guān)于點對稱，故AB錯誤；因，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，不關(guān)于點對稱，故C正確，D錯誤.故選：C.6.已知，若，則的取值可以為（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗令，有，即或.

故選：A.7.《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.某校高一年級計劃實踐這種方法，為同學(xué)們準備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為，高為.首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同學(xué)制作四片瓦，全年級共500人，需要準備的粘土量（不計損耗）與下列哪個數(shù)字最接近.（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由條件可得四片瓦的體積（）所以500名學(xué)生，每人制作4片瓦共需粘土的體積為（），又，所以共需粘土的體積為約為，故選：B.8.設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由等差數(shù)列的公差為，得，則，當(dāng)時，，而，則，因此，為遞增數(shù)列；當(dāng)為遞增數(shù)列時，則，即有，整理得，不能推出，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A9.如圖1，正三角形與以為直徑的半圓拼在一起，是弧的中點，為的中心.現(xiàn)將沿翻折為，記的中心為，如圖2.設(shè)直線與平面所成的角為，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗取中點，連接，，由三角形為正三角形，故在線段上，且，即，由題意可得，，、平面，，故平面，又平面，故直線在平面投影為直線，即，則有，整理可得，，令，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，令，且，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即有最大值，即有最大值，則有最大值.故選：C.10.已知是定義在上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則存在實數(shù)，使得在上單調(diào)遞增B.對于任意實數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增C.對于任意實數(shù)，若存在實數(shù)，使得，則存在實數(shù)，使得D.若函數(shù)滿足：當(dāng)時，，當(dāng)時，，則為的最小值〖答案〗D〖解析〗函數(shù)表達的是函數(shù)圖象上兩點割線的斜率，當(dāng)時，表示的為切線斜率；所以對于A：因為是定義在上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在上單調(diào)遞增，所以設(shè)，則，此時為常數(shù)，即任意兩點割線的斜率為常數(shù)，故A錯誤；對于B：設(shè)，由圖象可知，當(dāng)時，隨增大，點與點連線的割線斜率越來越大，即單調(diào)遞增，但在不是單調(diào)函數(shù)，故B錯誤；對于C：因為對于任意實數(shù)存在實數(shù)，使得，說明為有界函數(shù)，所以設(shè)，但割線的斜率不一定有界，如圖當(dāng)時，割線的斜率趨于正無窮，故C錯誤；對于D：因為函數(shù)滿足：當(dāng)時，，即，因為，，所以；同理，當(dāng)時，，即，因為，，所以；所以為的最小值，故D正確；故選：D.第二部分（非選擇題）二、填空題11.若復(fù)數(shù)，則_________.〖答案〗〖解析〗，因此，.故〖答案〗為：.12.設(shè)向量，且，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)的夾角為，，故，又，故，方向相同，又，則，解得，滿足題意.故〖答案〗為：.13.已知角的終邊關(guān)于直線對稱，且，則的一組取值可以是______，______.〖答案〗（〖答案〗不唯一，符合題意即可）（〖答案〗不唯一，符合題意即可）〖解析〗因為角的終邊關(guān)于直線對稱，則，，則，因為，所以，所有或，，解得：或，，取，的一個值可以為，的一個值可以為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，符合題意即可）；（〖答案〗不唯一，符合題意即可）.14.已知拋物線的焦點為，則的坐標(biāo)為______；拋物線的焦點為，若直線分別與交于兩點；且，則______.〖答案〗〖解析〗由拋物線，可得，設(shè)，則，故，所以，所以.故〖答案〗為：；.15.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，滿足，其中常數(shù).給出下列四個判斷：①若，則；②若，則；③若，則；④，存在實數(shù)，使得.其中所有正確判斷的序號是______.