專題11 切線定理綜合題（解析版）

專題11切線定理（綜合題）知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)易錯(cuò)點(diǎn)撥易錯(cuò)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)1：切線的判定定理和性質(zhì)定理1．切線的判定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

細(xì)節(jié)剖析:切線的判定方法：（1）定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，這條直線就是圓的切線；（2）定理：和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過交點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可）.

2．切線的性質(zhì)定理：

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

細(xì)節(jié)剖析:切線的性質(zhì)：（1）切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）切線和圓心的距離等于圓的半徑；（3）切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；（4）經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；（5）經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心.知識(shí)點(diǎn)2：切線長定理

1．切線長：

經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.

細(xì)節(jié)剖析:切線長是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱.切線是直線，而非線段.

2．切線長定理：

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

細(xì)節(jié)剖析:切線長定理包含兩個(gè)結(jié)論：線段相等和角相等.3．圓外切四邊形的性質(zhì)：圓外切四邊形的兩組對(duì)邊之和相等.

知識(shí)點(diǎn)3：三角形的內(nèi)切圓

1．三角形的內(nèi)切圓：

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

2．三角形的內(nèi)心：

三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.

細(xì)節(jié)剖析:(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.易錯(cuò)題專訓(xùn)易錯(cuò)題專訓(xùn)一．選擇題1．（2022?吉林一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O直徑，過點(diǎn)B的切線交CA的延長線于點(diǎn)P．若∠P＝32°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．29° B．30° C．31° D．32°【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBP＝90°，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠AOB＝58°，然后利用圓周角定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：連接OB，∵PB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠OBP＝90°，∵∠P＝32°，∴∠AOB＝90°﹣∠P＝58°，∴∠ACB＝∠AOB＝29°，故選：A．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，熟練掌握切線的性質(zhì)，以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2017秋?昆明期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙A半徑為3，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），將⊙A沿x軸的負(fù)方向平移，使⊙A與y軸相切，則平移的距離為（）A．2 B．5 C．8 D．2或8【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】平移分在y軸的左側(cè)和y軸的右側(cè)兩種情況寫出答案即可．【規(guī)范解答】解：當(dāng)⊙A位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為2；當(dāng)⊙A位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為8．故選：D．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)圓與直線相切時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑．3．（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，AO與⊙O交于點(diǎn)C，D是⊙O上一點(diǎn)，連接BD，CD，∠BDC＝30°，延長AB至點(diǎn)F，使得BF＝AB，連接OF，過點(diǎn)B作BG⊥OF于點(diǎn)G，BG＝2，則OC的長為（）A． B． C． D．2【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】連接OB，由切線的性質(zhì)得出∠OBF＝∠OBA＝90，設(shè)OB＝x，則AB＝x，由銳角三角函數(shù)的定義得出，解得x＝，則可得出答案．【規(guī)范解答】解：連接OB，∵∠BDC＝30°，∴∠BOC＝2∠BDC＝60°，∵AB為⊙O的切線，∴AF⊥OB，∴∠OBF＝∠OBA＝90，設(shè)OB＝x，則AB＝x，∵BF＝AB，∵BF＝x，∵BG＝2，∴OG＝＝，∵∠FBG+∠GBO＝90°，∠GBO+∠BOG＝90°，∴∠FBG＝∠BOG，∴cos∠FBG＝cos∠BOG，∴，∴，解得x＝，∴OB＝OC＝，故選：A．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AD是⊙O的直徑，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，若∠BCD＝α，則∠P的度數(shù)是（）A．90°﹣2α B．90°﹣α C．45° D．