浙江省麗水市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

麗水市2023學(xué)年第一學(xué)期普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控高一數(shù)學(xué)試題卷（2024.1）本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分．全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題卷規(guī)定的位置上．2．答題時，請按照答題卷上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題卷相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由交集運(yùn)算的結(jié)果，即可得到答案.【詳解】因集合，，且，則.故選：C2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題：的否定是特稱量詞命題：，即可判斷.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題：的否定是特稱量詞命題：，可知命題“”的否定為“”，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分性和必要性兩方面判斷即可；【詳解】因?yàn)?，所以或，則可以推出，但不能推出．故“”是“”的充分不必要條件，故選：A．4.函數(shù)的定義域是（）A. B.C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】結(jié)合二次根式、分式和對數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】由題可知，解得且.故選：D5.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，達(dá)到及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用題中給出的信息，設(shè)他至少要經(jīng)過小時后才可以駕駛機(jī)動車，則，然后利用指數(shù)與對數(shù)的互化以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解，即可得到答案．【詳解】某駕駛員喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了，則血液中酒精含量達(dá)到，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時20%速度減少，他至少要經(jīng)過1小時后才可以駕駛機(jī)動車．則，，．他至少經(jīng)過個小時才能駕駛．故選：D.6.已知函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的一個可能值是（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)平移法則寫出平移后的解析式，進(jìn)而得解.【詳解】的圖象向左平移個單位長度后的解析式為，由題知，，所以，所以，即，由題知，當(dāng)時，.故選：A7.已知增函數(shù)的圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線，在用二分法求該函數(shù)零點(diǎn)的過程中，依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為，，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二分法的過程得到滿足的方程組，由此求解出的值，即可得出答案.【詳解】因?yàn)橐来未_定了零點(diǎn)所在區(qū)間為，，，可得，即，解得.所以.故選：B.8.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到，再利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，，則得到三者大小關(guān)系.【詳解】令，根據(jù)為上的單調(diào)減函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，且，，所以函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，故；又因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以，即，所?因?yàn)椋?，所以，即，所以，綜上可得：.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理得到，最后再結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可比較大小.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.如果，那么下面結(jié)論一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于AD，當(dāng)時，，故AD錯誤；對于BC，因?yàn)?，所以，故BC正確；故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期是 B.的定義域是C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得的最小正周期為，所以A正確；令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，所以B不正確；令，解得，當(dāng)時，可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以C正確；由，可得，根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以D正確.故選：ACD.11.下列是真命題的是（）A.函數(shù)且的圖像恒過定點(diǎn)B.函數(shù)的值域是C.函數(shù)為奇函數(shù)D.函數(shù)的圖像的對稱軸是【答案】AC【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)即可判斷A，由指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域即可判斷B，由函數(shù)奇偶性的定義即可判斷C，由函數(shù)對稱性的定義即可判斷D【詳解】對于A，令，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)恒過定點(diǎn)，故A正確；對于B，因?yàn)椋瑒t，令，則，則，即函數(shù)的值域是，故B錯誤；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；對于D，函數(shù)的圖像的對稱軸是，故D錯誤；故選：AC12.已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A. B.C.函數(shù)的圖象存在對稱軸 D.函數(shù)的圖象存在對稱中心【答案】ABD【解析】【分析】分別求出分子和分母的取值范圍，利用不等式的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A；判斷，的取值范圍，得出，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)軸對稱的定義可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?dāng)時等號成立；，當(dāng)時等號成立，則兩個式子中等號不會同時成立，所以由不等式性質(zhì)可得；故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：顯然.因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時；所以，則.又因?yàn)?，所以，即，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，?顯然，所以函數(shù)的圖象不存在對稱軸，故選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與最值、對稱中心和對稱軸、函數(shù)與不等式等知識的綜合應(yīng)用.解題關(guān)鍵在于對基礎(chǔ)知識的掌握和運(yùn)用.利用余弦函數(shù)、二次函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A；將不等式轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合，的取值范圍可判斷選項(xiàng)B；利用對稱軸和對稱中心的定義可判斷選項(xiàng)CD.三、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）13.若扇形的半徑為2，弧長為3，則扇形的面積為______________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式直接運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：扇形的面積為.故答案為：3.14.若冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是______．【答案】【解析】【分析】由冪函數(shù)定義得，結(jié)合指數(shù)小于等于0即可求解.【詳解】由題可知，解得，舍去.故答案為：15.化簡______．【答案】1【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡求值.【詳解】.故答案為：1.16.若正數(shù)，滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范圍，從而求得的最大值.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，此時取得最小值9，則的最大值為．故答案為：17.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算即可得.【詳解】令，對稱軸為，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，且，∴且，即且，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.18.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，將函數(shù)兩點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，然后列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，則方程，即在區(qū)間上有兩個不等的實(shí)根，設(shè)，，則函數(shù)在區(qū)間上有兩個交點(diǎn)，顯然，當(dāng)時，，此時兩函數(shù)只有一個交點(diǎn)，不滿足；當(dāng)時，為二次函數(shù)，對稱軸為，開口向上，與軸只有一個交點(diǎn)，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.已知為銳角，．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；（2）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，再利用兩角差的正弦公式，求得的值．【小問1詳解】為銳角，.【小問2詳解】或.20.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程在區(qū)間上恰有一個解，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由二倍角公式以及輔助角公式化簡，再由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，列出方程，代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由，得∴所求的單調(diào)遞增區(qū)間是【小問2詳解】由，得或或∴由已知.21.麗水市某革命老區(qū)因地制宜發(fā)展生態(tài)農(nóng)業(yè)，打造“生態(tài)特色水果示范區(qū)”．該地區(qū)某水果樹的單株年產(chǎn)量（單位：千克）與單株施肥量（單位：千克）之間的關(guān)系為，且單株投入的年平均成本為元．若這種水果的市場售價為元/千克，且水果銷路暢通．記該水果樹的單株年利潤為（單位：元）．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求單株施肥量為多少千克時，該水果樹的單株年利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）施肥量為時，單株年利潤最大為390元【解析】【分析】（1）由利潤=單株產(chǎn)量售價成本，結(jié)合分段函數(shù)即可求解；（2）結(jié)合二次函數(shù)和基本不等式性質(zhì)分別求出和時對應(yīng)的，即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，故；【小問2詳解】當(dāng)時，的對稱軸為，最大值為，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，綜上施肥量為時，單株年利潤最大為390元.22.已知函數(shù)，且（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，若方程有個不相等的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）列出方程，求出，得到解析式；（2）令，得到其單調(diào)性和奇偶性，換元得到在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得到，設(shè)的兩根為，的兩根為，由奇偶性得到，進(jìn)而求出.【小問1詳解】由題有時，解得或，因?yàn)?，所以，故；【小?詳解】由（1），則方程為設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，可得則原方程可化為，令，因?yàn)?，故函?shù)為上的偶函數(shù)，設(shè)，，，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由偶函數(shù)得在上單調(diào)遞減，最小值為故原條件等價于方程在有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即，解得，不妨設(shè)兩根為，的兩根為，由為上的偶函數(shù)，可得，即，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題處理思路：①利用換元思想，設(shè)出內(nèi)層函數(shù)；②分別作出內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的圖象，分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)或范圍；③內(nèi)外層函數(shù)相結(jié)合確定函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)，即可得到復(fù)合函數(shù)在不同范圍下的零點(diǎn)個數(shù).23.函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，．（1）當(dāng)時，求滿足的實(shí)數(shù)的