〖答案〗②③④〖解析〗對于①：若，則，當(dāng)時，，與矛盾，①錯誤；對于②：若，則，所以，又，若，該不等式恒成立，即，由由于，所以，所以，所以時，，累加得，所以，所以，綜合得，②正確；對于③：若，，假設(shè)，則，與矛盾，故，③正確；對于④：當(dāng)時，若，則，此時，根據(jù)二次函數(shù)可得其在上單調(diào)遞增，并增加得越來越快，但是函數(shù)在上單調(diào)遞增，但增加速度恒定，故在的情況下，必成立，即存在實數(shù)，使得，④正確，故〖答案〗為：②③④.三、解答題16.中，.（1）求；（2）若為邊的中點，且，求的值.（1）解：因為，由正弦定理可得，即，，又因為，所以，解得，又因為，所以；（2）解：因為為邊的中點，，所以,設(shè),在中，由正弦定理可得，即，解得，又因為，所以，在中，，在中，，由余弦定理可得：，所以，即.17.某中學(xué)為了解本校高二年級學(xué)生閱讀水平現(xiàn)狀，從該年級學(xué)生中隨機抽取100人進行一般現(xiàn)代文閱讀速度的測試，以每位學(xué)生平均每分鐘閱讀的字數(shù)作為該學(xué)生的閱讀速度，將測試結(jié)果整理得到如下頻率分布直方圖：（1）若該校高二年級有1500人，試估計閱讀速度達到620字/分鐘及以上的人數(shù)；（2）用頻率估計概率，從該校高二學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）若某班有10名學(xué)生參加測試，他們的閱讀速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，從這10名學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人數(shù)為，試判斷數(shù)學(xué)期望與（2）中的的大小.（結(jié)論不要求證明）解：（1），故可估計閱讀速度達到620字/分鐘及以上的人數(shù)為人；（2）從中任取一人，其閱讀速度達到540字/分鐘及以上的概率為：，的可能取值為、、、，，，，，則其分布列為：其期望為：；（3），理由如下：這10名學(xué)生中，閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人數(shù)為人，的可能取值為、、，，，，則，故.18.如圖，在五面體中，底面為正方形，.（1）求證：；（2）若為的中點，為的中點，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分（1）證明：底面為正方形,則，又平面，平面，則平面，又平面平面，平面，故.（2）解：選①，取中點G,連接，因為，所以，易知為梯形的中位線，則，又平面，故平面，平面，則平面，且必相交，故平面，延長GM交BC于P,則P為中點，易得，故為矩形.以M為原點，所在直線為z軸，MG所在直線為x軸，過M作CB平行線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為.選②：取中點G,連接，易知為梯形的中位線，，則，由題，，則，故又平面，故平面，延長GM交BC于P,則P為中點，易得，故為矩形.以M為原點，所在直線為z軸，MG所在直線為x軸，過M作CB平行線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為..19.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)，求函數(shù)的最小值；（3）若，求實數(shù)的值.解：（1），則，所以曲線在處的切線方程為，即；（2），，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；（3）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，則，即，即，由（2）得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，因為，所以，此時不恒成立，故不符題意；當(dāng)時，若，則，則，即，即，由上可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得①，若，則，即，即，由上可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得②，由①②可得，綜上所述，.20.已知橢圓的短軸長為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，直線是圓的一條切線，且直線與橢圓交于兩點，若平行四邊形的頂點恰好在橢圓上，求平行四邊形的面積.解：（1）由題意可得，解得，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)圓的切線斜率不存在時，切線方程為，當(dāng)切線方程為時，由橢圓的對稱性可得，因為，所以點不在橢圓上，不符題意，當(dāng)切線方程為時，由橢圓的對稱性可得，因為，所以點不在橢圓上，不符題意，所以切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，則，所以①，聯(lián)立，整理得，則，解得，設(shè)，則，故，所以線段的中點坐標(biāo)為，因為四邊形為平行四邊形，所以，又因為點在橢圓上，所以②，將①代入②得，解得，所以，所以，所以.21.有窮數(shù)列中，令()，（1）已知數(shù)列，寫出所有的有序數(shù)對，且，使得；（2）已知整數(shù)列為偶數(shù)，若，滿足：當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.求的最小值；（3）已知數(shù)列滿足,定義集合A={.若且為非空集合，求證：.