2α【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】連接OB，利用圓周角定理可得∠BOD＝2α，然后利用切線的性質(zhì)可得∠OAP＝∠OBP＝90°，從而利用四邊形內(nèi)角和可得∠P+∠AOB＝180°，最后利用同角的補(bǔ)角相等即可解答．【規(guī)范解答】解：連接OB，∵∠BCD＝α，∴∠BOD＝2∠BCD＝2α，∵PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠P+∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP＝180°，∵∠AOB+∠BOD＝180°，∴∠P＝∠BOC＝2α，故選：D．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2022?德陽）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，則∠BEC＝120°；③若點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，則∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；直接利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理則可對(duì)③進(jìn)行判斷；通過證明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，則可對(duì)④進(jìn)行判斷．【規(guī)范解答】解：∵E是△ABC的內(nèi)心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，故①正確；如圖，連接BE，CE，∵E是△ABC的內(nèi)心，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正確；∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，∴G一定在OD上，∴∠BGD＝90°，故③正確；如圖，連接BE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，故④正確．∴一定正確的①②③④，共4個(gè)．故選：D．【考察注意點(diǎn)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心與外心．6．（2022?臨沭縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以M（2，3）為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點(diǎn)，則AC的長為（）A．4 B． C． D．6【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】設(shè)⊙M與x軸相切于點(diǎn)D，連接MD，過點(diǎn)M作ME⊥AC，垂足為E，根據(jù)垂徑定理可得AC＝2AE，再利用切線的性質(zhì)可得∠MDO＝90°，然后根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)可得ME＝2，MA＝MD＝3，最后在Rt△AEM中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：設(shè)⊙M與x軸相切于點(diǎn)D，連接MD，過點(diǎn)M作ME⊥AC，垂足為E，∴AC＝2AE，∵⊙M與x軸相切于點(diǎn)D，∴∠MDO＝90°，∵M(jìn)（2，3），∴ME＝2，MD＝3，∴MA＝MD＝3，在Rt△AEM中，AE＝＝＝，∴AC＝2AE＝2，故選：B．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．二．填空題7．（2022?南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點(diǎn)為B．將△OAB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△O′A′B，使點(diǎn)O'落在圓O上，邊A′B交線段AO于點(diǎn)C．若∠A＝15°，⊙O的半徑長為2，則BC的長為2．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】連接OO′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△BOO'為等邊三角形，進(jìn)而可求出∠A'BO，再利用∠A＝15°，可證明△BCO是等腰三角形，得到答案．【規(guī)范解答】解：如圖，連接OO′，由題意得：BO＝OO'＝BO'，∴△BOO'為等邊三角形，∴∠OBO'＝60°，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABO＝90°，∴∠A'BO'＝90°，∴∠A'BO＝∠A'BO'﹣∠OBO'＝30°，∵∠A＝15°∴∠AOB＝90°﹣∠A＝75°，∴∠BCO＝180°﹣∠AOB﹣∠A'BO＝75°，∴BC＝BO＝2，故答案為：2．【考察注意點(diǎn)】本題考查的是切線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．8．（2022?香坊區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在⊙O中，PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B，連接PO，若PA＝，∠APB＝60°，則線段PO的長為2．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】連接OA，根據(jù)切線長定理得到∠APO＝∠APB＝30°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥PA，根據(jù)余弦的定義計(jì)算，得到答案．【規(guī)范解答】解：連接OA，∵PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B，∴OA⊥PA，∠APO＝∠APB＝30°，在Rt△PAO中，cos∠APO＝，∴OP＝＝＝2，故答案為：2．【考察注意點(diǎn)】本題考查的是切線的性質(zhì)、切線長定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．9．（2022?南崗區(qū)三模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的切線，連接AD，若AD經(jīng)過圓心O，且∠D＝50°，則∠C的大小為70度．