專題05 對角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用（能力提升）（原卷版）

專題05對角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用（能力提升）1．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+FD．2．如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE﹣FD．3．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°．直接寫出BE、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+DF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，延長BC到點(diǎn)E，延長CD到點(diǎn)F，使得∠EAF＝∠BAD，則結(jié)論EF＝BE+DF是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．5．（1）方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF＝45°，連接EF．將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，易證△GAF≌△EAF，從而得到結(jié)論：DE+BF＝EF．根據(jù)這個結(jié)論，若CD＝6，DE＝2，求EF的長．（2）方法遷移：如圖②，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，試探究線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．6．（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，這樣就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段AE的取值范圍是；則中線AD的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，此時：BE+CFEF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點(diǎn)作∠ECF＝70°，邊CE，CF分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，此時：BE+DFEF（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在圖③的四邊形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的結(jié)論仍然成立，則∠BCD＝（用含α的代數(shù)式表示）.7．【閱讀理解】截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，連結(jié)DA、DB、DC，且∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．解題思路：延長DC到點(diǎn)E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+BDC＝180°，則∠ABD+∠ACD＝180°，因為∠ACD+∠ACE＝180°可證∠ABD＝∠ACE，易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是；【拓展延伸】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識應(yīng)用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30°所對直角邊等于斜邊一半，則PQ的長為cm．（結(jié)果無需化簡）8．如圖，點(diǎn)P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC