人教版七年級數(shù)學(xué)上冊同步壓軸題專題05整式中的兩種規(guī)律探索問題(學(xué)生版+解析)

專題06整式中的兩種規(guī)律探索問題類型一、數(shù)字類規(guī)律探索例.觀察：(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1，(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1，(x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1，據(jù)此規(guī)律，當(dāng)(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)＝0時，代數(shù)式x2019﹣1的值為_____．【變式訓(xùn)練1】a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為，－1的差倒數(shù)為，已知，是差倒數(shù)，是差倒數(shù)，是差倒數(shù)，以此類推……，的值是()A．5 B． C． D．【變式訓(xùn)練2】有2021個數(shù)排成一行，對于任意相鄰的三個數(shù)，都有中間數(shù)等于前后兩數(shù)的和，如果第一個數(shù)是0，第二個數(shù)是1，那么前6個數(shù)的和是______，這2021個數(shù)的和是______．【變式訓(xùn)練3】有一列數(shù)，…，那么第n個數(shù)為______．【變式訓(xùn)練4】楊輝三角又稱賈憲三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，如圖，觀察下面的楊輝三角：按照前面的規(guī)律，則的展開式中從左起第三項為______．類型二、圖形類規(guī)律探索例.如圖，兩條直線相交，有1個交點，三條直線相交最多有3個交點，四條直線相交最多有______個交點，n條直線相交最多有______個交點．【變式訓(xùn)練1】如圖都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第_____個圖形共有45個小球．【變式訓(xùn)練2】為慶?！傲ひ弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽．如圖所示：按照上面的規(guī)律，擺第n個“金魚”和第(n＋1)個“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為130根，則n的值為______．【變式訓(xùn)練3】如圖是某廣場用地板鋪設(shè)的部分圖案，中央是一塊正六邊形的地板磚，周圍是正三角形和正方形的地板磚．從里向外的第1層包括6個正方形和6個正三角形，第2層包括6個正方形和18個正三角形，依此遞推，第10層中含有正三角形個數(shù)為___個，第層含有正三角形個數(shù)為___個．【變式訓(xùn)練4】觀察下列圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，用6064個五角星擺出的圖案應(yīng)該是第_______個圖形．課后訓(xùn)練1．下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第1個圖有3張黑色正方形紙片，第2個圖有5張黑色正方形紙片，第3個圖有7張黑色正方形紙片，…，按此規(guī)律排列下去，若第n個圖中有201張黑色正方形紙片，則n的值為()A．99 B．100 C．101 D．1022．如圖，將若干顆棋子按箭頭方向依次擺放，記第一顆棋子擺放的位置為第1列第1排，第二顆棋子擺放的位置為第2列第1排，第三顆棋子擺放的位置為第2列第2排……，按此規(guī)律擺放在第16列第8排的是第(

)顆棋子．A．85 B．86 C．87 D．883．將一正方形按如圖方式分成個完全相同的長方形，上、下各橫排三個，中間兩行各豎排若干個，則的值為(

)A．12 B．16 C．18 D．204．幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖(1)就是一個幻方．圖(2)是一個未完成的幻方，則與的和是(

