第五章大數(shù)定理與中心極限定理

第第頁(yè)第五章大數(shù)定理與中心極限定理第五章大數(shù)定律與中心極限定理5.1大數(shù)定律的概念5.2切貝謝夫不等式5.3切貝謝夫定理5.4中心極限定理

5.1大數(shù)定律的概念例1擲一顆勻稱的正六面體的骰子,涌現(xiàn)么點(diǎn)的概率是1/6,在擲的次數(shù)比較少時(shí),涌現(xiàn)么點(diǎn)的頻率可能與1/6相差得很大.但是在擲的次數(shù)許多時(shí),涌現(xiàn)么點(diǎn)的頻率接近1/6幾乎是必定的.例2測(cè)量一個(gè)長(zhǎng)度a,一次測(cè)量的結(jié)果不見(jiàn)得就等于a,量了假設(shè)干次,其算術(shù)平均值仍不見(jiàn)得等于a,但當(dāng)測(cè)量的次數(shù)許多時(shí),算術(shù)平均值接近于a幾乎是必定的.

這兩個(gè)例子說(shuō)明：在大量隨機(jī)現(xiàn)象中,不僅看到了隨機(jī)事件的頻率具有穩(wěn)定性,而且還看到大量測(cè)量值的平均結(jié)果也具有穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性就是本章所要爭(zhēng)論的大數(shù)定律的客觀背景。即無(wú)論個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果如何,或者它們?cè)谶M(jìn)行過(guò)程中的個(gè)別特征如何,大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果事實(shí)上與每一個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象的特征無(wú)關(guān),并且?guī)缀醪辉偈请S機(jī)的了。

大數(shù)定律以準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了這種規(guī)律性,并論證了它成立的條件,即從理論上闡述了這種大量的、在肯定條件下的、重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)的規(guī)律性即穩(wěn)定性.由于大數(shù)定律的作用,大量隨機(jī)因素的總體作用必定導(dǎo)致某種不依靠于個(gè)別隨機(jī)事項(xiàng)的結(jié)果.

5.2切貝謝夫不等式

5.2切貝謝夫不等式一個(gè)隨機(jī)變量離差平方的數(shù)學(xué)期望就是它的方

差,而方差又是用來(lái)描述隨時(shí)機(jī)變量取值的分散程度的.下面討論隨機(jī)變量的離差與方差之間的關(guān)系式.

切比雪夫不等式(P104)假設(shè)隨機(jī)變量ξ的期望和方差存在，那么對(duì)任意0,有

P{|E()|}

D()

2

(5.1)

這就是聞名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。它有以下等價(jià)的形式：

P{|E()|}1

D()

2

.

切貝謝夫不等式的證明:

設(shè)隨機(jī)變量有期望值E及方差D,那么任給0,有P(E)D

2

P(E)1

D

把概率轉(zhuǎn)化為求和

2

證:假如ξ是離散型的隨機(jī)變量,那么

P(E)

*kE

P(*)k

把求和因子放大D

*kE

(*kE)2

2

Pkk

(*kE)2

2

pk

2

把求和范圍放大

例1設(shè)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=μ,方差Dξ=σ2那么由切貝謝夫不等式有

P{-3}解：依據(jù)切貝謝夫不等式

D21P{-3}=2=2(3)991P{-3}92

P{|E()|}

D()

;

例2設(shè)ξ是擲一顆骰子所涌現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),假設(shè)給定

1,2,實(shí)際計(jì)算P(-E)并驗(yàn)證切貝謝夫不等式成立.解:由于ξ的概率函數(shù)是P(k)1

/6(k1,2,所以

6)

Eξ=7/2Dξ=35/12P(│ξ-7/2│≥1)=2/3P(│ξ-7/2│≥2)=P(ξ=1)+P(ξ=6)=1/3

ε=1:Dξ/ε2=35/122/3ε=2:Dξ/ε2=1/435/12=35/481/3可見(jiàn),ξ滿意切貝謝夫不等式.