（1）解：為時，，為時，，為時，，為時，，故，且使得的有序數(shù)對有、、、；（2）解：由題意可得，，又為整數(shù)，故，，則，同理可得，即有，同理可得，當(dāng)時，有，即當(dāng)時，有，當(dāng)時，，故；（3）證明：對于數(shù)列，，不妨設(shè)，①首先考慮的情況，由于，，故，同理，，，故.②再考慮中有連續(xù)一段是連續(xù)的正整數(shù)的情況，此時,因為，，故這說明此連續(xù)的項的和為負.同理，當(dāng)含有多段的連續(xù)正整數(shù)的情況時，每段的和為負，再由①中結(jié)論，可得.③若在①②中，由于，此時去掉前項，則可轉(zhuǎn)化①②的情況，所以有.④若，則，所以此時有，綜上，結(jié)論成立.北京市東城區(qū)2024屆高三下學(xué)期綜合練習(xí)（一）（一模）數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.如圖所示，是全集，是的子集，則陰影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.〖答案〗D 〖解析〗由韋恩圖可知陰影部分所表示的集合是.故選：D.2.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時，，故AD錯誤；當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，因為，所以，因為，所以且，則，所以，故C正確.故選：C.3.已知雙曲線的離心率為2，則（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由雙曲線可得：，，所以，故選：B.4.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的定義域為，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于CD，當(dāng)時，，故CD錯誤.故選：A.5.已知函數(shù)的最小正周期為，最大值為，則函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于直線對稱B.關(guān)于點對稱C.關(guān)于直線對稱D.關(guān)于點對稱〖答案〗C〖解析〗，其中，因為函數(shù)的最小正周期為，所以，解得，因為函數(shù)的最大值為，所以，解得（舍去），所以，因為，所以函數(shù)圖象不關(guān)于直線對稱，也不關(guān)于點對稱，故AB錯誤；因，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，不關(guān)于點對稱，故C正確，D錯誤.故選：C.6.已知，若，則的取值可以為（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗令，有，即或.

故選：A.7.《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.某校高一年級計劃實踐這種方法，為同學(xué)們準備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為，高為.首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同學(xué)制作四片瓦，全年級共500人，需要準備的粘土量（不計損耗）與下列哪個數(shù)字最接近.（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由條件可得四片瓦的體積（）所以500名學(xué)生，每人制作4片瓦共需粘土的體積為（），又，所以共需粘土的體積為約為，故選：B.8.設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由等差數(shù)列的公差為，得，則，當(dāng)時，，而，則，因此，為遞增數(shù)列；當(dāng)為遞增數(shù)列時，則，即有，整理得，不能推出，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A9.如圖1，正三角形與以為直徑的半圓拼在一起，是弧的中點，為的中心.現(xiàn)將沿翻折為，記的中心為，如圖2.設(shè)直線與平面所成的角為，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗取中點，連接，，由三角形為正三角形，故在線段上，且，即，由題意可得，，、平面，，故平面，又平面，故直線在平面投影為直線，即，則有，整理可得，，令，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，令，且，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即有最大值，即有最大值，則有最大值.故選：C.10.已知是定義在上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則存在實數(shù)，使得在上單調(diào)遞增B.對于任意實數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增C.對于任意實數(shù)，若存在實數(shù)，使得，則存在實數(shù)，使得D.