)A．9 B．10 C．11 D．125．如圖，按此規(guī)律，第6行最后一個數(shù)字是_____，第_____行最后一個數(shù)是2020．6．如圖，每個圖形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律．根據(jù)此規(guī)律，若圖形中，，則的值為________．7．為了求的值，可令，則，因此，所以按照以上推理計算出的值是______．8．今年“10.1”黃金周，適逢祖國70大慶，廣西柳州賽長桌宴，民族風(fēng)情濃郁，吸引了大量游客如果長桌宴按下圖方式就坐(其中□代表桌子，〇代表座位)，則拼接n(n為正整數(shù))張桌子時，最多可就坐_____人．9．在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2012年8月份的日歷．我們?nèi)我膺x擇其中所示的方框部分，將每個方框部分中4個位置上的數(shù)交又相乘，再相減，例如：，，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是7．2012年8月日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031(1)請你再選擇兩個類似的部分試一試，看看是否符合這個規(guī)律；(2)換一個月的月歷試一下，是否有同樣的規(guī)律？(3)請你利用整式的運算對以上的規(guī)律加以證明．10．(1)你知道下面每一個圖形中各有多少個小圓圈嗎？第5個圖形中應(yīng)該有多少個小圓圈？為什么？(2)完成下表：邊上的小圓圈數(shù)12345每個圖中小圓圈的總數(shù)(3)如果用n表示六邊形邊上的小圓圈數(shù)，m表示這個六邊形中小圓圈的總數(shù)，那么m和n的關(guān)系是什么？11．對任意一個四位正整數(shù)m，如果m的百位數(shù)字等于個位數(shù)字與十位數(shù)字之和，m的千位數(shù)字等于十位數(shù)字的2倍與個位數(shù)字之和，那么稱這個數(shù)m為“筋斗數(shù)”．例如：m＝5321，滿足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗數(shù)”．例如：m＝8523，滿足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗數(shù)”．(1)判斷9633和2642是不是“筋斗數(shù)”，并說明理由；(2)若m是“筋斗數(shù)”，且m與13的和能被11整除，求滿足條件的所有“筋斗數(shù)”m．12．看圖填空：如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的長方形，接著把面積為的長方形等分成兩個面積為的長方形，再把面積為的長方形等分成面積為的長方形，如此進(jìn)行下去……(1)試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計算：＝_______．并使用代數(shù)方法證明你的結(jié)論．(2)請給利用圖(2)，再設(shè)計一個能求：的值的幾何圖形．專題05整式中的兩種規(guī)律探索問題類型一、數(shù)字類規(guī)律探索例.觀察：(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1，(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1，(x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1，據(jù)此規(guī)律，當(dāng)(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)＝0時，代數(shù)式x2019﹣1的值為_____．【答案】0或﹣2【詳解】解：根據(jù)題意得∶(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1，(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1，(x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1，……∴(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)＝x6﹣1∵(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)＝0，∴x6﹣1＝0，解得：x＝1或x＝﹣1，則x2019﹣1＝0或﹣2，故答案為：0或﹣2．【變式訓(xùn)練1】a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為，－1的差倒數(shù)為，已知，是差倒數(shù)，是差倒數(shù)，是差倒數(shù)，以此類推……，的值是()A．5 B． C． D．【答案】B【解析】∵，是的差倒數(shù)，∴，∵是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，∴，∴，根據(jù)規(guī)律可得以，，為周期進(jìn)行循環(huán)，因為2021＝673×3…2，所以．故選B．【變式訓(xùn)練2】有2021個數(shù)排成一行，對于任意相鄰的三個數(shù)，都有中間數(shù)等于前后兩數(shù)的和，如果第一個數(shù)是0，第二個數(shù)是1，那么前6個數(shù)的和是______，這2021個數(shù)的和是______．【答案】01【解析】由題意得：第3個數(shù)是，第4個數(shù)是，第5個數(shù)是，第6個數(shù)是，則前6個數(shù)的和是，第7個數(shù)是，第8個數(shù)是，歸納類推得：這2021個數(shù)是按循環(huán)往復(fù)的，，且前6個數(shù)的和是0，這2021個數(shù)的和與前5個數(shù)的和相等，即為，故答案為：0，1．【變式訓(xùn)練3】有一列數(shù)，…，那么第n個數(shù)為______．【答案】【詳解】解：，，，，，……由此發(fā)現(xiàn)：第n個數(shù)為．故答案為：【變式訓(xùn)練4】楊輝三角又稱賈憲三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，如圖，觀察下面的楊輝三角：按照前面的規(guī)律，則的展開式中從左起第三項為______．【答案】【詳解】解：根據(jù)題意，=，∴的展開式中從左起第三項為，故答案為：．類型二、圖形類規(guī)律探索例.如圖，兩條直線相交，有1個交點，三條直線相交最多有3個交點，四條直線相交最多有______個交點，n條直線相交最多有______個交點．【答案】

6

【詳解】解：如圖，兩條直線相交最多有1個交點，即；三條直線相交最多有3個交點，即；四條直線相交最多有6個交點，即，五條直線相交最多有10個交點，即，……∴n條直線兩兩相交，最多有個交點(n為正整數(shù)，且n≥2)．故答案為6；．【變式訓(xùn)練1】如圖都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第_____個圖形共有45個小球．【答案】9【詳解】解：第1個圖中有1個小球，第2個圖中有3個小球，3=1+2，第3個圖中有6個小球，6=1+2+3，第4個圖中有10個小球，10=1+2+3+4，……照此規(guī)律，第n個圖形有1+2+3+4+…+n=n(1+n)個小球，∴n(1+n)=45，解得n=9或-10(舍去)，故答案為：9．【變式訓(xùn)練2】為慶?！傲ひ弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽．如圖所示：按照上面的規(guī)律，擺第n個“金魚”和第(n＋1)個“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為130根，則n的值為______．【答案】10【詳解】解：由題可知：第n個圖形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)個圖形有(6n+8)根火柴棒，∵擺第n個“金魚”和第(n＋1)個“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為130根，∴6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案為：10．【變式訓(xùn)練3】如圖是某廣場用地板鋪設(shè)的部分圖案，中央是一塊正六邊形的地板磚，周圍是正三角形和正方形的地板磚．從里向外的第1層包括6個正方形和6個正三角形，第2層包括6個正方形和18個正三角形，依此遞推，第10層中含有正三角形個數(shù)為___個，第層含有正三角形個數(shù)為___個．【答案】114【解析】根據(jù)題意分析可得：從里向外的第1層包括6個正三角形，第2層包括18個正三角形，此后，每層都比前一層多12個，依此遞推，第10層中含有正三角形個數(shù)是6+12×9=114個，則第n層中含有正三角形個數(shù)是6+12×(n-1)=個，故答案為：114，．【變式訓(xùn)練4】觀察下列圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，用6064個五角星擺出的圖案應(yīng)該是第_______個圖形．【答案】2021【解析】觀察發(fā)現(xiàn)，第1個圖形五角星的個數(shù)是：1+3＝4，第2個圖形五角星的個數(shù)是：1+3×2＝7，第3個圖形五角星的個數(shù)是：1+3×3＝10，第4個圖形五角星的個數(shù)是：1+3×4＝13，?第n個圖形五角星的個數(shù)是：1+3?n＝1+3n，∵，∴用6064個五角星擺出的圖案應(yīng)該是第2021個圖形，故答案為：2021．課后訓(xùn)練1．下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第1個圖有3張黑色正方形紙片，第2個圖有5張黑色正方形紙片，第3個圖有7張黑色正方形紙片，…，按此規(guī)律排列下去，若第n個圖中有201張黑色正方形紙片，則n的值為()A．99 B．100 C．101 D．102【答案】B【詳解】解：觀察圖形知：第一個圖中有3=1+2×1個正方形，第二個圖中有5＝1＋2×2個正方形，第三個圖中有7＝1＋2×2個正方形，…故第n個圖中有1＋2×n＝2n+1=201(個)正方形，解得n=100故選B．2．如圖，將若干顆棋子按箭頭方向依次擺放，記第一顆棋子擺放的位置為第1列第1排，第二顆棋子擺放的位置為第2列第1排，第三顆棋子擺放的位置為第2列第2排……，按此規(guī)律擺放在第16列第8排的是第(

)顆棋子．A．85 B．86 C．87 D．88【答案】B【詳解】偶數(shù)列數(shù)與排數(shù)表：偶數(shù)列數(shù)排數(shù)22436485……n∴當(dāng)n=16時，排數(shù)為：，∴前16列共有棋子：(顆)，∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86．故選B．3．將一正方形按如圖方式分成個完全相同的長方形，上、下各橫排三個，中間兩行各豎排若干個，則的值為(

)A．12 B．16 C．18 D．20【答案】C【詳解】解：設(shè)長方形的長為a，寬為b，根據(jù)題意得，2a+2b=3a，整理得，a=2b，∴豎排的一行的長方形的個數(shù)為3a÷b=(3×2b)÷b=6，∴n=3×2+6×2=6+12=18．故選：C．4．幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖(1)就是一個幻方．圖(2)是一個未完成的幻方，則與的和是(

)A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【詳解】解：設(shè)如圖表所示：根據(jù)題意可得：x+6+20=22+z+y，整理得：x-y=-4+z，x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，整理得：x=-2+z，y=2z-22，∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，解得：z=12，∴x+y=3z-24=12故選：D．5．如圖，按此規(guī)律，第6行最后一個數(shù)字是_____，第_____行最后一個數(shù)是2020．【答案】16674【詳解】每一行的最后一個數(shù)字分別是1,4,7,10,……，第n行的最后一個數(shù)字為：，第6行最后一個數(shù)字為：；，解得：，故答案為：16,674．6．如圖，每個圖形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律．根據(jù)此規(guī)律，若圖形中，，則的值為________．【答案】【詳解】解：∵1×(2+1)=3，3×(4+1)=15，5×(6+1)=35，