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】連接OB，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBD＝90°，再利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠AOC＝140°，然后根據(jù)圓周角定理計(jì)算∠C的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：連接OB，如圖，∵BD為⊙O的切線，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵∠AOC＝∠OBD+∠D＝90°+50°＝140°，∴∠C＝∠AOC＝×140°＝70°．故答案為：70．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．10．（2022?老河口市模擬）PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)，點(diǎn)C是⊙O上不與A，B重合的一點(diǎn)，若∠APB＝70°，則∠ACB的度數(shù)為55°或125°．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠AOB＝110°，然后根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠ACB的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：∵PA，PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∵∠APB＝70°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上，則∠ACB＝∠AOB＝55°，當(dāng)點(diǎn)C′在優(yōu)弧AB上，則∠AC′B＝180°﹣55°＝125°．則∠ACB的度數(shù)為55°或125°．故答案為：55°或125°．【考察注意點(diǎn)】本題切線的性質(zhì)，圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．11．（2021?鶴峰縣模擬）已知正方形ABCD邊長為2，DE與以AB的中點(diǎn)為圓心的圓相切交BC于點(diǎn)E，求三角形DEC的面積1.5．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)已知可得DA與圓O相切于點(diǎn)A，EB與圓O相切于點(diǎn)B，設(shè)DE與圓O相切于點(diǎn)F，利用切線長定理可得DA＝DF＝2，EB＝EF，然后設(shè)EB＝EF＝x，表示出DE，CE的長，最后在Rt△DEC中利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：設(shè)∴DE與圓O相切于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OAD＝∠OBC＝∠C＝90°，AB＝BC＝AD＝CD＝2，∵OA、OB是圓O的半徑，∴DA與圓O相切于點(diǎn)A，EB與圓O相切于點(diǎn)B，∵DE與圓O相切于點(diǎn)F，∴DA＝DF＝2，EB＝EF，設(shè)EB＝EF＝x，則EC＝BC﹣EB＝2﹣x，DE＝DF+EF＝2+x，在Rt△DEC中，DC2+CE2＝DE2，∴22+（2﹣x）2＝（2+x）2，解得：x＝，∴EC＝BC﹣EB＝2﹣x＝，∴三角形DEC的面積＝EC?DC＝××2＝1.5，故答案為：1.5．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．12．（2020秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD的邊長為4，M為AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，以點(diǎn)P為圓心，PM長為半徑作圓P，當(dāng)圓P與正方形ABCD的邊相切時(shí)，CP的長為2.5或4﹣2．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】分兩種情形分別求解：如圖1中，當(dāng)⊙P與直線CD相切時(shí)；如圖2中當(dāng)⊙P與直線AD相切時(shí)．設(shè)切點(diǎn)為K，連接PK，則PK⊥AD，四邊形PKDC是矩形．【規(guī)范解答】解：如圖1中，當(dāng)⊙P與直線CD相切時(shí)，設(shè)PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝22+（4﹣x）2，∴x＝2.5，∴CP＝2.5；如圖2中當(dāng)⊙P與直線AD相切時(shí)．設(shè)切點(diǎn)為K，連接PK，則PK⊥AD，四邊形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝2，PM＝4，在Rt△PBM中，PB＝＝2，∴CP＝BC﹣PB＝4﹣2．綜上所述，CP的長為2.5或4﹣2．故答案是：2.5或4﹣2．【考察注意點(diǎn)】本題考查切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．13．（2021秋?廣豐區(qū)期末）已知點(diǎn)M（2.0），⊙M的半徑為1，OA切⊙M于點(diǎn)A，點(diǎn)P為⊙M上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0），（3，0）（，）時(shí)，△POA是等腰三角形．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)題意畫出圖形分三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，PA＝PO＝1，OA＝OP″＝3，當(dāng)點(diǎn)P是切點(diǎn)時(shí)，AO＝AP＝，進(jìn)而可以解決問題．【規(guī)范解答】解：如圖，當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0），（3，0），（，）時(shí)，△POA是等腰三角形．理由如下：連接AM，∵M(jìn)（2.0），⊙M的半徑為1，∴OM＝2，AM＝PM＝1，∴OP＝1，∵OA切⊙M于點(diǎn)A，∴∠MAO＝90°，∴∠AOM＝30°，∴∠AMO＝60°，∴PA＝AM＝PM＝1，∴OP＝PA＝1，∴P（1，0）；當(dāng)OA＝OP′時(shí)，連接AP′交x軸于點(diǎn)H，∵OA切⊙M于點(diǎn)A，∴OP′切⊙M于點(diǎn)P′，∴∠P′OM＝∠AOM＝30°，∴∠AOP′＝60°，∴△AOP′是等邊三角形，∴AP′＝OA＝＝＝，∴OH＝OA＝，P′H＝AP′＝，∴P′（，）；∵M(jìn)A＝MP″，∠AMO＝60°，∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°，∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°，∴OA＝OP″，∴P″（3，0）．