2024屆新疆烏魯木齊地區(qū)高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2新疆烏魯木齊地區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗，“”是“”不充分條件；又，“”是“”的必要條件.綜上，“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.拋物線過點(diǎn)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，故，故，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C.5.設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，前項(xiàng)和為，若也是等比數(shù)列，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由題意可知，，，，若為常數(shù)列，則，不為等比數(shù)列，與題意不合；若，則，若也是等比數(shù)列，則，.即，解得或（舍去）.故選：．6.設(shè)，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗分別令，則，則分別為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖可知，.故選：A.7.已知角終邊上點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以角的終邊在第二象限，又因?yàn)?，且，所?故選：B.8.設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由題意得，又是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)根，故，又，則，即，則，則，所以，解得，此時(shí).故選：C．二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，均為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，故A正確.對(duì)于B，令，其中，而，故為上的奇函數(shù)，故B正確.對(duì)于C，，故的圖象過原點(diǎn)，若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象也過原點(diǎn)，但，矛盾，故函數(shù)與的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，，故D正確，故選：ABD.10.數(shù)學(xué)中有個(gè)著名的“角谷猜想”，其中數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，則（）A.時(shí)，B.時(shí)，在所有的值組成的集合中，任選2個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率為C.時(shí)，的所有可能取值組成的集合為D.若所有的值組成的集合有5個(gè)元素，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，則，所以數(shù)列從第項(xiàng)起，是以為周期的周期數(shù)列，所以所有的值組成的集合為，從中任選2個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，若為奇數(shù)，則，故，若為偶數(shù)，則，故，若，則或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或，若，則或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），綜上所述，或或或，所以的所有可能取值組成的集合為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若所有的值組成的集合有5個(gè)元素，則集合中的元素為，若，則，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，此時(shí)所有的值組成的集合只有3個(gè)元素，不符題意；若，則，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，此時(shí)所有的值組成的集合只有3個(gè)元素，不符題意；若，則，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，此時(shí)所有的值組成的集合只有3個(gè)元素，不符題意；若，則，所以數(shù)列從第項(xiàng)起，是以為周期的周期數(shù)列，此時(shí)所有的值組成的集合只有4個(gè)元素，不符題意；若，則，所以數(shù)列從第項(xiàng)起，是以為周期的周期數(shù)列，此時(shí)所有的值組成的集合有5個(gè)元素，符合題意，所以若所有的值組成的集合有5個(gè)元素，則，故D正確.故選：ABD.11.已知點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之和是2．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則（）A.曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.的范圍是的范圍是C.曲線與直線無限接近，但永不相交D.曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，其中，則〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，由題意，即，化簡(jiǎn)得，即且，對(duì)于A，將代入得，即，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，由A選項(xiàng)知，的范圍是且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以曲線與直線無限接近，但永不相交，故C正確；對(duì)于D，要使最小，則曲線在兩點(diǎn)的切線平行，由，得，則，所以，因?yàn)?，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.已知雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以離心率.故〖答案〗為：.13.正方體的棱長(zhǎng)為2，內(nèi)壁是光滑的鏡面．一束光線從點(diǎn)射出，在正方體內(nèi)壁經(jīng)平面反射，又經(jīng)平面反射后到達(dá)點(diǎn)，則從點(diǎn)射出的入射光線與平面的夾角的正切值為______.〖答案〗〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，而關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線與平面的交點(diǎn)分別為，則入射光線為，設(shè)，則存在實(shí)數(shù)，使得，所以，故，故，故，故，因?yàn)槠矫?，故與平面所成的角為，而平面，故，故.故〖答案〗為：,14.