串講02 數(shù)列（考點(diǎn)串講）（解析版）

串講02數(shù)列知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、?？碱}型三、知識(shí)梳理1.數(shù)列的概念（1）定義：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。（2）數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作簡(jiǎn)記.（3）數(shù)列的第項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系若用一個(gè)公式給出，則這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。（4）數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式。2.等差數(shù)列（1）①定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差。②等差數(shù)列用數(shù)學(xué)符號(hào)可以表示為：（2）通項(xiàng)公式：若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則．（3）等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)，，組成等差數(shù)列，則稱為與的等差中項(xiàng)，即（4）等差數(shù)列的基本性質(zhì)。（5）等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：，時(shí)是一個(gè)關(guān)于n且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)形式等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項(xiàng)數(shù)為，則，且，．=2\*GB3②若項(xiàng)數(shù)為，則，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差數(shù)列．（6）等差數(shù)列的判定方法：=1\*GB3①定義法：是等差數(shù)列；=2\*GB3②中項(xiàng)法：是等差數(shù)列；=3\*GB3③通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列；=4\*GB3④前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列.3.等比數(shù)列（1）①定義：如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比。②等比數(shù)列用數(shù)學(xué)符號(hào)可以表示為：（2）通項(xiàng)公式：若等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則．（3）等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)，，組成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項(xiàng)，即（4）等比數(shù)列的基本性質(zhì)：（5）等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式公式：公式特征：等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項(xiàng)數(shù)為，則．=2\*GB3②．=3\*GB3③，，成等比數(shù)列（）．（6）等比數(shù)列的判定方法：=1\*GB3①定義法：為等比數(shù)列；=2\*GB3②中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；=3\*GB3③通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列；=4\*GB3④前項(xiàng)和公式法：為等比數(shù)列.四、常考題型探究考點(diǎn)一數(shù)列的概念例1.下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可表示為集合B．?dāng)?shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為D．?dāng)?shù)列可記為【答案】C【分析】利用數(shù)列定義即可逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，由數(shù)列的定義易知A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩個(gè)數(shù)列排列次序不同，是不同的數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列的第項(xiàng)為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，這與數(shù)列的定義不相符，故D錯(cuò)誤.故選：C【變式探究】已知數(shù)列，，3，，，…，則是這個(gè)數(shù)列的（

）A．第8項(xiàng) B．第9項(xiàng) C．第10項(xiàng) D．第11項(xiàng)【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，判斷數(shù)據(jù)是數(shù)列中的第幾項(xiàng).【詳解】數(shù)列可以表示為，，，，，…，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，，是這個(gè)數(shù)列的第9項(xiàng).故選：B考點(diǎn)二數(shù)列的通項(xiàng)公式例2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則123是該數(shù)列的（

）A．第9項(xiàng) B．第10項(xiàng) C．第11項(xiàng) D．第12項(xiàng)【答案】C【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式可直接求出.【詳解】由，解得（舍去），故選：C【變式探究】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（

）A．15 B．16 C．19 D．20【答案】C【分析】根據(jù)的關(guān)系即可求解.【詳解】由可得，故選：C考點(diǎn)三數(shù)列的遞推公式例3.在數(shù)列中，若，，則（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，探求出數(shù)列的周期，再利用周期性計(jì)算即得.【詳解】在數(shù)列中，由，，得，，，因此數(shù)列是周期性數(shù)列，周期為3，所以.故選：A例4.在數(shù)列中，，則．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而找到數(shù)列的周期即可得出答案.【詳解】由題意可知，所以數(shù)列的周期為3，所以.故答案為：【變式探究】已知數(shù)列滿足,(為正整數(shù)),計(jì)算數(shù)列的前若干項(xiàng)后,根據(jù)變化規(guī)律猜測(cè)．【答案】【分析】通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)周期即可獲解【詳解】所以是周期為3的數(shù)列因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋嚎键c(diǎn)四數(shù)列的前n項(xiàng)和例5.已知數(shù)列中，，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為．【答案】【分析】根據(jù)的通項(xiàng)公式求得前項(xiàng)和.【詳解】依題意，，所以，，所以數(shù)列的前5項(xiàng)和為.故答案為：【變式探究】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則．【答案】【解析】根據(jù)遞推公式可得，利用，分別計(jì)算，，，，可知是周期為的數(shù)列，即可求解.【詳解】由，得，因?yàn)椋?，，，，所以?shù)列是周期為的數(shù)列，因?yàn)椋?，所以，故答案為：考點(diǎn)五等差數(shù)列的概念例6.已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿足，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，，又，是遞增數(shù)列，可解得，得解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，，又，解得或，又是遞增數(shù)列，所以，，.故選：C例7.各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，∴≠0)∴，故選：C【變式探究】已知等差數(shù)列中，，則（

