專題05 三角形內(nèi)接矩形型（解析版）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)相似三角形基本模型探究（北師大版）

專題05三角形內(nèi)接矩形型【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【例題精講】例．有一塊直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一個面積盡可能大的正方形桌面．甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖1、圖2所示．請你用學(xué)過的知識說明哪位同學(xué)的加工方法更好（加工損耗忽略不計）．【答案】甲同學(xué)【詳解】解：如圖1所示，設(shè)甲同學(xué)加工的桌面邊長為xm，∵DE∥AB∴△CDE∽△CBA∴即∴x＝圖2所示，過點B作BH⊥AC，交AC于點H，交DE于點P．由勾股定理得：AC＝∵，∴設(shè)乙同學(xué)加工的桌面邊長為ym，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，即，∴y＝∵＞，即x＞y，x2＞y2∴甲同學(xué)的加工方法更好．【變式訓(xùn)練1】如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的頂點D、G分別在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的邊長；（2）如圖2，在BC邊上放兩個小正方形DEFG、FGMN，則DE=．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：過點作AM⊥BC于點M，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=BC=3，在Rt△ABM中，AM==4，∵四邊形DEFG是矩形，∴DG∥EF，DE⊥BC，∴AN⊥DG，四邊形EDMN是矩形，∴MN=DE，設(shè)MN=DE=x，∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴DG：BC=AN：AM，∴，解得：DG=﹣x+6，∵四邊形DEFG為正方形，∴DE=DG，即x=﹣x+6，解得x=，∴正方形DEFG的邊長為；（2）由題意得：DN=2DE，由（1）知：，∴DE=．故答案為．【變式訓(xùn)練2】一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上．（1）求證：△AEF∽△ABC；（2）求這個正方形零件的邊長；（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問這個矩形的最大面積是多少？【答案】（1）證明見試題解析；（2）48；（3）2400．【詳解】（1）∵四邊形EGHF為矩形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）設(shè)正方形零件的邊長為x，在正方形EFHG中，EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴即，解得：x=48，即：正方形零件的邊長為48；（3）設(shè)長方形的長為x，寬為y，當(dāng)長方形的長在BC時，，，，當(dāng)x=60時，長方形的面積最大為2400．【變式訓(xùn)練3】如圖已知正方形DEFG的頂點D、E在△ABC的邊BC上，頂點G、F分別在邊AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC邊上的高是3，那么這個正方形的邊長是_____．【答案】【詳解】如圖，過點A作AM⊥BC于M，∵△ABC的BC邊上的高是3，∴AM=3，∵四邊形DEFG是正方形，∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM，∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM，∴，．∴．∴GF=．故答案為：．【課后訓(xùn)練】1．如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長________．【答案】【詳解】解：如圖，設(shè)高AM交GF于H點，∵四邊形DEFG為正方形，∴GF∥DE，即：GF∥BC，∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，∴，設(shè)正方形的邊長為，∴，解得：，故答案為：．2．一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．說明見解析．【詳解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如圖∵∴∵∴∴又∵DE∥AC∴∴，解得設(shè)正方形的邊長為x米，如圖乙∵DE∥AB∴∴，解得∵∴乙木匠的加工方法符合要求．3．如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于點D，交EH于點M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的邊長．【答案】【詳解】解：∵四邊形EFGH是正方形∴EH∥BC∴△AEH∽△ABC∴，即解得：EH=∴EFGH的邊長為4．如圖,在中，，，高，矩形的一邊在邊上，、分別在、上，交于點．(1)求證：；(2)設(shè)，當(dāng)為何值時，矩形的面積最大?并求出最大面積；(3)當(dāng)矩形的面積最大時，該矩形以每秒個單位的速度沿射線勻速向上運動(當(dāng)矩形的邊到達(dá)點時停止運動)，設(shè)運動時間為秒，矩形與重疊部分的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)x為時，矩形的面積有最大值5；（3）S=【詳解】解：（1）∵四邊形EFPQ為矩形，∴EF∥BC，∴；（2）∵∴，即，∴HD=4-，∴S矩形EFPQ=EF?FQ=EF?HD=x（4-）=-x2+4x，該函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，故當(dāng)x=時有最大值，最大值為5，即當(dāng)x為時，矩形的面積有最大值5；（3）由（2）可知，當(dāng)矩形面積取最大值時，EF=，F(xiàn)Q=2，①當(dāng)0≤t≤2時，如圖1，設(shè)矩形與AB、AC分別交于點M、N、R、S，與AD交于J、L，連接RS，交AD于K，由題意可知LD=JK=t，則AJ=AD-LD-JL=4-t-2=2-t，又∵RS=，∴R、S為AB、AC的中點，∴AK=AD=2，ES=FR=JK=t，又∵M(jìn)N∥RS，∴，即，∴MN=-t，∴EM+FN=EF-MN=-（-t）=t，∴S△EMS+S△FNR=ES（EM+FN）=t?t=，∴S=S矩形EFPQ-（S△EMS+S△FNR）=5-；②當(dāng)2＜t≤4時，如圖2，設(shè)矩形與AB、AC、AD分別交于點Q′、P′、D′，根據(jù)題意D′D=t，則AD′=4-t，∵PQ∥BC，∴，即，解得P′Q′=5-t，∴S=S△AP′Q′=P′Q′?AD′=（4-t）（5-t）=-5t+10；綜上可知S=．5．（1）如圖1，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P，求證：；（2）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點．①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；②如圖3，求證MN2=DM·EN．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②證明見解析．【詳解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴，同理在△ACQ和△APE中，，∴；（2）①作AQ⊥BC于點Q．∵BC邊上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE邊上的高為，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案為：．②證明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴，∴DG?EF=CF?BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF?BG，由（1）得，∴，∴，∵GF2=CF?BG，∴MN2=DM?EN．6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊AB向點B運動．過點P作PD⊥AB交折線AC﹣CB于點D，以PD為邊在PD右側(cè)做正方形PDEF．設(shè)正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒（0＜t＜4）．（1）當(dāng)點D在邊AC上時，正方形PDEF的邊長為（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點E落在邊BC上時，求t的值．（3）當(dāng)點D在邊AC上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）作射線PE交邊BC于點G，連結(jié)DF．當(dāng)DF＝4EG時，直接寫出t的值．【答案】（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或【詳解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，∴∠A＝∠ADP＝45°，∴AP＝DP＝2t，故答案為2t，（2）如圖，∵四邊形DEFP是正方形，∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，∵AB＝AP+PF+FB，∴2t+2t+2t＝8，∴t＝；（3）當(dāng)0＜t≤時，正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為正方形PDEF的面積，即S＝DP2＝4t2，當(dāng)＜t≤2時，如圖，正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為五邊形PDGHF的面積，∵AP＝DP＝PF＝2t，∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，∵BF＝HF＝8﹣4t，∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為.（4）如圖，當(dāng)點E在△ABC內(nèi)部，設(shè)DF與PE交于點O，∵四邊形PDEF是正方形，∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，∴∠DFP＝∠ABC＝45°，∴DF∥BC，