2024屆山東省泰安市高三下學(xué)期一輪檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2山東省泰安市2024屆高三下學(xué)期一輪檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知拋物線,所以，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：A.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以集合，又集合，所以，故選：D.3.在平面內(nèi)，是兩個(gè)定點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（）A.橢圓 B.物物線 C.直線 D.圓〖答案〗D〖解析〗設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，.由可得：，即.所以點(diǎn)的軌跡為圓.故選：D4.若，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由，得，即，即，所以，所以，則故選：C.5.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，且的圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)過的定點(diǎn)分別是，當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知分別單調(diào)遞減、單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，對比選項(xiàng)可知，只有B符合題意.故選：B.6.已知非零向量，滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，則，又，則，所以，又，則與的夾角為.故選：.7.已知函數(shù)，，，若的最小值為，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，，且的最小值為，所以，即，又，所以，所以，又，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，令，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.8.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，，當(dāng)周長最小時(shí)，該三角形的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線定義知，，的周長為，由于是定值，要使的周長最小，則最小，即、、共線，，，直線的方程為，即代入整理得，解得或（舍），所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C.若，則D.若，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則直線（為原點(diǎn)）斜率的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，設(shè)，則，若，則，則，所以，故A正確；對于B，若，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，由，可得，則，即，則，故C正確；對于D，設(shè)，則，若，則，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，設(shè)過原點(diǎn)與圓相切的直線為，即，則圓心到切線的距離，解得，所以直線（為原點(diǎn)）斜率的取值范圍為，故D正確.故選：ACD10.下列說法中正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14B.某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況．用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為100的樣本，則抽取的高中生人數(shù)為70C.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3D.隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則〖答案〗BC〖解析〗對A，，故第60百分位數(shù)為第6和第7位數(shù)的均值，故A錯(cuò)誤；對B，由題抽取的高中生抽取的人數(shù)為，故B正確；對C，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，由平均值性質(zhì)可知：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，解得，故C正確；對D，由題意可知，解得或，則或，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，若，則下列說法正確的是（）A. B.有最大值C. D.函數(shù)是奇函數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，令，可得，令，則，解得，所以A正確；對于B中，令，且，則，可得，若時(shí)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；若時(shí)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)不一定有最大值，所以B錯(cuò)誤；對于C中，令，可得，即，所以，所以C正確；對于D中，令，可得，可得，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以D正確；故選：ACD.三、填空題12.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為15，則等于______．〖答案〗6〖解析〗根據(jù)題意，展開式的通項(xiàng)為，令，則故〖答案〗為6．13.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則_______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，在中，，則，變形可得，則有，即，因?yàn)椋瑒t.故〖答案〗為：.14.如圖，在水平放置底面直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入三個(gè)半徑相等的實(shí)心小球（小球材質(zhì)密度），向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好淹沒小球，若圓柱底面半徑為，則球的體積為_______，圓柱的側(cè)面積與球的表面積的比值為_______．〖答案〗.〖解析〗根據(jù)題意，作出圓柱的軸截面圖，連接，過作，垂足為，如下所示：設(shè)小球半徑為，圓柱的底面圓半徑為，根據(jù)題意可得：，，，在三角形中，由勾股定理可得，即，整理得，又，則，又，則；故球A的體積為；圓柱的側(cè)面積，球的表面積，則；故〖答案〗為：，.四、解答題15.如圖，在底面為菱形的直四棱柱中，，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面所成夾角的大?。?）證明：取中點(diǎn)，連接因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，（2）解：設(shè)平面的法向量為又所以即取，則為平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則平面與平面的夾角為16.某學(xué)校為了緩解學(xué)生緊張的復(fù)習(xí)生活，決定舉行一次游戲活動(dòng)，游戲規(guī)則為：甲箱子里裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙箱子里裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，且每次游戲結(jié)束后將球放回原箱，摸出一個(gè)紅球記2分，摸出一個(gè)黑球記分，得分在5分以上（含5分）則獲獎(jiǎng)．（1）求在1次游戲中，獲獎(jiǎng)的概率；（2）求在1次游戲中，得分X的分布列及均值．解：（1）設(shè)“在1次游戲中摸出個(gè)紅球”為事件，設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件，則，且互斥，，，所以在1次游戲中，獲獎(jiǎng)的概率.（2）依題意，所有可能取值為，由（1）知，，，，，，所以的分布列為：258數(shù)學(xué)期望17.已知圓與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)A為橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，為A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)的面積為，求直線的斜率．解：（1）圓過，，又圓過，，又，橢圓的方程為.（2）設(shè)，則，由題知且，則，，由，解得，，又，，又，，直線的斜率或.18.已知函數(shù)．（1）若，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，證明：；（2）若對任意的且，函數(shù)，證明：函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)．證明：（1），，，，設(shè)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞增，又，存在使得即，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，；（2），，在上單調(diào)遞增，又設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，，又，，存在，使得，又上單調(diào)遞增，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn).19.