2024屆北京市石景山區(qū)高三上學期期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2北京市石景山區(qū)2024屆高三上學期期末數(shù)學試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗，解得，所以，所以.故選：A.2.已知復數(shù)，在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得在復平面內(nèi)所對應的點為，則所對應的點為，所以，則，故選：B.3.展開式中含的項的系數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由展開式的通項公式=,,令即,∴展開式中含的項的系數(shù)為.故選:B.4.已知向量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，∴，∵，∴，解得：，故選：B.5.已知為等差數(shù)列的前項和，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，所以，故選：C．6.直線與圓有兩個不同交點的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圓，即，所以圓心為，半徑為，若直線與圓有兩個不同交點，則，，符合題意的只有.故選：A7.設函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，由于，所以，所以.故選：C.8.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是銳角，且.故選：B.9.設函數(shù)，則是（）A.偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減C.偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增D.奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減〖答案〗D〖解析〗的定義域為，，所以是奇函數(shù)，AC選項錯誤.當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞增，B選項錯誤.當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞減，D選項正確.故選：D.10.在正方體中，點在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)（不含邊界）一定存在一點，使得（）A. B.C.平面 D.平面平面〖答案〗A〖解析〗選項A，正方體中，顯然有，連接延長，如果直線交棱于點（圖1），則作交于，連接，則是梯形，作交于，則平面，如果直線交棱于點（圖2），則直接連接，在三角形內(nèi)作交于，也有平面，因此A正確；選項B，正方體中易知平面，因此與垂直的直線都可能平移到平面內(nèi)，而當平面，平面時，直線與平面相交，不可能平移到平面內(nèi)，B錯；選項C，由選項B知與不可能垂直，因此與平面也不可能垂直，C錯；選項D，過的平面只有平面與平面平行，因此要使得平面平面，則平面與平面重合，從而點只能在棱上，與已知不符，D錯．故選：A．第二部分（非選擇題）二、填空題11.函數(shù)的定義域為___________．〖答案〗〖解析〗依題意，，解得，所以的定義域為.故〖答案〗為：12.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為___________．〖答案〗〖解析〗由于雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以雙曲線的離心率.故〖答案〗為：13.某學校從全校學生中隨機抽取了50名學生作為樣本進行數(shù)學知識測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右頻率分布直方圖，則圖中的值為_______，若全校學生參加同樣的測試，估計全校學生的平均成績?yōu)開_________（每組成績用中間值代替）.〖答案〗〖解析〗由頻率分布直方圖中總面積為，即，解得，，故可估計全校學生的平均成績?yōu)?故〖答案〗為：；.14.已知命題：若，則．能說明為假命題的一組的值為______，_______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）（〖答案〗不唯一）〖解析〗，當且僅當時等號成立.所以，若，則，所以為假命題.所以一組的值為（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）；（〖答案〗不唯一）15.數(shù)列中，，給出下列四個結(jié)論：①若，則一定是遞減數(shù)列；②若，則一定是遞增數(shù)列；③若，，則對任意，都存在，使得；④若，，且對任意，都有，則的最大值是．其中所有正確結(jié)論的序號是___________．〖答案〗②③④〖解析〗依題意，，①若，則，如，則是擺動數(shù)列，所以①錯誤.②若，則，，構(gòu)造函數(shù)，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以，所以一定是遞增數(shù)列，②正確.③若，，則，，，，當時，，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，且每次遞增都超過，所以對任意，都存在，使得，③正確.④若，，則，對任意，都有，，，恒成立，所以，所以的最大值是，④正確.故〖答案〗為：②③④三、解答題16.如圖，在三棱錐中，平面平面，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．（1）證明：取中點，連接，因為，所以；因為，所以；因為平面，所以平面；因為平面，所以．（2）解：由（1）知，平面，因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以，，，如圖建立空間直角坐標系．由已知，易得，，在中，，所以得，，，所以設平面法向量為，則即令，則，，于是．又因為平面的法向量為，所以．由題知二面角為銳角，所以其余弦值為．17.設函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；條件②：時，的值域是；條件③：是的一條對稱軸．解：（1）因為，所以．因為，所以．（2）選①，∵，∴函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過點，不合題意；選②，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，且當時，的值域是，所以，.此時，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得，故．因為，所以.