綜上所述：當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0），（3，0），（，）時(shí)，△POA是等腰三角形．故答案為：（1，0），（3，0），（，）．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△AOP′是等邊三角形．14．（2021?寧波模擬）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是腰AC上的高，點(diǎn)O是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為的⊙O與△ABC的一邊相切時(shí)，OB的長為或．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得HC的長，再利用三角函數(shù)可得DC，根據(jù)勾股定理得到BD的長，根據(jù)半徑為的⊙O與△ABC的一邊相切，分三種情況討論根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：如圖，作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴HC＝3，∵∠AHC＝90°，AC＝5，∴cosC＝＝＝，∴DC＝，∴BD＝＝，①⊙O與AC相切時(shí)，切點(diǎn)為D，∵半徑為，∴OD＝，∵BD＝，∴OB＝BD﹣OD＝﹣＝；②⊙O與BC相切時(shí)，切點(diǎn)為M，∴OM⊥BC，∴∠BMO＝∠BDC＝90°，∵∠MBO＝∠DBC，∴△MBO∽△DBC，∴＝，∴＝，∴BO＝；③⊙O與AB相切時(shí)，切點(diǎn)為N，∴ON⊥AB，∴∠BNO＝∠BDA＝90°，∵∠NBO＝∠DBA，∴△NBO∽△DBA，∴＝，∴＝，∴BO＝．當(dāng)圓O與AB相切時(shí)，OB的長為，∵BD＝，∵＞，也就是說，圓O與AB相切，是圓心O在線段BD外即在直線BD上的時(shí)候，不符合題意，故答案只有兩種情況，即圓O與AC，AB相切時(shí)．綜上所述，AP的長為或．故答案為：或．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練正確切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題15．（2022?長清區(qū)二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，其切線AE與直徑BD的延長線相交于點(diǎn)E，且∠ACB＝60°．（1）求證：AE＝AB；（2）若DE＝2，求⊙O的半徑．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠AOB＝120°，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBA＝∠OAB＝30°，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OAE＝90°，從而利用三角形的外角可求出∠E＝30°，最后根據(jù)等腰三角形的判定即可解答；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，然后根據(jù)含30度角的直角三角形可得OE＝2OA，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】（1）證明：連接OA，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∵AE與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠OAE＝90°，∴∠E＝∠AOB﹣∠OAE＝30°，∴∠E＝∠OBA＝30°，∴AB＝AE；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，∴OE＝2OA，∵DE＝2，∴2+r＝2r，∴r＝2，∴⊙O的半徑為2．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，三角形的外接圓與外心，熟練掌握切線的性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2022?內(nèi)黃縣二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，以AB為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線DM交BC于點(diǎn)M．（1）求證：CM＝BM．（2）若AD＝2，P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)PM+PD為最小值時(shí)，求AP的長．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）連接OD，OM，先利用圓周角定理求出∠DOB＝60°，再利用切線的性質(zhì)可得∠ODM＝90°，然后利用HL證明Rt△ODM≌Rt△OBM，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得∠DOM＝∠BOM＝30°，進(jìn)而可得AC∥OM，即可解答；（2）連接DB，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，并延長交⊙O于點(diǎn)D′，連接D′M交AB于點(diǎn)P，連接DP，此時(shí)PM+PD的值最小，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而在Rt△ADB中，求出DB，AB的長，再在Rt△ABC中，求出BC的長，從而求出BM的長，然后證明△DOB是等邊三角形，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出OE的長，從而求出DE的長，最后證明8字模型相似三角形△MBP∽△D′EP，利用相似三角形的性質(zhì)求出BP的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】（1）證明：連接OD，OM，∵∠BAC＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，∵DM與⊙O相切于點(diǎn)D，∴∠ODM＝90°，∵∠ABC＝90°，OD＝OB，OM＝OM，∴Rt△ODM≌Rt△OBM（HL），∴∠DOM＝∠BOM＝∠DOB＝30°，∴∠A＝∠BOM，∴AC∥OM，∵OA＝OB，∴BM＝CM；（2）連接DB，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，并延長交⊙O于點(diǎn)D′，則DE＝D′E，∴點(diǎn)D與點(diǎn)D′關(guān)于AB對(duì)稱，連接D′M交AB于點(diǎn)P，連接DP，此時(shí)PM+PD的值最小，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AD＝2，∠DAB＝30°，∴BD＝AD?tan30°＝2×＝2，∴AB＝2BD＝4，∴OA＝OB＝OD＝AB＝2，在Rt△ABC中，BC＝AB?tan30°＝4×＝，∴CM＝BM＝BC＝，∵∠DOB＝60°，∴△DOB是等邊三角形，∵DE⊥OB，∴OE＝EB＝OB＝1，∴DE＝OE＝，∴DE＝D′E＝，∵∠D′EP＝∠CBP＝90°，∠MPB＝∠EPD′，∴△MBP∽△D′EP，∴＝，∴＝，∴BP＝，∴AP＝AB﹣BP＝，∴AP的長為．