已知各項(xiàng)均不為0的遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（，且）．（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）定義首項(xiàng)為2且公比大于1的等比數(shù)列為“-數(shù)列”．證明：①對任意且，存在“-數(shù)列”，使得成立；②當(dāng)且時(shí)，不存在“-數(shù)列”，使得對任意正整數(shù)成立．（1）解：，各項(xiàng)均不為0且遞增，，，，，化簡得，，，，，，為等差數(shù)列，，，；（2）證明：①設(shè)“G-數(shù)列”公比為，且，由題意，只需證存在對且成立，即成立，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，，存在，使得對任意且成立，經(jīng)檢驗(yàn)，對任意且均成立，對任意且，存在“G-數(shù)列”使得成立；②由①知，若成立，則成立，當(dāng)時(shí)，取得，取得，由，得，不存在，當(dāng)且時(shí)，不存在“G-數(shù)列”使得對任意正整數(shù)成立．山東省泰安市2024屆高三下學(xué)期一輪檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知拋物線,所以，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：A.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以集合，又集合，所以，故選：D.3.在平面內(nèi)，是兩個(gè)定點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（）A.橢圓 B.物物線 C.直線 D.圓〖答案〗D〖解析〗設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，.由可得：，即.所以點(diǎn)的軌跡為圓.故選：D4.若，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由，得，即，即，所以，所以，則故選：C.5.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，且的圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)過的定點(diǎn)分別是，當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知分別單調(diào)遞減、單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，對比選項(xiàng)可知，只有B符合題意.故選：B.6.已知非零向量，滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，則，又，則，所以，又，則與的夾角為.故選：.7.已知函數(shù)，，，若的最小值為，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，又，，且的最小值為，所以，即，又，所以，所以，又，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，令，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.8.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，，當(dāng)周長最小時(shí)，該三角形的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線定義知，，的周長為，由于是定值，要使的周長最小，則最小，即、、共線，，，直線的方程為，即代入整理得，解得或（舍），所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C.若，則D.若，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則直線（為原點(diǎn)）斜率的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，設(shè)，則，若，則，則，所以，故A正確；對于B，若，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，由，可得，則，即，則，故C正確；對于D，設(shè)，則，若，則，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，設(shè)過原點(diǎn)與圓相切的直線為，即，則圓心到切線的距離，解得，所以直線（為原點(diǎn)）斜率的取值范圍為，故D正確.故選：ACD10.下列說法中正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14B.某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況．用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為100的樣本，則抽取的高中生人數(shù)為70C.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3D.隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則〖答案〗BC〖解析〗對A，，故第60百分位數(shù)為第6和第7位數(shù)的均值，故A錯(cuò)誤；對B，由題抽取的高中生抽取的人數(shù)為，故B正確；對C，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，由平均值性質(zhì)可知：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，解得，故C正確；對D，由題意可知，解得或，則或，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，若，則下列說法正確的是（）A. B.有最大值C. D.函數(shù)是奇函數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，令，可得，令，則，解得，所以A正確；對于B中，令，且，則，可得，若時(shí)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；若時(shí)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)不一定有最大值，所以B錯(cuò)誤；對于C中，令，可得，即，所以，所以C正確；對于D中，令，可得，可得，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以D正確；故選：ACD.三、填空題12.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為15，則等于______．〖答案〗6〖解析〗根據(jù)題意，展開式的通項(xiàng)為，令，則故〖答案〗為6．13.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則_______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，在中，，則，變形可得，則有，即，因?yàn)?，則.故〖答案〗為：.14.如圖，在水平放置底面直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入三個(gè)半徑相等的實(shí)心小球（小球材質(zhì)密度），向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好淹沒小球，若圓柱底面半徑為，則球的體積為_______，圓柱的側(cè)面積與球的表面積的比值為_______．〖答案〗.〖解析〗根據(jù)題意，作出圓柱的軸截面圖，連接，過作，垂足為，如下所示：設(shè)小球半徑為，圓柱的底面圓半徑為，根據(jù)題意可得：，，，在三角形中，由勾股定理可得，即，整理得，又，則，又，則；故球A的體積為；圓柱的側(cè)面積，球的表面積，則；故〖答案〗為：，.四、解答題15.如圖，在底面為菱形的直四棱柱中，，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面所成夾角的大?。?）證明：取中點(diǎn)，連接因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，（2）解：設(shè)平面的法向量為又所以即取，則為平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則平面與平面的夾角為16.某學(xué)校為了緩解學(xué)生緊張的復(fù)習(xí)生活，決定舉行一次游戲活動(dòng)，游戲規(guī)則為：甲箱子里裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙箱子里裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，且每次游戲結(jié)束后將球放回原箱，摸出一個(gè)紅球記2分，摸出一個(gè)黑球記分，得分在5分以上（含5分）則獲獎(jiǎng)．（1）求在1次游戲中，獲獎(jiǎng)的概率；（2）求在1次游戲中，得分X的分布列及均值．解：（1）設(shè)“在1次游戲中摸出個(gè)紅球”為事件，設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件，則，且互斥，，，所以在1次游戲中，獲獎(jiǎng)的概率.（2）依題意，所有可能取值為，由（1）知，，，，，，所以的分布列為：258數(shù)學(xué)期望17.已知圓與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)，橢圓的離心率為