選③，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，解得．因為是的一條對稱軸，所以.所以，即，解得.由，可知.18.某學校體育課進行投籃練習，投籃地點分為區(qū)和區(qū)，每一個球可以選擇在區(qū)投籃也可以選擇在區(qū)投籃，在區(qū)每投進一球得2分，沒有投進得0分；在區(qū)每投進一球得3分，沒有投進得0分.學生甲在，兩區(qū)的投籃練習情況統(tǒng)計如下表：甲區(qū)區(qū)投籃次數(shù)得分假設用頻率估計概率，且學生甲每次投籃相互獨立．（1）試分別估計甲在區(qū)，區(qū)投籃命中概率；（2）若甲在區(qū)投個球，在區(qū)投個球，求甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率；（3）若甲在區(qū)，區(qū)一共投籃次，投籃得分的期望值不低于分，直接寫出甲選擇在區(qū)投籃的最多次數(shù)．（結(jié)論不要求證明）解：（1）甲在區(qū)投籃次，投進次，所以估計甲在區(qū)投籃進球的概率為，甲在區(qū)投籃次，投進次，所以估計甲在區(qū)投籃進球的概率為.（2）據(jù)題意，甲在區(qū)進球的概率估計為，在區(qū)投籃進球的概率估計為.設事件為“甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分”甲在區(qū)投個球，得分可能是，在區(qū)投個球，得分可能是.則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的情況有：區(qū)分區(qū)分，概率估計為，區(qū)分區(qū)分，概率估計為，區(qū)分區(qū)分，概率估計為，區(qū)分區(qū)分，概率估計為，區(qū)分區(qū)分，概率估計為，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率估計為.（3）甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計是，甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計是，設甲在區(qū)投籃次，則甲在區(qū)投籃次，則總的期望值估計為，解得，則甲選擇在區(qū)投籃的次數(shù)最多是次．19.已知橢圓，離心率為，短軸長為.（1）求橢圓的方程；（2）過坐標原點且不與坐標軸重合的直線交橢圓于，兩點，過點作軸的垂線，垂足為，直線與橢圓的另一個交點為．求證：為直角三角形．（1）解：由題意知，解得,所以橢圓的方程為；（2）證明：設直線的方程為，交橢圓于，，由題意知，所以，直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，所以，設的中點為，則，，所以，因為在中，，所以．所以，即，所以為直角三角形.20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求證：當時，；（3）設實數(shù)使得對恒成立，求的取值范圍．（1）解：，故，又，故有，即，故切線方程為；（2）證明：令，則，由，故，故在上單調(diào)遞減，所以，即當時，；（3）解：當時，，由（2）知，當時，，所以當時，對恒成立；當時，令，，當時，因為，所以，在上單調(diào)遞增，，不合題意，當時，得，當時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，則時，，不合題意，綜上，的取值范圍是.21.對于項數(shù)為的數(shù)列，若數(shù)列滿足，，其中，表示數(shù)集中最大的數(shù)，則稱數(shù)列是的數(shù)列.（1）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的數(shù)列是，寫出所有的數(shù)列；（2）證明：若數(shù)列中存在使得，則存在使得成立；（3）數(shù)列是的數(shù)列，數(shù)列是的數(shù)列，定義其中．求證：為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件是為單調(diào)遞增數(shù)列．（1）解：由題意，各項均為正整數(shù)的數(shù)列的數(shù)列是，寫出所有的數(shù)列為：，，，（2）證明：由題意，假設不存在使得成立，根據(jù)數(shù)列定義可知，，所以，則，即，所以，所以，這與已知矛盾，故若此數(shù)列中存在使得，則存在使得成立．（3）解：由題意，必要性：，，，則．因為為單調(diào)遞增數(shù)列，所以對所有的，或，否則．因此，所有的同號或為，即，所以為單調(diào)遞增數(shù)列．充分性：因為為單調(diào)遞增數(shù)列，，且，所以只能，所以同號或為，所以對所有的，或，所以．所以，即為單調(diào)遞增數(shù)列．北京市石景山區(qū)2024屆高三上學期期末數(shù)學試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗，解得，所以，所以.故選：A.2.已知復數(shù)，在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得在復平面內(nèi)所對應的點為，則所對應的點為，所以，則，故選：B.3.展開式中含的項的系數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由展開式的通項公式=,,令即,∴展開式中含的項的系數(shù)為.故選:B.4.已知向量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，∴，∵，∴，解得：，故選：B.5.已知為等差數(shù)列的前項和，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，所以，故選：C．6.直線與圓有兩個不同交點的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圓，即，所以圓心為，半徑為，若直線與圓有兩個不同交點，則，，符合題意的只有.故選：A7.設函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，由于，所以，所以.故選：C.8.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是銳角，且.故選：B.9.設函數(shù)，則是（）A.偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減C.偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增D.奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減〖答案〗D〖解析〗的定義域為，，所以是奇函數(shù)，AC選項錯誤.當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞增，B選項錯誤.