P{|E()|}

D()

2

;

例3設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈,夜晚每一盞電燈開(kāi)燈的概率都是0.7,而假定開(kāi)關(guān)時(shí)間彼此獨(dú)立,估量夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率.解:令ξ表示在夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈的數(shù)目,它聽(tīng)從參數(shù)n=10000,p=0.7的二項(xiàng)分布.假設(shè)要精確計(jì)算,應(yīng)當(dāng)用貝努里公式:P{68007199

7200}=

假如用切貝謝夫不等式估量:Eξ=np=100000.7=7000P{6800

k=6801

kC100000.7k0.310000k

Dξ=npq=21002100200}120.95200

7200}=P{-7000

可見(jiàn),雖然有10000盞燈,但是只要有供應(yīng)7200盞燈的電力就能夠以相當(dāng)大的概率保證夠用.事實(shí)上,切貝謝夫不等式的估量只說(shuō)明概率大于0.95,后面將詳細(xì)求出這個(gè)概率約為0.99999,切貝謝夫不等式在理論上具有重大意義,但估計(jì)的精確度不高.

已知某種股票每股價(jià)格ξ的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，求a,使股價(jià)超過(guò)1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式

令0.010.12a

0.01P{|1|a}2;a

a0.12

a0.32

5.3大數(shù)定律

5.3大數(shù)定律一、依概率收斂定義5.1假設(shè)存在常數(shù)a,使對(duì)于任何

0,有l(wèi)imP(na)1n

那么稱隨機(jī)變量序列{ξn}依概率收斂于a

設(shè){ξn}為隨機(jī)變量序列，ξ為隨機(jī)變量，假設(shè)任給0,使得

limP{|n|}1n

那么稱{ξn}依概率收斂于ξ.可記為

n.P

切比雪夫不等式

如

nap

意思是:當(dāng)n時(shí),ξn落在

(a,a)內(nèi)的概率越來(lái)越大.n0,nn0

na而a

limP{n-a}=1n

a

na意思是:0,n0,當(dāng)nn0

|na|

limn=an

1.切比雪夫大數(shù)定律的非常狀況設(shè){ξk,k=1,2,...}為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且具有相同的數(shù)學(xué)期望,及方差20,那么

1nPYnknk1即假設(shè)任給0,使得

limP{|Yn|}1n

這說(shuō)明：在定理成立的條件下，n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值，當(dāng)n無(wú)限增加時(shí)，將幾乎變成一個(gè)常數(shù)。

證明:由切比雪夫不等式

limP{|Yn|}1n

1nYnknk1這里

P{|YnE(Yn)|}1

D(Yn)

2

.

故

1nE(Yn)E(k)nk12n1D(Yn)2D(k)nk1n

02

P{|Yn|}12.nlimP{|Yn|}1n

定理5.1(切貝夫定理)設(shè)ξ1,ξ2…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

序列,各有數(shù)學(xué)期望Eξ1,Eξ2…及方差Dξ1,Dξ2…并且對(duì)于全部k=1,2,…都有Dξk,其中是與k無(wú)關(guān)的常數(shù),那么任給ε0,有

ι

ι

1n1nlimPkEknnk=1nk=1隨機(jī)變量的算術(shù)平均值

=1(5.2)隨機(jī)變量期望的算術(shù)平均值

切貝謝夫定理說(shuō)明:在定理的條件下,當(dāng)n充分大時(shí),n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的平均數(shù)這個(gè)隨機(jī)變量的離散程度是很小的.這意味,經(jīng)過(guò)算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量

1knk=1

n

p

1nEknk=1

將比較密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望的四周.它與數(shù)學(xué)期望之差,當(dāng)時(shí)n→∞,依概率收斂到0.這就是大數(shù)定律.切貝謝夫定理為這肯定律作出了精確的數(shù)學(xué)公式.它也稱為切貝謝夫大數(shù)定律.切貝謝夫定理的一個(gè)推論通常稱為貝努里大數(shù)定律.

定理5.2(貝努里大數(shù)定律)在獨(dú)立試驗(yàn)序列中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無(wú)限增加時(shí),事項(xiàng)A的頻率ξ/n(ξ是n次試驗(yàn)中事項(xiàng)A發(fā)生的次數(shù)),依概率收斂于它的概率P(A).即對(duì)于任意給定的ε0,有

limPpnn

=1

(5.3)

即：設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事項(xiàng)A發(fā)生的概率為p