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．17．（2022?衡陽）如圖，AB為⊙O的直徑，過圓上一點(diǎn)D作⊙O的切線CD交BA的延長線于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OE∥AD交CD于點(diǎn)E，連接BE．（1）直線BE與⊙O相切嗎？并說明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的長．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）連接OD，理由切線的性質(zhì)可得∠ODE＝90°，然后利用平行線和等腰三角形的性質(zhì)可得OE平分∠DOB，從而可得∠DOE＝∠EOB，進(jìn)而可證△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的長，再利用（1）的結(jié)論可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：（1）直線BE與⊙O相切，理由：連接OD，∵CD與⊙O相切于點(diǎn)D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴直線BE與⊙O相切；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，∴82+BE2＝（4+DE）2，∴64+DE2＝（4+DE）2，∴DE＝6，∴DE的長為6．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．（2022?津南區(qū)一模）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，∠BAC＝36°．（Ⅰ）如圖①，若CD平分∠ACB，連接BD，求∠ABC和∠CBD的大??；（Ⅱ）如圖②，過點(diǎn)D作⊙O的切線，與AB的延長線交于點(diǎn)P，若AE＝AC，求∠P的大小．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（Ⅰ）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用角平分線的定義可得∠ACD＝∠DCB＝45°，從而求出∠ABC的度數(shù)，然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠A＝∠D＝36°，最后利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；（Ⅱ）連接OC，OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ODP＝90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠OCA＝36°，∠ACB＝∠ABC＝72°，從而求出∠OCD的度數(shù)，然后再根據(jù)OD＝OC，求出∠ODC的度數(shù)，最后利用三角形的外角求出∠DOC的度數(shù)，從而求出∠P的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：（Ⅰ）∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝54°，∵∠A＝∠D＝36°，∴∠CBD＝180°﹣∠D﹣∠DCB＝99°，∴∠ABC的度數(shù)為54°，∠CBD的度數(shù)為99°；（Ⅱ）連接OC，OD，∵DP與⊙O相切于點(diǎn)D，∴∠ODP＝90°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA＝36°，∵AE＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠OCD＝∠ACE﹣∠OCA＝36°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝36°，∴∠DOE＝∠AEC﹣∠ODC＝36°，∴∠P＝90°﹣∠DOE＝54°，∴∠P的度數(shù)為54°．【考察注意點(diǎn)】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．19．（2022?佛山模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，D的⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若∠OFA＝60°，半徑為4，在圓O上取點(diǎn)P，使∠PDE＝15°，求點(diǎn)P到直線DE的距離．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）連接OD，利用角平分線的定義，同圓的半徑相等，平行線的判定與性質(zhì)和切線的判定定理解答即可；（2）利用分類討論的思想方法分：①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，PH的長為點(diǎn)P到直線DE的距離，②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)兩種情形解答：①連接OD，OP，過點(diǎn)O作OM⊥DE于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PN⊥OM于點(diǎn)N，利用等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理求得MN．即可得出結(jié)論；②連接OP，交DE于點(diǎn)H，則PH的長為點(diǎn)P到直線DE的距離，利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可．【規(guī)范解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，∴∠OAD＝∠CAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODC+∠C＝180°．∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，PH的長為點(diǎn)P到直線DE的距離，連接OD，OP，過點(diǎn)O作OM⊥DE于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PN⊥OM于點(diǎn)N，如圖，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∴∠EOD＝60°，∵OE＝OD，∴△OD