當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞減，D選項正確.故選：D.10.在正方體中，點在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)（不含邊界）一定存在一點，使得（）A. B.C.平面 D.平面平面〖答案〗A〖解析〗選項A，正方體中，顯然有，連接延長，如果直線交棱于點（圖1），則作交于，連接，則是梯形，作交于，則平面，如果直線交棱于點（圖2），則直接連接，在三角形內(nèi)作交于，也有平面，因此A正確；選項B，正方體中易知平面，因此與垂直的直線都可能平移到平面內(nèi)，而當平面，平面時，直線與平面相交，不可能平移到平面內(nèi)，B錯；選項C，由選項B知與不可能垂直，因此與平面也不可能垂直，C錯；選項D，過的平面只有平面與平面平行，因此要使得平面平面，則平面與平面重合，從而點只能在棱上，與已知不符，D錯．故選：A．第二部分（非選擇題）二、填空題11.函數(shù)的定義域為___________．〖答案〗〖解析〗依題意，，解得，所以的定義域為.故〖答案〗為：12.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為___________．〖答案〗〖解析〗由于雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以雙曲線的離心率.故〖答案〗為：13.某學校從全校學生中隨機抽取了50名學生作為樣本進行數(shù)學知識測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右頻率分布直方圖，則圖中的值為_______，若全校學生參加同樣的測試，估計全校學生的平均成績?yōu)開_________（每組成績用中間值代替）.〖答案〗〖解析〗由頻率分布直方圖中總面積為，即，解得，，故可估計全校學生的平均成績?yōu)?故〖答案〗為：；.14.已知命題：若，則．能說明為假命題的一組的值為______，_______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）（〖答案〗不唯一）〖解析〗，當且僅當時等號成立.所以，若，則，所以為假命題.所以一組的值為（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）；（〖答案〗不唯一）15.數(shù)列中，，給出下列四個結(jié)論：①若，則一定是遞減數(shù)列；②若，則一定是遞增數(shù)列；③若，，則對任意，都存在，使得；④若，，且對任意，都有，則的最大值是．其中所有正確結(jié)論的序號是___________．〖答案〗②③④〖解析〗依題意，，①若，則，如，則是擺動數(shù)列，所以①錯誤.②若，則，，構(gòu)造函數(shù)，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以，所以一定是遞增數(shù)列，②正確.③若，，則，，，，當時，，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，且每次遞增都超過，所以對任意，都存在，使得，③正確.④若，，則，對任意，都有，，，恒成立，所以，所以的最大值是，④正確.故〖答案〗為：②③④三、解答題16.如圖，在三棱錐中，平面平面，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．（1）證明：取中點，連接，因為，所以；因為，所以；因為平面，所以平面；因為平面，所以．（2）解：由（1）知，平面，因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以，，，如圖建立空間直角坐標系．由已知，易得，，在中，，所以得，，，所以設平面法向量為，則即令，則，，于是．又因為平面的法向量為，所以．由題知二面角為銳角，所以其余弦值為．17.設函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；條件②：時，的值域是；條件③：是的一條對稱軸．解：（1）因為，所以．因為，所以．（2）選①，∵，∴函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過點，不合題意；選②，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，且當時，的值域是，所以，.此時，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得，故．因為，所以.選③，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，解得．因為是的一條對稱軸，所以.所以，即，解得.由，可知.18.某學校體育課進行投籃練習，投籃地點分為區(qū)和區(qū)，每一個球可以選擇在區(qū)投籃也可以選擇在區(qū)投籃，在區(qū)每投進一球得2分，沒有投進得0分；在區(qū)每投進一球得3分，沒有投進得0分.學生甲在，兩區(qū)的投籃練習情況統(tǒng)計如下表：甲區(qū)區(qū)投籃次數(shù)得分假設用頻率估計概率，且學生甲每次投籃相互獨立．（1）試分別估計甲在區(qū)，區(qū)投籃命中概率；（2）若甲在區(qū)投個球，在區(qū)投個球，求甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率；（3）若甲在區(qū)，區(qū)一共投籃次，投籃得分的期望值不低于分，直接寫出甲選擇在區(qū)投籃的最多次數(shù)．（結(jié)論不要求證明）解：（1）甲在區(qū)投籃次，投進次，所以估計甲在區(qū)投籃進球的概率為，甲在區(qū)投籃次，投進次，所以估計甲在區(qū)投籃進球的概率為.（2）據(jù)題意，甲在區(qū)進球的概率估計為，在區(qū)投籃進球的概率估計為.設事件為“甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分”甲在區(qū)投個球，得分可能是，在區(qū)投個球，得分可能是.則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的情況有：區(qū)分區(qū)分，概率估計為，區(qū)分區(qū)分，概率估計為，區(qū)分區(qū)分，概率估計為，區(qū)分區(qū)分，概率估計為，區(qū)分區(qū)分，概率估計為，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率估計為.（3）甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計是，甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計是，設甲在區(qū)投籃次，則甲在區(qū)投籃次，則總的期望值估計為，解得，則甲選擇在區(qū)投籃的次數(shù)最多是