）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知，從而可求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意，可知等差數(shù)列中，，則，所以.故選：D考點(diǎn)六等差數(shù)列的通項(xiàng)公式例8.在等差數(shù)列中，若，，則公差等于（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的公差計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得.故選:C例9.在數(shù)列中，，.若為等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由數(shù)列是等差數(shù)列知，先求，，從而求等差數(shù)列通項(xiàng)公式，再求即可．【詳解】解：，，且數(shù)列是等差數(shù)列，，，，.故選：A【變式探究】在數(shù)列中，（），，則（

）A．1 B．3 C．6 D．9．【答案】B【分析】由題知是公差的等差數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋ǎ允枪畹牡炔顢?shù)列，又，則．故選：B考點(diǎn)七等差數(shù)列的前n項(xiàng)和例10.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和是．【答案】202【分析】根據(jù)題意求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，將的前9項(xiàng)和到分開(kāi)求和即可求解.【詳解】由得，又，∴，即∴，公差．因?yàn)?，解得，∴，∴∴的前n項(xiàng)和為．故答案為:202例11.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則．【答案】20【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)及求和公式得，，即可由整體法求值.【詳解】，∴，則.故答案為：20【變式探究】等差數(shù)列的公差為d，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)已知，，，求m及；(2)已知，，，求d.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式相關(guān)概念直接計(jì)算；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式相關(guān)概念直接計(jì)算；【詳解】（1）因?yàn)?，整理得，解得或（舍），所?（2）因?yàn)椋獾?，又，解?考點(diǎn)八等差數(shù)列的性質(zhì)例12.已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，那么取何值時(shí)，取得最大值？并求出的最大值.【答案】n=12或n=13時(shí)，有最大值156.【解析】先求出的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：對(duì)稱軸或，取得最大值.最大值.例13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）請(qǐng)確定3998是否是數(shù)列中的項(xiàng)？【答案】（1）（2）第1000項(xiàng)【分析】（1）由題意有，解方程組即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）假設(shè)3998是數(shù)列中的項(xiàng)，有，得，即可判斷得解.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意有，解得，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）假設(shè)3998是數(shù)列中的項(xiàng)，有，得，故3998是數(shù)列中的第1000項(xiàng).【變式探究】數(shù)列{an}是首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第6項(xiàng)為正，第7項(xiàng)為負(fù)．(1)求數(shù)列的公差；(2)求前n項(xiàng)和Sn的最大值．【答案】（1）；（2）78【分析】（1）根據(jù)可得的范圍，再根據(jù)為整數(shù)得到的值.（2）根據(jù)項(xiàng)的符號(hào)特征可得最大．【詳解】(1)由已知，得，.解得.又，∴.(2)∵，∴數(shù)列是遞減數(shù)列．又∵，，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，為.考點(diǎn)九等比數(shù)列的概念例14.等比數(shù)列中，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，計(jì)算出的值，由此可得出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，可得，因此，.故選：B例15.數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是與的等差中項(xiàng)，則的公比等于（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)的概念得到關(guān)于的方程，結(jié)合可求解出的值.【詳解】因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以或，又因?yàn)?，所以，所以，故選：A【變式探究】在等比數(shù)列{an}中，a5a7＝2，a2+a10＝3，則（

）A．2 B． C．2或 D．﹣2或【答案】C【分析】利用等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)把a(bǔ)5a7＝2轉(zhuǎn)化為，再與聯(lián)立求出即可得解.【詳解】因是等比數(shù)列，則，又，聯(lián)立解得或，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：C考點(diǎn)十等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例16.已知等比數(shù)列中，，則其前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可求得公比q＝1，從而求得．【詳解】∵，∴，∴解得，∴，則前n項(xiàng)和．故選：D例17.已知等比數(shù)列的公比為2，其前n項(xiàng)和為，則=（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式代入化簡(jiǎn)可得答案【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為2，所以，故選：C【變式探究】設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，且，則的通項(xiàng)公式.【答案】.【分析】根據(jù)已知條件列方程求出公比，從而可求出通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公式為（），因?yàn)?，所以，即，解得或（舍去），所以，故答案為：考點(diǎn)十一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和例18.設(shè)各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，，成等差數(shù)列，則.【答案】【分析】由題意得到，結(jié)合已知條件求出，進(jìn)而可求得通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)的公比為q，則，即，（舍去）或所以.故答案為：.例19.已知數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則．【答案】【分析】構(gòu)造等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出結(jié)果.【詳解】由得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：.【變式探究】設(shè)等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為，則.【答案】【分析】由等比數(shù)列的求和公式以及通項(xiàng)求解即可.【詳解】故答案為：考點(diǎn)十二等比數(shù)列的性質(zhì)例20.設(shè)是等差數(shù)列，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列，求出，得到的通項(xiàng)公式;（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?所以,解得,則.（2）.例21.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且,.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)題意得出關(guān)于和的方程組，解出這兩個(gè)量的值，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用定義證明出數(shù)列是等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的求和公式可計(jì)算出數(shù)列前項(xiàng)和