若函數(shù)滿足：當(dāng)時，，當(dāng)時，，則為的最小值〖答案〗D〖解析〗函數(shù)表達的是函數(shù)圖象上兩點割線的斜率，當(dāng)時，表示的為切線斜率；所以對于A：因為是定義在上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在上單調(diào)遞增，所以設(shè)，則，此時為常數(shù)，即任意兩點割線的斜率為常數(shù)，故A錯誤；對于B：設(shè)，由圖象可知，當(dāng)時，隨增大，點與點連線的割線斜率越來越大，即單調(diào)遞增，但在不是單調(diào)函數(shù)，故B錯誤；對于C：因為對于任意實數(shù)存在實數(shù)，使得，說明為有界函數(shù)，所以設(shè)，但割線的斜率不一定有界，如圖當(dāng)時，割線的斜率趨于正無窮，故C錯誤；對于D：因為函數(shù)滿足：當(dāng)時，，即，因為，，所以；同理，當(dāng)時，，即，因為，，所以；所以為的最小值，故D正確；故選：D.第二部分（非選擇題）二、填空題11.若復(fù)數(shù)，則_________.〖答案〗〖解析〗，因此，.故〖答案〗為：.12.設(shè)向量，且，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)的夾角為，，故，又，故，方向相同，又，則，解得，滿足題意.故〖答案〗為：.13.已知角的終邊關(guān)于直線對稱，且，則的一組取值可以是______，______.〖答案〗（〖答案〗不唯一，符合題意即可）（〖答案〗不唯一，符合題意即可）〖解析〗因為角的終邊關(guān)于直線對稱，則，，則，因為，所以，所有或，，解得：或，，取，的一個值可以為，的一個值可以為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，符合題意即可）；（〖答案〗不唯一，符合題意即可）.14.已知拋物線的焦點為，則的坐標(biāo)為______；拋物線的焦點為，若直線分別與交于兩點；且，則______.〖答案〗〖解析〗由拋物線，可得，設(shè)，則，故，所以，所以.故〖答案〗為：；.15.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，滿足，其中常數(shù).給出下列四個判斷：①若，則；②若，則；③若，則；④，存在實數(shù)，使得.其中所有正確判斷的序號是______.〖答案〗②③④〖解析〗對于①：若，則，當(dāng)時，，與矛盾，①錯誤；對于②：若，則，所以，又，若，該不等式恒成立，即，由由于，所以，所以，所以時，，累加得，所以，所以，綜合得，②正確；對于③：若，，假設(shè)，則，與矛盾，故，③正確；對于④：當(dāng)時，若，則，此時，根據(jù)二次函數(shù)可得其在上單調(diào)遞增，并增加得越來越快，但是函數(shù)在上單調(diào)遞增，但增加速度恒定，故在的情況下，必成立，即存在實數(shù)，使得，④正確，故〖答案〗為：②③④.三、解答題16.中，.（1）求；（2）若為邊的中點，且，求的值.（1）解：因為，由正弦定理可得，即，，又因為，所以，解得，又因為，所以；（2）解：因為為邊的中點，，所以,設(shè),在中，由正弦定理可得，即，解得，又因為，所以，在中，，在中，，由余弦定理可得：，所以，即.17.某中學(xué)為了解本校高二年級學(xué)生閱讀水平現(xiàn)狀，從該年級學(xué)生中隨機抽取100人進行一般現(xiàn)代文閱讀速度的測試，以每位學(xué)生平均每分鐘閱讀的字數(shù)作為該學(xué)生的閱讀速度，將測試結(jié)果整理得到如下頻率分布直方圖：（1）若該校高二年級有1500人，試估計閱讀速度達到620字/分鐘及以上的人數(shù)；（2）用頻率估計概率，從該校高二學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）若某班有10名學(xué)生參加測試，他們的閱讀速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，從這10名學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人數(shù)為，試判斷數(shù)學(xué)期望與（2）中的的大小.（結(jié)論不要求證明）解：（1），故可估計閱讀速度達到620字/分鐘及以上的人數(shù)為人；（2）從中任取一人，其閱讀速度達到540字/分鐘及以上的概率為：，的可能取值為、、、，，，，，則其分布列為：其期望為：；（3），理由如下：這10名學(xué)生中，閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人數(shù)為人，的可能取值為、、，，，，則，故.18.如圖，在五面體中，底面為正方形，.（1）求證：；（2）若為的中點，為的中點，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分（1）證明：底面為正方形,則，又平面，平面，則平面，又平面平面，平面，故.（2）解：選①，取中點G,連接，因為，所以，易知為梯形的中位線，則，又平面，故平面，平面，則平面，且必相交，故平面，延長GM交BC于P,則P為中點，易得，故為矩形.以M為原點，所在直線為z軸，MG所在直線為x軸，過M作CB平行線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為.選②：取中點G,連接，易知為梯形的中位線，，則，由題，，則，故又平面，故平面，延長GM交BC于P,則P為中點，易得，故為矩形.以M為原點，所在直線為z軸，MG所在直線為x軸，過M作CB平行線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為..19.已知函