已知五個(gè)點(diǎn),滿足:，，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，，，由題意設(shè)，則，，設(shè)，如圖，因?yàn)榍蟮淖钚≈?，則，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故〖答案〗為：.四、解答題15.已知，曲線在處的切線方程為．（1）求；（2）證明．（1）解：由可得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又因?yàn)?，所以切線方程為：，即.所以.（2）證明：要證明，只要證，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，所以.16.如圖，在矩形中，，將沿對(duì)角線進(jìn)行翻折，得到三棱錐是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，在線段上，且平面．（1）求；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以；（2）因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，則，則，所以，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，因?yàn)檩S平面，則可取為平面的一條法向量，故，所以平面與平面的夾角的余弦值為．17.某果園產(chǎn)蘋果，其中一堆蘋果中大果與小果的比例為．（1）若選擇分層抽樣，抽出100個(gè)蘋果，其中大果的單果平均重量為240克，方差為300，小果的單果平均重量為190克，方差為320，試估計(jì)果園蘋果的單果平均重量、方差；（2）現(xiàn)用一臺(tái)分選機(jī)進(jìn)行篩選，已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為，經(jīng)過分選機(jī)篩選后，現(xiàn)從篩選出來的“大果”里隨機(jī)抽取一個(gè)，問這個(gè)“大果”是真的大果的概率．解：（1）個(gè)蘋果中，大果的個(gè)數(shù)為，小果的個(gè)數(shù)為，設(shè)大果的單果平均重量為，方差為，小果的單果平均重量為，方差為，則，，，，則100個(gè)蘋果的平均重量為，100個(gè)蘋果的方差為：.故估計(jì)果園蘋果的單果平均重量為、方差為；（2）記事件放入水果分選機(jī)的蘋果為大果，事件放入水果分選機(jī)的蘋果為小果，記事件水果分選機(jī)篩選的蘋果為“大果”，則“大果是真大果”為，則，，，，由全概率公式可得：，，因此，.18.在中,點(diǎn)分別為的中點(diǎn),與交于點(diǎn)，．（1）若，求中線的長(zhǎng)；（2）若是銳角三角形，求四邊形面積的取值范圍．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則，即，即，解得：或（舍去），又因?yàn)?，，即，所?（2）,,因?yàn)槭卿J角三角形，所以是銳角，即，即，所以，得，是銳角，即，即，所以，得，是銳角，即，即，所以，得，所以，綜上：，所以.19.在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點(diǎn)之間的“距離”為，我們把到兩定點(diǎn)的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．（1）求“橢圓”的方程；（2）根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說明理由；（3）設(shè),作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為，過作直線交于兩點(diǎn)，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．（1）解：設(shè)“橢圓”上任意一點(diǎn)為，則，即，即，所以“橢圓”的方程為；（2）解：由方程，得，因?yàn)?，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“橢圓”范圍為，，將點(diǎn)代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對(duì)稱，將點(diǎn)代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對(duì)稱，將點(diǎn)代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以“橢圓”關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱；（3）證明：由題意可設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以橢圓的方程為，，由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，恒成立，則，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以直線的中垂線的方程為，同理直線的中垂線的方程為，設(shè)，則是方程的兩根，即是方程的兩根，所以，又因，所以，兩式相比得，所以，所以，所以直線與的斜率之積為定值．新疆烏魯木齊地區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗，“”是“”不充分條件；又，“”是“”的必要條件.綜上，“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.拋物線過點(diǎn)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，故，故，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C.5.設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，前項(xiàng)和為，若也是等比數(shù)列，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由題意可知，，，，若為常數(shù)列，則，不為等比數(shù)列，與題意不合；若，則，若也是等比數(shù)列，則，.即，解得或（舍去）.故選：．6.設(shè)，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗分別令，則，則分別為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖可知，.故選：A.7.已知角終邊上點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋越堑慕K邊在第二象限，又因?yàn)椋?，所?故選：B.8.設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由題意得，又是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)根，故，又，則，即，則，則，所以，解得，此時(shí).故選：C．二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，均為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，故A正確.對(duì)于B，令，其中，而，故為上的奇函數(shù)，故B正確.