∴右下圓圈內(nèi)的數(shù)=上方圓圈內(nèi)的數(shù)×(左下圓圈內(nèi)的數(shù)+1)，∴M=m(n+1)，∴M=11×(12+1)=143．

故答案為：143．7．為了求的值，可令，則，因此，所以按照以上推理計算出的值是______．【答案】【詳解】解：令，則，因此，則，得：，所以．故答案為：．8．今年“10.1”黃金周，適逢祖國70大慶，廣西柳州賽長桌宴，民族風(fēng)情濃郁，吸引了大量游客如果長桌宴按下圖方式就坐(其中□代表桌子，〇代表座位)，則拼接n(n為正整數(shù))張桌子時，最多可就坐_____人．【答案】(6n+2)【詳解】解：根據(jù)圖示知，拼1張桌子，可以坐(2+6)人．拼2張桌子，可以坐[2+(6×2)]人．拼3張桌子，可以坐[2+(6×3)]人．…拼接n(n為正整數(shù))張桌子，可以坐(6n+2)人．故答案是：(6n+2)．9．在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2012年8月份的日歷．我們?nèi)我膺x擇其中所示的方框部分，將每個方框部分中4個位置上的數(shù)交又相乘，再相減，例如：，，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是7．2012年8月日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031(1)請你再選擇兩個類似的部分試一試，看看是否符合這個規(guī)律；(2)換一個月的月歷試一下，是否有同樣的規(guī)律？(3)請你利用整式的運算對以上的規(guī)律加以證明．【答案】(1)，符合；(2)；(3)見解析【詳解】解：(1)由題意得：，符合；(2)；答：換一個月的月歷試一下還是同樣的規(guī)律；(3)設(shè)上邊第一個數(shù)為x，則其后的數(shù)為(x+1)，第二行的兩個數(shù)分別為(x+7)，(x+8)，根據(jù)題意，得．10．(1)你知道下面每一個圖形中各有多少個小圓圈嗎？第5個圖形中應(yīng)該有多少個小圓圈？為什么？(2)完成下表：邊上的小圓圈數(shù)12345每個圖中小圓圈的總數(shù)(3)如果用n表示六邊形邊上的小圓圈數(shù)，m表示這個六邊形中小圓圈的總數(shù)，那么m和n的關(guān)系是什么？【答案】(1)第1個圖形：1個；第2個圖形：7個；第3個圖形：19個；第4個圖形：37個；第5個圖形：61個，理由見解析；(2)1，7，19，37，61；(3)【詳解】(1)觀察每個圖形的特點，就可以算出第1個圖形的小圓圈有1個，第2個圖形的小圓圈有2+3+2=7個，第3個圖形的小圓圈有3+4+5+4+3=19個，第4個圖形的小圓圈有4+5+6+7+6+5+4=37個，由此可推知第5個圖形的小圓圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61個；(2)將(1)算出的結(jié)果填入下列表格，如下表所示，邊上的小圓圈數(shù)12345每個圖中小圓圈的總數(shù)17193761(3)結(jié)合(1)(2)可知，與之間的函數(shù)關(guān)系為：首尾相加得．11．對任意一個四位正整數(shù)m，如果m的百位數(shù)字等于個位數(shù)字與十位數(shù)字之和，m的千位數(shù)字等于十位數(shù)字的2倍與個位數(shù)字之和，那么稱這個數(shù)m為“筋斗數(shù)”．例如：m＝5321，滿足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗數(shù)”．例如：m＝8523，滿足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗數(shù)”．(1)判斷9633和2642是不是“筋斗數(shù)”，并說明理由；(2)若m是“筋斗數(shù)”，且m與13的和能被11整除，求滿足條件的所有“筋斗數(shù)”m．【答案】(1)9633是“筋斗數(shù)”；2642不是“筋斗數(shù)”；理由見解析(2)m的值為9909或2110或6422【解析】(1