串講04 圓錐曲線（考點(diǎn)串講）（原卷版）

串講04圓錐曲線知識網(wǎng)絡(luò)二、?？碱}型三、知識梳理1.橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．注：（1）若，M的軌跡為橢圓；（2）若，M的軌跡為線段；（3）若，M的軌跡無圖形2.橢圓的方程及簡單幾何性質(zhì)（1）焦點(diǎn)在x軸：①標(biāo)準(zhǔn)方程：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)②范圍：－a≤x≤a且－b≤y≤b③頂點(diǎn)：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)④軸長：長軸長＝eq\a\vs4\al(2a)，短軸長＝eq\a\vs4\al(2b)⑤焦點(diǎn)：F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)⑥焦距：|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)⑦對稱性：對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)⑧離心率：e＝eq\f(c,a)(0<e<1)（2）焦點(diǎn)在y軸：①標(biāo)準(zhǔn)方程：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)②范圍：－b≤x≤b且－a≤y≤a③頂點(diǎn)：A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)④軸長：長軸長＝eq\a\vs4\al(2a)，短軸長＝eq\a\vs4\al(2b)⑤焦點(diǎn)：F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)⑥焦距：|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)⑦對稱性：對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)⑧離心率：e＝eq\f(c,a)(0<e<1)3.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置關(guān)系：點(diǎn)P在橢圓上?eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)<1；點(diǎn)P在橢圓外部?eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)>1.4.直線與橢圓相交的弦長公式如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).5.雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．注：（1）當(dāng)時，M的軌跡不存在；（2）當(dāng)時，M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線．（3）當(dāng)時，M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．6.雙曲線的方程及簡單幾何性質(zhì)（1）焦點(diǎn)在x軸：①標(biāo)準(zhǔn)方程：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)②范圍：x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)③頂點(diǎn)：A1(－a,0)，A2(a,0)④軸長：實(shí)軸長2a；虛軸長2b⑤焦點(diǎn)：F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)⑥焦距：|F1F2|＝2c⑦對稱性：對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)⑧離心率：e＝eq\f(c,a)(1<e<＋∞)⑨漸近線：y＝±eq\f(b,a)x（2）焦點(diǎn)在y軸：①標(biāo)準(zhǔn)方程：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)②范圍：y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)③頂點(diǎn)：A1(0，－a)，A2(0，a)④軸長：實(shí)軸長2a；虛軸長2b⑤焦點(diǎn)：F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)⑥焦距：|F1F2|＝2c⑦對稱性：對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)⑧離心率：e＝eq\f(c,a)(1<e<＋∞)⑨漸近線：y＝±eq\f(a,b)x7.拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．8.拋物線的方程及簡單幾何性質(zhì)（1）y2＝2px(p>0)①準(zhǔn)線：②范圍：x≥0，y∈R③頂點(diǎn)：O(0,0)④開口方向：向右⑤焦點(diǎn)：⑥對稱性：x軸⑦離心率：e＝1（2）y2＝－2px(p>0)①準(zhǔn)線：②范圍：x≤0，y∈R③頂點(diǎn)：O(0,0)④開口方向：向左⑤焦點(diǎn)：⑥對稱性：x軸⑦離心率：e＝1（3）x2＝2py(p>0)①準(zhǔn)線：y＝－eq\f(p,2)②范圍：x∈R，y≥0③頂點(diǎn)：O(0,0)④開口方向：向上⑤焦點(diǎn)：⑥對稱性：y軸⑦離心率：e＝1（4）x2＝－2py(p>0)①準(zhǔn)線：y＝eq\f(p,2)②范圍：x∈R，y≤0③頂點(diǎn)：O(0,0)④開口方向：向下⑤焦點(diǎn)：⑥對稱性：y軸⑦離心率：e＝19.直線與圓錐曲線相交，弦長、中點(diǎn)弦問題．（1）處理弦長問題，一般將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得方程組，化為一元二次方程后，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式或，其中k為直線AB的斜率，．（2）處理中點(diǎn)弦問題，一般有兩種思路。思路一：聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行設(shè)而不求；思路二：利用“點(diǎn)差法”．四、常考題型探究考點(diǎn)一橢圓的定義例1.已知為兩定點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段例2.已知平面內(nèi)一動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)，的距離之和為8，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【變式探究】已知是橢圓上一點(diǎn)，分別為的左、右焦點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例3.橢圓的離心率為，則（

）A．2 B．1 C． D．2或例4.已知橢圓的焦距等于2，則實(shí)數(shù)的值為．【變式探究】已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，求的方程．考點(diǎn)三橢圓的幾何性質(zhì)例5.已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則的周長為（

）A．16 B．8 C．25 D．32例6.設(shè)是橢圓上的動點(diǎn)，則到該橢圓的兩個焦點(diǎn)距離之和為（

）A． B． C．4 D．【變式探究】已知橢圓的兩個焦點(diǎn)是、，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積是.考點(diǎn)四直線與橢圓的關(guān)系例7.直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定例8.過點(diǎn)A(0,1)的直線一定與橢圓相交.（正確或錯誤）【變式探究】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)，，(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)寫出的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).考點(diǎn)五雙曲線的定義例9.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，若雙曲線上存在點(diǎn)滿足，則雙曲線的一條漸近線方程為（

）A． B．C． D．例10.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是與是雙曲線左支上的一點(diǎn)，且，則（

）A．1 B．13 C．1或13 D．3【變式探究】若雙曲線上一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離是8,則點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離是（

）A．4 B．10 C．2或10 D．4或12考點(diǎn)六雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例11.焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.例12.已知雙曲線的焦距為6，它的離心率為3，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【變式探究】已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，軸，且過，兩點(diǎn)，求雙曲線的方程.考點(diǎn)七雙曲線的幾何性質(zhì)例13.如果曲線經(jīng)過平移坐標(biāo)軸后的新方程為，那么新坐標(biāo)系的原點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例14.雙曲線的實(shí)軸長比虛軸長短（

）A．4 B．2 C．10 D．20【變式探究】已知雙曲線的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的實(shí)軸長為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)八直線與雙曲線的關(guān)系例15.雙曲線：的漸近線恰好與曲線相切，則的離心率為（

）A． B． C． D．例16.若雙曲線的一條漸近線方程為，則．【變式探究】已知點(diǎn)在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．(1)求雙曲線的方程；(2)若過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線僅有一個交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．考點(diǎn)九拋物線的定義例17.已知拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則到的焦點(diǎn)的距離為（

）A．1 B． C． D．2例18.已知為拋物線：（）上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為，則（

）A．2 B．3 C．6 D．9【變式探究】若拋物線（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，則該拋物線的方程為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)十拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例19.已知拋物線C關(guān)于x軸對稱，且焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．例20.拋物線的準(zhǔn)線方程是，則其標(biāo)準(zhǔn)方程是.【變式探究】已知拋物線的對稱軸為x軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)且開口向左，又拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求這個拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考點(diǎn)十一拋物線的幾何性質(zhì)例21.若拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以為（

）A． B．C． D．例22.若點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，為該拋物線的焦點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式探究】過拋物線的焦點(diǎn)F作斜率為1的直線l，交