對(duì)于C，，故的圖象過原點(diǎn)，若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象也過原點(diǎn)，但，矛盾，故函數(shù)與的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，，故D正確，故選：ABD.10.數(shù)學(xué)中有個(gè)著名的“角谷猜想”，其中數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，則（）A.時(shí)，B.時(shí)，在所有的值組成的集合中，任選2個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率為C.時(shí)，的所有可能取值組成的集合為D.若所有的值組成的集合有5個(gè)元素，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，則，所以數(shù)列從第項(xiàng)起，是以為周期的周期數(shù)列，所以所有的值組成的集合為，從中任選2個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，若為奇數(shù)，則，故，若為偶數(shù)，則，故，若，則或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或，若，則或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），綜上所述，或或或，所以的所有可能取值組成的集合為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若所有的值組成的集合有5個(gè)元素，則集合中的元素為，若，則，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，此時(shí)所有的值組成的集合只有3個(gè)元素，不符題意；若，則，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，此時(shí)所有的值組成的集合只有3個(gè)元素，不符題意；若，則，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，此時(shí)所有的值組成的集合只有3個(gè)元素，不符題意；若，則，所以數(shù)列從第項(xiàng)起，是以為周期的周期數(shù)列，此時(shí)所有的值組成的集合只有4個(gè)元素，不符題意；若，則，所以數(shù)列從第項(xiàng)起，是以為周期的周期數(shù)列，此時(shí)所有的值組成的集合有5個(gè)元素，符合題意，所以若所有的值組成的集合有5個(gè)元素，則，故D正確.故選：ABD.11.已知點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之和是2．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則（）A.曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.的范圍是的范圍是C.曲線與直線無限接近，但永不相交D.曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，其中，則〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，由題意，即，化簡(jiǎn)得，即且，對(duì)于A，將代入得，即，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，由A選項(xiàng)知，的范圍是且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以曲線與直線無限接近，但永不相交，故C正確；對(duì)于D，要使最小，則曲線在兩點(diǎn)的切線平行，由，得，則，所以，因?yàn)?，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.已知雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以離心率.故〖答案〗為：.13.正方體的棱長(zhǎng)為2，內(nèi)壁是光滑的鏡面．一束光線從點(diǎn)射出，在正方體內(nèi)壁經(jīng)平面反射，又經(jīng)平面反射后到達(dá)點(diǎn)，則從點(diǎn)射出的入射光線與平面的夾角的正切值為______.〖答案〗〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，而關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線與平面的交點(diǎn)分別為，則入射光線為，設(shè)，則存在實(shí)數(shù)，使得，所以，故，故，故，故，因?yàn)槠矫妫逝c平面所成的角為，而平面，故，故.故〖答案〗為：,14.已知五個(gè)點(diǎn),滿足:，，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，，，由題意設(shè)，則，，設(shè)，如圖，因?yàn)榍蟮淖钚≈?，則，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故〖答案〗為：.四、解答題15.已知，曲線在處的切線方程為．（1）求；（2）證明．（1）解：由可得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又因?yàn)?，所以切線方程為：，即.所以.（2）證明：要證明，只要證，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，所以.16.如圖，在矩形中，，將沿對(duì)角線進(jìn)行翻折，得到三棱錐是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，在線段上，且平面．（1）求；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以；（2）因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，則，則，所以，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，因?yàn)檩S平面，則可取為平面的一條法向量，故，所以平面與平面的夾角的余弦值為．17.某果園產(chǎn)蘋果，其中一堆蘋果中大果與小果的比例為．（1）若選擇分層抽樣，抽出100個(gè)蘋果，其中大果的單果平均重量為240克，方差為300，小果的單果平均重量為190克，方差為320，試估計(jì)果園蘋果的單果平均重量、方差；（2）現(xiàn)用一臺(tái)分選機(jī)進(jìn)行篩選，已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為，經(jīng)過分選機(jī)篩選后，現(xiàn)從篩選出來的“大果”里隨機(jī)抽取一個(gè)，問這個(gè)“大果”是真的大果的概率．解：（1）個(gè)蘋果中，大果的個(gè)數(shù)為，小果的個(gè)數(shù)為，設(shè)大果的單果平均重量為，方差為，小果的單果平均重量為，方差為，則，，，，則100個(gè)蘋果的平均重量為，100個(gè)蘋果的方差為：.故估計(jì)果園蘋果的單果平均重量為、方